三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法） ：
正弦函数 y=sinx ， x∈ [0 ， 2π ] 的图象中，五个关键点是：
(0,0) (
(0,1) (
,1) (
2 2
,0) (
,-1) (
3
,-1) (2 ,0)
2
余弦函数 y=cosx
x[0,2 ] 的图像中，五个关键点是：
,0) (
3 ,0) (2 2
,1)
2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
函 质
数 y sin x
y cos x
图 象
定 义 域 值 域
y tan x
R
R 1,1
x x k
, k
2 R
1,1
当 x
2k
2
时
，
当 x 2k 时，
最 值
ymax 1；当 x
1．
2k
ymax
1；当 x 2k
既无最大值也无最小值
2
时， ymin
时， ymin1．
周 期 性 奇 偶 性
2
2
奇函数
偶函数
奇函数
在 2k
, 2k 2
2
单 调 性
在
2k
,2 k
上是增函
上是增函数；
数；
在 k
, k
在 2k
2
, 2k
3
在
2k ,2 k
2 2
上是减函
上是增函数．
2
数．
上是减函数． 对称中心
对
k ,0
对称中心
k
称 性
,0 2
k
对称中心
,0
对称轴 x
k
2
对称轴 x
2
k
- 1 -
无对称轴
例作下列函数的
(1)y=|sinx| ， x∈ [0 ，2π]， (2)y=-cosx ， x∈ [0， 2π]
例利用正弦函数和余弦函数的 象，求 足下列条件的 x 的集合：
(1) sin x
1 2
(2) cos x
1 2
3、周期函数定 ： 于函数 都有： f ( x T )
y f ( x) ，如果存在一个非零常数
T，使得当 x 取定 域内的每一个 ，
f ( x) ，那么函数 y f ( x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做 个函数的周期。
, ⋯都是周期）周期
注意： 周期 T 往往是多 的（如
y sin x 2 ,4 , ⋯ ,-2 ,-4
T 中最小的正数叫做
y f ( x) 的最小正周期 （有些周期函数没有最小正周期）
y sin x ,
y cosx 的最小正周期 2
（一
般称 周期）
正弦函数、余弦函数： T
例求下列三角函数的周期：
2
。正切函数：
1 y=sin(x+)
2
3
y=cos2x
3 y=3sin(
x + 2
) 5
4 y=tan3x
例求下列函数的定 域和 域： （ 1） y
2 sin x （2） y 3sin x （ 3） y lgcos x
- 2 -
例 5 求函数 y
sin(2 x ) 的单调区间
3
例不求值，比较大小
(1)sin( －
) 、 sin( － ) ； (2)cos(
－ 23 ) 、 cos( － 17
) ．
18
10
＜－
5 5 4
∵ 0＜
＜
解： (1) ∵－ ＜－
＜ ． (2)cos(
－ 23 ) ＝cos
23
4
＝ cos
3
2
10
18
，
2 2
且函数 y＝ sin x， x∈［－
］是增函数cos(
－ 17 ) ＝ cos
17
5
＝ cos
5
4
2
)
∴ sin( －
) ＜ sin( －
3
4
＜ π
10
即 sin( －
18
) ＞ 0
4
5
) － sin( － 且函数 y＝ cos x， x∈［ 0， π］是减函数
18
10
∴ cos
3
＜ cos
即 cos ∴cos( －
3
5 5
4
－ cos ＜ 0
23
4
) － cos( －
17
) ＜ 0
5
4
4、函数 y sin x
0,
0,
；
0 的图像：
（ 1）函数 y ①振幅：
sin x
0 的有关概念：
③频率： f
； ②周期：
2
1
2
；
④相位：
x
； ⑤初相： ．
(2) 振幅变换
① y=Asinx ，x R(A>0 且 A 1) 的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长
(A>1) 或缩短 (0到原来的 A倍得到的②它的值域 [-A, A]
最大值是 A, 最小值是 -A
的图象 ，再以 x 轴为对称轴翻折
③若 A<0 可先作 y=-Asinx
A 称为振幅，这一变换称为振幅变换
(3) 周期变换
①函数 y=sin ωx, x
R ( ω >0 且ω 1) 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 ( ω >1) 或伸
长 (0< ω <1) 到原来的 1 倍（纵坐标不变）
