(完整word版)三角函数的图象与性质练习题及答案

一、选择题

1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 A．－1

1B．－

2

( )

D．1

1C. 2

4π

2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) πA. 6

πB. 4

πC. 3

πD. 2

3．已知函数y＝sin A．6

πx

在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是 ( ) 3

B．7

C．8

D．9

4．已知在函数f(x)＝3sin 的最小正周期为 A．1

πx

图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)R( ) B．2

C．3

D．4

5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是 `( D )

6．给出下列命题：

2π3x＋是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝； ①函数y＝cos322③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α2x＋的一条对称轴方程； ④x＝是函数y＝sin48

ππ

2x＋的图象关于点，0成中心对称图形． ⑤函数y＝sin312其中正确的序号为 A．①③

( )

B．②④ C．①④ D．④⑤

π

7．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A．y

4＝2cos2x

π

B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x

4

ππ

2x＋的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所8．将函数y＝sin44得到的图象解析式是 A．f(x)＝sin x

( )

B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin 4x

1

D．f(x)＝cos 4x

ππ

9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对23称轴，则它的解析式是 π

4x＋ A．y＝4sin6

( )

π

2x＋＋2 B．y＝2sin3π

4x＋＋2 D．y＝2sin6

π

4x＋＋2 C．y＝2sin3

πππ

ωx＋(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tanωx＋的图象重合，则10．若将函数y＝tan466ω的最小值为 1

A. 6

( ) 1B. 4

1C. 3

1D. 2

11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<

π)的图象如右图所示， 2

( )

D．10安

则当t=

1秒时，电流强度是 100

A．－5安 B．5安 C．53安

π

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将

4y＝f(x)的图象

( )

ππ

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

88ππ

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

44

二、填空题(每小题6分，共18分)

π21

－x的单调递增区间为______________． 13．函数y＝sin243

ππ＝fπ，π，π上有最小值，ωx＋ (ω>0)，14．已知f(x)＝sinf且f(x)在区间无最大值，则ω＝________. 36363π

2x＋(x∈R)，有下列命题： 15．关于函数f(x)＝4sin3①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍； π

2x－； ②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos6π

－，0对称； ③y＝f(x)的图象关于点6π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．

6

其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)

2

16．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________． 三、解答题(共40分)

π17．设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

π

18．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1 (x∈R，ω>0)的最小正周期是.

2(1)求ω的值； (2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

19．设函数f(x)＝cos ωx(3sin ωx＋cos ωx)，其中0<ω<2. ππ

(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域；

63π

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．

3

20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<

π)的图象的一部分如图所示： 2(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．

3

π

21．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．

2

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋g(x)的图

4象在(0，π)内所有交点的坐标．

π

22．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示．

2

(1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈3

4

三角函数的图象与性质练习题及答案

一、选择题

1．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 A．－1

1B．－

2

( B )

D．1

1C. 2

4π

2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) πA. 6

πB. 4

πC. 3

πD. 2

3．已知函数y＝sin A．6

πx

在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是 ( C ) 3

B．7

C．8

D．9

4．已知在函数f(x)＝3sin 的最小正周期为 A．1

πx

图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)R( D ) B．2

C．3

D．4

5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是 `( D )

6．给出下列命题：

2π3x＋是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝； ①函数y＝cos322③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α2x＋的一条对称轴方程； ④x＝是函数y＝sin48

ππ

2x＋的图象关于点，0成中心对称图形． ⑤函数y＝sin312其中正确的序号为 A．①③

( C )

B．②④ C．①④ D．④⑤

π

7．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )

4A．y＝2cos2x

π

B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x

4

ππ

2x＋的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所8．将函数y＝sin44得到的图象解析式是 A．f(x)＝sin x

( A )

B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin 4x

5

D．f(x)＝cos 4x

ππ

9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对23称轴，则它的解析式是 π

4x＋ A．y＝4sin6

( D )

π

2x＋＋2 B．y＝2sin3π

4x＋＋2 D．y＝2sin6

π

4x＋＋2 C．y＝2sin3

πππ

ωx＋(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tanωx＋的图象重合，则10．若将函数y＝tan466ω的最小值为 1

A. 6

( D ) 1B. 4

1C. 3

1D. 2

11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<

π)的图象如右图所示， 2

( A )

