第2部分 专题1 第1讲 三角函数的图象与性质 Word版含解析

第1讲 三角函数的图象与性质

[做小题——激活思维]

π

1．函数f(x)＝sin2x＋3的最小正周期为( )

A．4π C．π

B．2π π

D．2

π2π

C [函数f(x)＝sin2x＋3的最小正周期为2＝π.故选C.]

2．函数y＝cos 2x图象的一条对称轴方程是( ) π

A．x＝12 π

C．x＝3 π

B．x＝6 π

D．x＝2

π

D [由题意易知其一条对称轴的方程为x＝2，故选D.]

ππ3π

3．函数g(x)＝3sinx－12在－4，4上的最小值为________．



3ππ2πππππ3π－2 [因为x∈－4，4，所以x－12∈－3，3.当x－12＝－3，即x＝－4时，3

g(x)取得最小值－2.] π

4．函数y＝cos4－2x的单调递减区间为________．



π5ππππ

kπ＋8，kπ＋8(k∈Z) [由y＝cos4－2x＝cos2x－4，得2kπ≤2x－4≤2kππ5π

＋π(k∈Z)，解得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为π5π

kπ＋8，kπ＋8(k∈Z)．] 

π

5．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．

π2π2π2ππy＝2sin2x－3 [由题图易知A＝2，由T＝2×3－6＝π，可知ω＝T＝π＝2.于是y＝2sin(2x＋φ)，

π

把6，0代入y＝2sin(2x＋φ)得， ππ

0＝2sin2×6＋φ，故3＋φ＝kπ(k∈Z)，

ππ

又|φ|＜2，故φ＝－3，

π

综上可知，该函数的解析式为y＝2sin2x－3.]



ππ6．将函数y＝sinx＋6的图象上所有的点向左平移4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．

x5ππ函数图象上所有的点5πx＋12y＝sin2＋12 [将函数y＝sinx＋6――――――――――――→y＝sin

向左平移π个单位长度

415π横坐标扩大到原来的2倍

―――――――――――→y＝sin2x＋12.] 纵坐标不变

[扣要点——查缺补漏]

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定

2π

A由最值确定；ω由周期确定T＝ω；φ由五点中的零点或最值点作为解题突π3π

破口，列方程确定即ωxi＋φ＝0，2，π，2，2π，如T5.

2．三种图象变换：平移、伸缩、对称

注意：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需向左或向右平φ

移ω个单位，如T6. 

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的性质

研究三角函数的性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．

2π

(1)T＝ω，如T1.

(2)类比y＝sin x的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．

π

①y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋2(k∈Z)时为偶函π

数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

π

②y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函π

数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T2.

kπ

③y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，对称中心可由ωx＋φ＝2(k∈Z)求得．

④单调性、最值，如T3，T4.

三角函数的值域、最值问题(5年3考)

[高考解读] 高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为fx＝Asinωx＋φ＋B的形式或化fx为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格. 3π1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋2－3cos x的最小值为________．

3π

－4 [∵f(x)＝sin2x＋2－3cos x



＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.

3

又函数f(x)图象的对称轴t＝－4∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有

最小值－4.]

π30，的最大值是2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sinx＋3cos x－4x∈2

2

________．

332

1 [f(x)＝1－cosx＋3cos x－4＝－cos x－＋1.

2

2

π

0，，∴cos x∈[0,1]， ∵x∈

2

3

∴当cos x＝2时，f(x)取得最大值，最大值为1.]

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． 33

－2 [因为f(x)＝2sin x＋sin 2x，

1

所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4cos x－2(cos x＋1)，

1ππ

由f′(x)≥0得2≤cos x≤1，即2kπ－3≤x≤2kπ＋3，k∈Z，

1ππ

由f′(x)≤0得－1≤cos x≤2，2kπ＋3≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－3，k∈Z， π

所以当x＝2kπ－3(k∈Z)时，f(x)取得最小值，

πππ33

且f(x)min＝f2kπ－3＝2sin2kπ－3＋sin 22kπ－3＝－2.]

[教师备选题]

1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

2251

sin x－cos x， －5 [y＝sin x－2cos x＝5

55设

12

＝cos α，＝sin α， 55

则y＝5(sin xcos α－cos xsin α)＝5sin(x－α)． ∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝5. 又∵x＝θ时，f(x)取得最大值， ∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝5.

又sin2θ＋cos2θ＝1， 1

sin θ＝，5∴2

cos θ＝－，5

25

即cos θ＝－5.] 2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φ·cos(x＋φ)的最大值为________．

1 [∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴f(x)的最大值为1.]

三角函数值域(最值)的3种求法 (1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求． (2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sin x的单调性求出函数的值域(最值)． (3)换元法：对于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．

1．(求取得最值时的变量x)当函数y＝3sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.

2π31πsin x－cos x＝2sinx－6. [∵y＝3sin x－cos x＝2

322ππ11π∵0≤x＜2π，∴－6≤x－6＜6.