②若ω <0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
(4) 相位变换
- 3 -
一般地，函数 y＝ sin( x＋ ) ， x∈ R( 其中 ≠ 0) 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左
( 当
＞ 0
时 ) 或向右 ( 当 ＜0 时＝平行移动｜
｜个单位长度而得到 ( 用平移法注意讲清方向： “加左”“减右” )
相位变
y＝ sin( x＋
换
) 与 y＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为
5、小结平移法过程（步骤）
作 y=sinx（长度为
沿 x 轴平 移 |φ|个单位 得 y=sin(x+
2 的某闭区间）
横坐标
伸长或缩短
φ
)
得 y=sin ωx
沿 x 轴平 移|
长或缩短
|个单位
横坐标伸
得 y=sin( ωx+ φ) 纵坐标伸
得 y=sin( ωx+ φ)
长或缩短 纵坐标伸 长或缩短
得 y=Asin( ωx+ φ) 的图象，先在一
6、函数 y 则
1 y2
maxysin
min
x
，
1 2
，当 x x1 时，取得最小值为
ymax
y
min
y；当 x
x2 时，取得最大值为
图 e
y，max
min
，x2 x1 x1 x2 ．
2
例 如图 e，是 f （ x）＝ Asin（ ωx＋ φ）， A＞ 0，｜ φ｜＜ 的一段图象，
2
则 f（ x）的表达式为
例
如图 b 是函数 y＝Asin(ωx＋ φ）＋ 2 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是() A A＝ 3， Ｔ＝ B A＝ 1， Ｔ＝
44
， φ＝－
， φ＝－ ， φ＝－ 3
336
C A＝ 1， Ｔ＝ D A＝ 1， Ｔ＝
24
3
4
3
4
， φ＝－
3 6
- 4 -
例 画出函数 y＝ 3sin(2 x＋
) ， x∈R 的简图
解： ( 五点法 ) 由
＝
23
，得 ＝
列表：
2
–
x
7
3
π
5
6
0
12
2x+
12
3 2
6
2π
3
3sin(2 x+ )
2
3
3
0 0 – 3 0
例求函数 y
tan 3x
3
的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性
解：由 3x
k 3
得 x
k 3 k 3
5 18
，
2
x | x
所求定义域为
R,且 x
5
, k z
18
值域为 R，周期 T
，是非奇非偶函数
3 ,
在区间
k 3
k
18 3
5 k 18
z 上是增函数
例 已知函数 y=si n2x+
3 cos2 x-2
(1) 用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 (2) 求这个函数的周期和单调区间
(3) 求函数图象的对称轴方程
(4) 说明图象是由 y=si nx 的图象经过怎样的变换得到的 解： y=sin2 x+ 3 cos2 x-2=2sin(2 x+
)-2
3
(1) 列表
x
7
3
12 3 2
-2
-4
5
6
0
12
6
2x
3
2
0
2
y 2sin( 2x
其图象如图示
) 2 3
-2 -2
(2) T
2 2
=π
由 -
+2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，知函数的单调增区间为
2
3
,
2
［ - 5
+
+ kπ ］ , k ∈
Z
12 12
- 5 -
由
+2kπ≤ 2x+ ≤ π+2kπ，知函数的单调减区间为
3
2
［
3
12
2
+kπ,π +kπ］ , k∈ Z
+kπ得 x=
+ π
12
(3) 由 2x+ =
k
3
2
12 2
x=
∴函数图象的对称轴方程为
+ π,( k∈ )
k
12
2
Z
(4) 把函数 y1=sin x 的图象上所有点向左平移
个单位，得到函数 y2=si n( x+ ) 的图象；
再把 y2 图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
3
倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到 y3=sin (2
3
x+ ) 的图象；
3 3
再把 y3 图象上各点的纵坐标伸长到原来的
2 倍( 横坐标不变 ) ，得到 y4=2sin (2 x+ ) 的图象；
最后把 y4 图象上所有点向下平移 2 个单位，得到函数 y=2sin (2 x+ )-2 的图象
3
- 6 -
