第三板块 重难考点 师生共研
专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2019晋冀鲁豫名校联考)若sin =,且α是第三象限角,则cos =( ) A. B.- C. D.- 答案 D ∵sin =-cos α=,∴cos α=-.
∵α是第三象限角,
∴sin α=- ,∴cos =cos =sin α=-.故选D. 2.(2019河北石家庄模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ) 的部分图象如图所示,点 A(0, ),B ,则函数f(x)图象的一条对称轴为( )
A.x=- B.x=- C.x= D.x= 答案 D ∵函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象过点A(0, ),∴2cos φ= ,即cos φ= ,∴φ=2kπ± (k∈Z).
∵|φ|< ,∴φ=±,由函数f(x)的图象知<0,又 ω>0,∴φ<0,∴φ=- ,∴f(x)=2cos - .∵f(x)=2cos - 的图象过点B ,
∴cos - =0,∴ - =2mπ+ (m∈Z),∴ω=12m+4(m∈Z).∵ω>0,>,∴0<ω<6,∴ω=4, ∴f(x)=2cos - . ∵x= 时, f(x)=1,∴x= 为函数f(x)图象的一条对称轴,故选D.
3.(2019湖北武昌调研)已知函数f(x)= sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π,则f(x)的单调递增区间是( )
A. - (k∈Z) B. - (k∈Z) C. - (k∈Z) D. - (k∈Z) 答案 B 解法一:因为f(x)=2 - =2sin - ,f(x)的最小正周期为2π,所以 ω= =1,所以f(x)=2sin - ,
由2kπ- ≤x-≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为 - (k∈Z),故选B. 解法二:因为f(x)=2 - =-2cos , f(x)的最小正周期为2π,所以ω==1,所以 f(x)=-2cos , 由2kπ≤x+ ≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为 - (k∈Z),故选B.
4.若函数f(x)= sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于 中心对称,则函数f(x)在 - 上
的最小值是( ) A.-1
B.-
C.- D.-
答案 B f(x)=2× =2sin ,其图象关于 中心对称,所以
2×+θ+=kπ(k∈Z).
所以θ=kπ- (k∈Z),又0<θ<π,所以θ=, 所以f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x,因为x∈ - , 所以2x∈ - , f(x)∈[- ,2], 所以f(x)在 - 上的最小值是- .故选B. 5.(2019河南开封定位考试)将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksin xcos x(k>0)的图象重合,则k+m的最小值是( )
A.2+ B.2+ C.2+ D.2+
答案 A 将函数y=sin2x-cos2x=-cos 2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=-cos[2(x+m)]=-cos(2x+2m)=sin - (m>0),平移后得到的图象与
y=ksin xcos x= sin 2x(k>0)的图象重合,所以
-
所以
∈
k=2,m=nπ+ (n∈Z),又
m>0,所以m的最小值为 ,故k+m的最小值为2+,故选A.
6.(2019江西五校协作体试题)若函数f(x)=sin (ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取 值范围是( )
A. ∪ B. ∪ C. D. 答案 B 因为ω>0,π若 <ωπ+<,则2ωπ+≤,所以0<ω≤;若 ≤ωπ+<,则2ωπ+≤,所以≤ω≤.故选B. 二、填空题
7.角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边经过点P(4,y),且sin θ=- ,则tan θ= . 答案 -
- = ,解析 因为角θ的终边经过点P(4,y),sin θ=- <0,所以θ为第四象限角,所以cos θ=
所以tan θ= =- .
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点
-
到其相邻的一条对称轴的距离为,若
f =,则函数f(x)在 上的最小值 为 . 答案 -
解析 由题意得,函数f(x)的最小正周期T=4×=π=,解得ω=2. 因为点 - 在函数f(x)的图象上, 所以Asin - =0,
解得φ=kπ+ ,k∈Z,由0<φ<π,可得φ=. 因为f =,所以Asin =,
解得A= ,所以f(x)= sin .
当x∈ 时,2x+∈ , 所以sin ∈ - , 所以f(x)的最小值为- .
9.已知函数f(x)=cos ,其中x∈ ∈ 且 ,若f(x)的值域是 - - ,则m的最大值
是 . 答案
解析 由x∈ ,可知≤3x+≤3m+, ∵f =cos =-, ∴要使f(x)的值域是 - - ,
需要π≤3m+ ≤,即≤m≤,
即m的最大值是 . 10.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)=sin (ω>0)在区间 - 上单调递 增,则ω的取值范围是 . 答案 解析
- - ∈ - ∈ 则 因为由题意,得
∈ ∈
- ∈
ω>0,所以 所以
∈
k=0,则0<ω≤ . 三、解答题
11.已知函数f(x)=cos x(2 sin x+cos x)-sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若当x∈ 时,不等式f(x)≥m有解,求实数m的取值范围. 解析 (1)f(x)=2 sin xcos x+cos2x-sin2x = sin 2x+cos 2x
=2 =2sin , 所以函数f(x)的最小正周期T=π. (2)由题意可知,不等式f(x)≥m有解, 即m≤f(x)max,
因为x∈ ,所以2x+∈ ,
故当2x+ =,即x=时, f(x)取得最大值,
且最大值为f =2.从而可得m≤2. 所以实数m的取值范围是(-∞,2].
12.(2019山东师大附中模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图示. (1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)说明函数y=f(x)的图象可由函数y= sin 2x-cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到; (3)若方程f(x)=m在 - 上有两个不相等的实数根,求m的取值范围.
解析 (1)由题图可知,A=2,T=4× - =π, ∴ =π,即ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵f =0, ∴sin =0,∴φ+=π+2kπ,k∈Z, 即φ= +2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin . (2)y= sin 2x-cos 2x=2sin - =2sin - ,
故将函数y= sin 2x-cos 2x的图象向左平移 个单位长度就得到函数y=f(x)的图象. (3)当- ≤x≤0时,-≤2x+≤,故-2≤f(x)≤ ,若方程f(x)=m在 - 上有两个不相等的实数根, 则曲线y=f(x)与直线y=m在 - 上有2个交点,结合图象,易知-2
