高一（上）期末数学试卷（必修2）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．（5.00分）设U={1，2，3}，A={1，2}，B={1，3}，那么（CUA）∩（CUB）等于（ ） A．2，3
B．1，3
C．∅
D．3
2．（5.00分）经过A（0，），B（1，0）的直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
3．（5.00分）若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与a的位置关系是（ ） A．l∥a B．l与a异面
C．l与a相交 D．l与a平行或异面 4．（5.00分）函数y=A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶数
5．（5.00分）已知a＞b＞0，则2a，2b，3a的大小关系是（ ） A．2a＞2b＞3a B．2b＜3a＜2a C．2b＜2a＜3a D．2a＜3a＜2b
6．（5.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（ ）
A．若m⊆β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
7．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2） D．不能确定 是（ ）
8．（5.00分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
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A．（2+）π B．4π C．（2+2）π D．6π
9．（5.00分）圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（ ） A．1：（
﹣1）
B．1：2
C．1：
D．1：4
10．（5.00分）设集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．[﹣1，2]
11．（5.00分）下列命题中错误的是（ ） A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
D．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β
12．（5.00分）现代社会对破译密码的难度要求越来越高．有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见下表）： a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26 现给出一个变换公式：将明文转换
成密文，如，即h变成q；，即e变成c．按上述规定，
若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是（ ）
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A．lhho B．eovl C．ohhl D．love
二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．（5.00分）函数y=
的定义域是 ．
14．（5.00分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．
15．（5.00分）如图正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为
，那么△ABC的面积为 ．
16．（5.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D中，直线A1D与平面AB1C1D所成的角为 度．
三、解答题（本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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17．（10.00分）设全集U为R，已知A={x|1＜x＜7}，B={x|x＜3或x＞5}，求： （1）A∪B； （2）A∩B； （3）（∁UA）∪（∁UB）．
18．（12.00分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．
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19．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD．
20．（12.00分）已知函数f（x）=a﹣．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数； （2）确定a的值，使f（x）为奇函数； （3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．
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21．（12.00分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD=4，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使二面角A﹣BE﹣C是直二面角，并连接AC，AD得到四棱锥A﹣BCDE，如图2． （1）求四棱锥A﹣BCDE的体积；
（2）若M，N分别是BC，AD的中点，求证：MN∥平面ABE．
22．（12.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD，AB=a，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．
．
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2014-2015学年广西南宁四十二中高一（上）期末数学试
卷（必修2）
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．
【解答】解：∵U={1，2，3，}，A={1，2，}，B={1，3，}， 那么（CUA）∩（CUB）={3}∩{2}=∅． 故选：C． 2．
【解答】解：设经过A（0，则tanθ=
=﹣
．
），B（1，0）的直线的倾斜角为θ．
∵θ∈[0°，180°）， ∴θ=120°． 故选：C． 3．
【解答】解：直线l∥平面α，所以直线l∥平面α无公共点，所以l与a平行或异面． 故选：D． 4．
【解答】解：由函数的形式得关于原点对称 又y（﹣x）=故函数是偶函数 故选：B． 5．
【解答】解：∵y=2x，是增函数 又∵a＞b＞0
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解得x∈[﹣1，0）∪（0，1]，定义域
==y（x）
∴2a＞2b＞1
∵y=xa，a＞0，在（0，+∞）上是增函数 ∴2a＜3a ∴2b＜2a＜3a
故答案为：2b＜2a＜3a 6．
【解答】解：对于A，若m⊆β，α⊥β，则m⊥α，也有可能平行、相交，故不正确；
对于B，若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥β或α、β相交，故不正确；
对于C，设经过m的平面与α相交于a，则m∥a，因为m⊥β，所以a⊥β，由面面垂直的判定定理，我们易得正确；
对于D，α⊥β，α⊥γ，则β与γ平行、相交都有可能，故不正确． 故选：C． 7．