D．10安

则当t=

1秒时，电流强度是 100

A．－5安 B．5安 C．53安

π

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将

4y＝f(x)的图象

( A )

ππ

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

88ππ

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

44二、填空题(每小题6分，共18分)

π2921π1

－x的单调递增区间为______________．π＋3kπ，＋3kπ (k∈Z) 13．函数y＝sin88243

ππ＝fπ，π，π上有最小值，ωx＋ (ω>0)，14．已知f(x)＝sinf且f(x)在区间无最大值，则ω＝________. 36363

14 3π

2x＋(x∈R)，有下列命题： 15．关于函数f(x)＝4sin3①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍； π

2x－； ②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos6π

－，0对称； ③y＝f(x)的图象关于点6π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．

6

6

其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③

16．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)

π

17．设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调增区间． ππ

解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，

82π51

∴φ＝kπ＋，又－π<φ<0，则－4443π

∴k＝－1， 则φ＝－.

4

3ππ3ππ

2x－， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， (2)由(1)得：f(x)＝sin4242π5π

可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

88

π5π

＋kπ，＋kπ，k∈Z. 因此y＝f(x)的单调增区间为88

π

18．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1 (x∈R，ω>0)的最小正周期是.

2(1)求ω的值； (2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 1＋cos 2ωx

解 (1)f(x)＝2＋sin 2ωx＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2

2

πππ

sin 2ωxcos＋cos 2ωxsin＋2 ＝2sin2ωx＋＋2. ＝2444π2ππ

由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝， 所以ω＝2.

22ω2π

4x＋＋2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin4πππkπ

当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时，

42162

π

4x＋取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2， sin4πkπ此时x的集合为x|x＝16＋2，k∈Z.



19．设函数f(x)＝cos ωx(3sin ωx＋cos ωx)，其中0<ω<2. ππ

(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时f(x)的值域；

63

7

π

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．

3解 f(x)＝π1311

2ωx＋＋. sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin62222

π1

2x＋＋， (1)因为T＝π，所以ω＝1. ∴f(x)＝sin62π5π3πππ

－，， 所以f(x)的值域为0，. 当－≤x≤时，2x＋∈263666π

(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝，

3πππ

所以2ω＋＝kπ＋(k∈Z)， 362

311

ω＝k＋ (k∈Z)， 又0<ω<2，所以－2231所以k＝0，ω＝.

2

20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<

π)的图象的一部分如图所示： 2(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1， 则A=

3(1)312,b1,， 2223又T2(π将x=

6)π，∴2π2π2，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， Tπππππ，y=3代入上式，得()1 ∴2kπ，k∈Z， 6332πππ+2kπ，k∈Z，∴φ=， ∴f(x)=2sin(2x)+1. 666πππ1=+kπ，得x=+kπ，k∈Z， 6262ππ1)+1的对称轴方程为 xkπ，k∈Z. 662即φ=

(2)由2x+

∴f(x)=2sin(2xπ

21．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．

2

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

8

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋g(x)的图

4象在(0，π)内所有交点的坐标．

2π

解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，

T

π

将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得y＝2sin(2x＋φ)的图象．

12πππ

2x＋. 于是φ＝2×＝， ∴f(x)＝2sin6126πππ

x－＋＝－2cos2x＋. (2)依题意得g(x)＝2sin2466

πππ2x＋－2cos2x＋ ＝22sin2x－. 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin6612ππ3

2x－＝6，得sin2x－＝. 由22sin12122

ππππππ2π

∵01212121231235π3π53

，6或，6. ∴x＝π或x＝π， ∴所求交点坐标为248248

π

22．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示．

2

(1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． (2)当x∈32ππ

解 (1)由图象知A＝2，T＝8， ∵T＝＝8，∴ω＝. ω4πππ

－＋φ＝0. ∵|φ|<，∴φ＝. 又图象过点(－1,0)，∴2sin424ππ

∴f(x)＝2sin4x＋4.

ππππππππ

x＋＋2sinx＋＋＝22sinx＋＝22cos x. (2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin44424424

23πππ

－6，－，∴－≤x≤－. ∵x∈3246

ππ2

∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

463

9

π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

10