(完整word版)二次函数基础知识和经典练习题

二次函数

一、基础知识 1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式. 3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①yax2（a0)； ②yax2k；(a0) ③yaxh(a0)顶点式)； 2④yaxhk；（a0) 2⑤yax2bxc.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线. 4.各种形式的二次函数的图像性质如下表： 函数解析式 开口方向 对称轴 x0（y轴） yax2 x0（y轴） yax2k 当a0时 开口向上 xh 2yaxh 当a0时 开口向下 xh 2yaxhk yax2bxc 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) xb 2ab4acb2(，) 2a4a 1.抛物线yax2bxc中的系数a,b,c （1）a决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当a0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当b0时，对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧. （3）c决定抛物线与y轴交点位置：当c0时，抛物线经过原点； 当c0时,相交于y轴的正半轴；当c0时,则相交于y轴的负半轴. --

- 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，顶点是，对称轴是直线2a4a2a4a2x b. 2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线yax2bxc的解析式化为yaxhk的形式，得b4acb2到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.其中h，k. 2a4a（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3．用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 4.抛物线与x轴的交点 设二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）b24ac0抛物线与x轴有两个交点； （2）b24ac0抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； （3）b24ac0抛物线与x轴没有交点. 5.二次函数的应用 一、yaxbxc的性质 1．已知二次函数ykx7x7与x轴有交点，则k的取值范围是 。 解： 2．二次函数yaxbxc的图象如图，则直线yaxbc的图象不经过第 象限。 理由： -- 222- 3.二次函数yaxbxc的图象如图，试判断a、b、c和的符号。 解： 4.二次函数yaxbxc的图象如图，下列结论（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）＜0，其中正确的是：（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 理由： 5． 二次函数yaxbxc的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 理由： 6． 已知直线yaxb的图象经过第一、二、三象限，那么yaxbx1的图象为（ ） 22222A．7．已知函数y B． C．D． 12xx4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( ) 2A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4 8．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( ) A．y＝x B．x轴 C．y＝－x D．y轴 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( ) A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0 C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0 D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0 10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( ) --

- A．b＞0，c＞0，＝0 B．b＜0，c＞0，＝0 C．b＜0，c＜0，＝0 D．b＞0，c＞0，＞0 11．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( ) A．m＞0 B．m＞3 C．m＜0 D．0＜m＜3 12．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( ) 13．函数y1axb,y22ab(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( ) x 14．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( ) A．h＝m C．k＝n B．k＞n D．h＞0，k＞0 15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；③a＜1．其中正确的结论是( ) --

1；④b2- A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 16．下列命题中，正确的是( ) ①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0； ②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根； ③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3； ④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根． A．②④ B．①③ C．②③ D．③④ 二、yax2bxc的最值 1． 心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x（单位：分）之间大体满足函数关系式：y0.1x22.6x43（0≤x≤30）。y的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答： （1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？ （2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？ 2． 某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是yx22x5。请回答下列问题： 4（1） 柱子OA的高度是多少米？ （2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 3． 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y关系式回答： （1） 该同学的出手最大高度是多少？ --

12xx2的一部分，根据12- （2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3） 该同学的成绩是多少？ 4． 如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y。 （1） 求出y与x之间的函数关系式； （2） 正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。 三、函数解析式的求法（1） 1． 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1） 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式； （2） 若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米） 2． 根据下列条件求抛物线的解析式： （1） 图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）； （2） 图象的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3； （3） 图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为4。 3． 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？ --

- 4． 已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。 （1） 求二次函数的图象的解析式； （2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。 5． 如图： （1） 求该抛物线的解析式； （2） 根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。 6． 已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。 （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值。 四、函数解析式的求法（2） 1． 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息： x（天） y（元） 5 15 15 10 25 15 （1） 求y与x的函数关系式； （2） 大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？ 2． 如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，最高点M离墙1m，离地面 -- 如果抛物线的40m，求水流落点B离墙的距离OB的长。 3- 3． 一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为度，试求铅球运行的抛物线的解析式。 4． 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。 5． 抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。 （1） 求该抛物线的解析式； （2） 求四边形ABDE的面积； （3） 求证：△AOB∽△BDE 。 5米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高336．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数yx3的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，21)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么? 7．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且mn4，m1 n3(1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积． --

- 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标． 9．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本) (2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式； (3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?

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