【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0， 由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选：B． 8．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成的几何体，
半球的半径为1，故半球面面积为：2π， 圆锥的底面半径为1，高为2，故母线长为故圆锥的侧面积为：
π，
）π，
，
故组合体的表面积是：（2+故选：A．
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9．
【解答】解：根据面积比是对应边之比的平方得，此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比是1：
，
﹣1）．
∴此截面分圆锥的高为上、下两段的比为1：（故选：A． 10．
【解答】解：集合N的解集为x≤k，因为M∩N≠∅，得到k≥﹣1， 所以k的取值范围是[﹣1，+∞） 故选：B． 11．
【解答】解：若α⊥β，α∩β=l，当a⊂α，但a与l不垂直时，a与β不垂直，故A错误；
若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又由m⊂α，则α⊥β，故B正确； 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故C正确；
若α⊥β，α∩β=AB，a⊥AB，由面面垂直的性质定理可得a⊥β 故选：A． 12．
【解答】解：由题意shxc分别对应自然数：19，8，24，3． ①当x′=19时， 若
则x=37，不合题意，若
，则x=12，对应字母l
②当x′=8时， 若
则x=15，对应字母o，若
，则x=﹣10，不合题意；
同理得出24，3对应字母v，e． 那么原来的明文是love 故选：D．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．
【解答】解：要使原函数有意义，则
，
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解①得：x≥﹣2， 解②得：x≠1．
所以，原函数的定义域为{x|x≥﹣2，且x≠1}． 故答案为{x|x≥﹣2，且x≠1}． 14．
【解答】解：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R， 则V圆柱=2π•R3， V圆锥=π•R3， V球=π•R3，
故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2 故答案为：3：1：2 15．
【解答】解：因为且若△A′B′C′的面积为那么△ABC的面积为 故答案为： 16．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D棱长为1，
则A1（1，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），C1（0，1，1）， =（1，0，0），
=（0，1，1），
=（1，0，1），
，
，
设平面AB1C1D的法向量为=（x，y，z）， 则
，取y=1，得=（0，1，﹣1），
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设直线A1D与平面AB1C1D所成的角为θ， 则sinθ=|cos＜∴θ=30°．
∴直线A1D与平面AB1C1D所成的角为30°． 故答案为：30°．
，＞|=|
|=|
|=，
三、解答题（本大题6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．
【解答】解（1）∵A={x|1＜x＜7}，B={x|x＜3或x＞5}， ∴由数轴可得A∪B=R
（2）由数轴可得，A∩B={x|1＜x＜3或5＜x＜7}；
（3））∵（∁UA）∪（∁UB）=∁U（A∩B）={x|x≤1，3≤x≤5或x≥7}． 18．
【解答】解：根据几何体的三视图知，
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原几何体是以半径为1的圆为底面，母线长为2的圆锥 则圆锥的高为
的圆锥．…3分
则它的侧面积S侧=πrl=2π，…7分 体积
19．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO． ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点． ∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO， ∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB．
．…11分
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC． ∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC． ∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E， ∴PB⊥平面EFD．
20．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2， 则
∵x1＜x2，∴
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=，
，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数． （2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即解得：
．∴
．
（4），∵2x+1＞1（5），∴
，
（3）由（2）知
，∴
所以f（x）的值域为
（6），∴
．
21．【解答】解：（1）∵AD=2BC=4，E为AD的中点，∴BE∥CD
又∵AD⊥CD∴BE⊥AE，BE⊥ED∴∠AED是二面角A﹣BE﹣C所成的二面角，即∠AED=90°
而BE∩ED=E，BE，ED⊆平面BCDE∴AE⊥平面BCDE∵AE=2，SBCDE=4∴四棱锥A﹣BCDE的体积
．
（2）证明：作AE的中点F，连接NF，BF ∵N是AD的中点，∴NF∥BC，NF=BC
又∵M分别是BC的中点，∴BM∥NF，BM=NF， ∴四边形BMNF是平行四边形，∴MN∥BF ∵MN⊄平面ABE，BF⊂平面ABE， ∴MN∥平面ABE．
22．
【解答】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，
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依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，
则∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角． ∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角． ∴tan∠PAO=AB=a，AO=
． a，
a，
∴PO=AO•tan∠POA=tan∠PMO=
=
．
∴∠PMO=60°．…（6分） （2）连接AE，OE，∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD， ∴AO⊥OE． ∵OE=PD=∴tan∠AEO=
=
=a， ．…（12分）
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