三角函数的图像和性质word精品文档10页

讲义编号：_ 学员编号： 年 级：高一 课 时 数：3课时 学员姓名: 辅导科目：数 学 学科教师：王 燕 课 题 授课日期及时段 教学目的 三角函数的图象与性质 年 月 日 : — : 1. 熟练掌握三角函数的图像和性质 2. 会运用三角函数的图像和性质解题 教学内容 模块一：:基础梳理 1．“五点法”描图 π3 (1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,0), 2，1, (π，0), 2π，－1, (2π，0) π3π (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为： (0,1)，2，0，(π，－1)，2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋2，k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心： π(kπ＋2，0) (k∈Z) kπ对称中心：2，0 (k∈Z) R π对称轴： x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)； 对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 第 1 页

周期 2π 单调增区间：[2kππ－2，2kπ＋ 2π π 单调增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) ； 单调增区间：(kπ－单调减区间：[2kπ，ππ，kπ＋22)(k∈Z) 2kπ＋π](k∈Z) 单调性 π2](k∈Z)； 单调减区间：[2kππ3π＋2，2kπ＋2] (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期. 2π函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为：|ω| πy＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为：|ω| 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单第 2 页

π调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y＝sin2x－4；(2)y＝πsin4－2x. 模块二：热身练习 π1．函数y＝cosx＋3，x∈R( )． A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 π2．函数y＝tan4－x的定义域为( )．  ππx≠kπ＋x≠2kπ＋C.x4 ，k∈Z D.x4 ，k∈Z πA.xx≠kπ－4，k∈Z πB.xx≠2kπ－4，k∈Z π3．函数y＝sin(2x＋3)的图象的对称轴方程可能是( ) πA．x＝－6 πππB．x＝－12 C．x＝6 D．x＝12 π4．y＝sinx－4的图象的一个对称中心是( )． A．(－π，0) 3π3πB.－4，0 C.2，0  πD.2，0  ( ) 5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是 π3πA.(0，π) B.－2，0 C.2，2π πD.－π，－2 ππ6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(6)|对任意x∈R恒成立，且f(2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) πππA．[kπ－3，kπ＋6](k∈Z) B．[kπ，kπ＋2](k∈Z) π2ππC．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z) 632 xπ7.函数f(x)＝3cos2－4x∈R的最小正周期为_____． π8..y＝2－3cosx＋4的最大值为_____，此时x＝_________. 9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数_____．

ππ10．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[4，2]上的最大值是 . 第 3 页

模块三：典型例题 题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例：求下列函数的定义域： (1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝sin x－cos x. 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 π例：已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋6)－1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图； (2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ 题型三 三角函数图象与解析式的相互转化 π例1函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； π(2)设g(x)＝[f(x－12)]2，求函数g(x)在 第 4 页

ππx∈[－6，3]上的最大值，并确定此时x的值． 例2若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值． 第 5 页

π例3已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜2)的图象与x轴的交点中，相邻π2π两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M(3，－2)． (1)求f(x)的解析式； π1(2)将函数f(x)的图象向右平移12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的2，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围． 题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 π例：已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜2. π3π(1)若cos4cosφ－sin4sinφ＝0，求φ的值； π(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数． 第 6 页

题型五 三角函数的单调性与周期性 例：写出下列函数的单调区间及周期： π(1)y＝sin－2x＋3；(2)y＝|tan x|.  题型六、三角函数的对称性与单调性及应用 例：已知向量m＝(3sin2x－1，cosx)， n＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝mn，x∈R. (1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间． 题型七 三角函数的对称性与奇偶性 第 7 页

π例 (1)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) |φ|≤2的图象关于直线x＝0对称，则φ的值为________. 4π(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) π A . 6 πB.4 πC.3 πD.2 题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用 2sinxcos2x例1 (1)求函数y＝的值域； 1＋sinx(2)求函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值； xx1cos2x(3)若函数f(x)＝－asin2·cos(π－2)的最大值为2，试确定常数a的值． 4sin(x)2 π例2已知函数f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a为常数)，且4是函数y＝f(x)的一个零点． (1)求a的值，并求函数f(x)的最小正周期； π(2)当x∈[0，2]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值． 第 8 页

题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用 ππ例题：已知函数f(x)＝－2asin2x＋6＋2a＋b的定义域为0，2，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值. π(2)若 a＞0，设g(x)＝f x＋2且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．  第 9 页

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