(word完整版)数列求和方法总结,推荐文档

一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、教学重点：特殊数列求和的方法． 三、教学过程：

（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22na1(q1)n（2）等比数列的求和公式Sna1(1q)（切记：公比含字母时一定要讨论）

(q1)1q2．公式法：

k2122232Ln2k1nn(n1)(2n1)

62n(n1) k123Ln2k133333n3．错位相减法：比如an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和. 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：

1111111() ；

n(n1)nn1n(n2)2nn21111() nn!(n1)!n!

(2n1)(2n1)22n12n15．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求10029929829722212的和。 7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：

例1．求和：①Sn111111111

n个 ②Sn(x)2(x21x1212n)(x) x2xn ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和Sn 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

2k解：①ak1111101010k个1(10k1) 911Sn[(101)(1021)(10n1)][(1010210n)n]99110(10n1)10n19n10[n] 9981②Sn(x211142n2)(x2)(x2) x2x4x2n111)2n x2x4x2n(x2x4x2n)(x2(x2n1)x2(x2n1)(x2n1)(x2n21)（1）当x1时，Sn2n2n 222n2x1x1x(x1)（2）当x1时,Sn4n ③

ak(2k1)2k(2k1)[(2k1)(k1)]

k[(2k1)(3k2)]523kk222Sna1a2an

5235n(n1)(2n1)3n(n1)(122n2)(12n)2226221n(n1)(5n2) 6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q1或q1讨论。 2．错位相减法求和

例2．已知数列1,3a,5a2,,(2n1)an1(a0)，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列a0,a,a2,,an1对应项积，可用错位相减法求和。 解：Sn13a5a2(2n1)an1aSna3a25a3(2n1)an1 2

12:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an

2a(1an1)n当a1时,(1a)Sn1 (2n1)2(1a)1a(2n1)an(2n1)an1 Sn(1a)2当a1时,Snn2 3.裂项相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn 1335(2n1)(2n1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解:

(2k)2(2k)2111111ak11()

(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)22k12k1111111112n(n1)Sna1a2ann[(1)()()]n(1)23352n12n122n12n1n(n1)(a1)123n2练习:求Sn23n 答案: Sn

a(an1)n(a1)aaaa(a1)n2a(a1)4.倒序相加法求和

012n3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n 例4求证：CnmnmCn思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。

012n3Cn5Cn(2n1)Cn证：令SnCn(1)

mnm(2) CnCn

nn1210(2n1)Cn5Cn3CnCn则Sn(2n1)Cn012n(1)(2)有:2Sn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn(2n2)Cn 012nSn(n1)[CnCnCnCn](n1)2n 等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例5．已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。

思路分析：an2n2(1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。 解：an2n2(1)，若n2m,则SnS2m2(1232m)2n(1)k12mk

Sn2(1232m)(2m1)2mn(n1)

若

n2m1,则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m2[2m(1)2m](2m1)2m2(2m1)

4m22m2(n1)2(n1)2n2n2

(n为正偶数)n(n1)Sn 2nn2(n为正奇数)预备：已知f(x)a1xa2x2anxn,且a1,a2,a3,an成等差数列，n为正偶数， 又f(1)n2,f(1)n，试比较f()与3的大小。

12(a1an)nn2aa2nf(1)a1a2a3annn21解： nd2f(1)aaaaan123n1ndn22aa1(n1)d2n1a11an2n1

d2f(x)x3x25x3(2n1)xn

11111f()3()25()3(2n1)()n2222212可求得f()3()n2(2n1)()n，∵n为正偶数，f()3

（四）巩固练习：

1．求下列数列的前n项和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n1)，…； （2）

121212591111,,,L,,L； 132435n(n2)（3）an1nn1； （4）a,2a2,3a3,L,nan,L；

（5）13,24,35,L,n(n2),L； （6）

sin21osin22osin23oLLsin2o．

n个n个6786785解：（1）Sn555555L55L5(999999L99L9)

95[(101)(1021)(1031)L(10n1)] 95505[10102103L10nn](10n1)n． 9819（2）∵

1111()，

n(n2)2nn2111111111111[(1)()()L()](1)． 232435nn222n1n2∴Sn（3）∵an∴Sn1nn1n1nn1n (nn1)(n1n)111L 2132n1n(21)(32)L(n1n)n11．

（4）Sna2a23a3Lnan，

当a1时，Sn123…nn(n1)， 2 当a1时，Sna2a23a3…nan ，

aSna22a33a4…nan1，

两式相减得 (1a)Snaaa…ana23nn1a(1an)nan1，

1anan2(n1)an1a∴Sn． 2(1a)（5）∵n(n2)n22n，

∴ 原式(122232…n2)2(123…n)（6）设Ssin21osin22osin23oLLsin2o， 又∵Ssin2osin288osin287oLLsin21o， ∴ 2S，Sn(n1)(2n7)．

6． 26n5(n为奇数)2．已知数列{an}的通项ann，求其前n项和Sn．

(n为偶数)2解：奇数项组成以a11为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列； 当n为奇数时，奇数项有

n1n1项，偶数项有项， 22n1n1(16n5)4(142)(n1)(3n2)4(2n11)2∴Sn， 21423当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有

n项， 2nn(16n5)4(142)n(3n2)4(2n1)2∴Sn， 21423(n1)(3n2)4(2n11)23所以，Snnn(3n2)4(21)23

(n为奇数)．

(n为偶数)四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分

q1或q1讨论。