ππ2π

∴当x－6＝2，即x＝3时，函数取得最大值．]

πππ2．(求参数的范围)已知函数f(x)＝sinωx＋4(ω＞0)在12，3上有最大值，但

没有最小值，则ω的取值范围是________．

π3ππ4，3 [函数f(x)＝sinωx＋4(ω＞0)在12，3上有最大值，但没有最小值，πππππ3π3

4，3.] 所以ω·＋＜＜ω·＋≤⇒ω∈

1242342

3．(与导数交汇求最值)已知函数f(x)＝2cos x＋sin 2x，则f(x)的最大值为________．

332 [∵f′(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝2－4sinx－2sin x＝－2(2sin x－1)(sin x＋21)，

1

由f′(x)＝0得sin x＝2或sin x＝－1. 1

∴当－1＜sin x＜2时，f′(x)＞0， 1

当2＜sin x＜1时，f′(x)＜0. 1

∴当sin x＝2时，f(x)取得极大值． 33

此时cos x＝－2或cos x＝2.

3

经验证可知，当cos x＝2时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cos x(sin x＋1)， 1333

∴f(x)max＝2×2×1＋2＝2.]



三角函数的图象(5年5考)

[高考解读] 高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用. 1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

π

A．y＝2sin2x－6



π

B．y＝2sin2x－3

πC．y＝2sinx＋6

πD．y＝2sinx＋3



T

A [根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．由图象知2＝πππ2ππ

－6＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为3，2，所以A－3π2ππππ＝2，且2×3＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，故φ＝2kπ－6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－6.

故选A.]

2π

2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋3，

则下面结论正确的是( )

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线π

向右平移6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线π

向左平移12个单位长度，得到曲线C2

1

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向π

右平移6个单位长度，得到曲线C2

1

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向π

左平移个单位长度，得到曲线C2

12

2π2πππ2x＋2x＋－2x＋D [因为y＝sin，所以曲线C1：y＝cos 3＝cos32＝cos61

x上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的πππ

曲线y＝cos 2x向左平移12个单位长度，得到曲线y＝cos 2x＋12＝cos2x＋6.故

选D.]

[教师备选题]

(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

2πππx＋x－3 [因为y＝sin x＋3cos x＝2sin3，y＝sin x－3cos x＝2sin3，所2πππ以把y＝2sinx＋3的图象至少向右平移3个单位长度可得y＝2sinx－3的图象．]



求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法

字母 A、B ω 确定途径 由最值确定 由函数的 周期确定 由图象上的 特殊点确定 说明 ymax－yminymax＋yminA＝，B＝ 22利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期 代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ φ 提醒：三角函数图象的平移问题 (1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T2.

(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换φφφ

成ωx＋ω，根据ω确定平移量的大小，根据ω的符号确定平移的方向．



1.(知图求值)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．

－1 [由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝2ππ5π4×2－1＝6，所以ω＝T＝3，所以f(x)＝Asin3x＋φ，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336π

＋3)＝f(3)＝Asin3×3＋φ＝－Asin φ＝－1.]



π

2．(平移变换的应用)将偶函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )

kππ

A.3＋4，0(k∈Z) kππ

C.3＋6，0(k∈Z) 

kππ

B.3＋12，0(k∈Z) kπ7π

D.3＋36，0(k∈Z) 

π

A [因为函数f(x)＝sin(3x＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝2，f(x)的图象向ππππ

x－12＋＝sin3x＋4的图象，分析选项右平移12个单位长度后可得g(x)＝sin3

2kππ

知3＋4，0(k∈Z)为曲线y＝g(x)的对称中心．故选A.] 

2sin x，x∈[0，π]，3．(与函数的零点交汇)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)

|cos x|，x∈π，2π]，－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是( )

A．(0,1) C．(0,1]

B．[1,2] D．(1,2)

A [画出函数f(x)在[0,2π]上的图象，如图所示： 若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，＝f(x)和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，

结合图象，知0＜m＜1.]

三角函数的性质及应用(5年7考)

[高考解读] 高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断或求解，二是利用性质求参数的范围值，准确理解y＝sin xy＝cos x的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主. π1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋3，则下列结论错误的是( )

A．f(x)的一个周期为－2π

8π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称

即y

π

C．f(x＋π)的一个零点为x＝6 π

D．f(x)在2，π单调递减



πD [A项，因为f(x)＝cosx＋3的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－

2π，A项正确．

8π8ππB项，由f3＝cos3＋3＝cos 3π＝－1，可知B正确；



ππππ

C项，由f(x＋π)＝cosπ＋3＋x＝－cosx＋3得f6＋π＝－cos 2＝0，故C

正确．

2πD项，由f3＝cos π＝－1可知，D不正确．]



2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )

π

A.4 3πC.4

πB.2 D．π

πA [法一：(直接法)f(x)＝cos x－sin x＝2cosx＋4，且函数y＝cos x在区间

ππ3π

[0，π]上单调递减，则由0≤x＋4≤π，得－4≤x≤4.因为f(x)在[－a，a]上是减函π

－a≥－4，

数，所以3π

a≤4，A.

法二：(单调性法)因为f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即2ππsinx＋4≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝2sinx＋4的图象(图略)，可知有

πππ

解得a≤4，所以0＜a≤4，所以a的最大值是4，故选

π－a＋4≥0，πa＋4≤π，

πππ

解得a≤4，所以0＜a≤4，所以a的最大值是4，故选A.]

3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

π

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；

④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ C．①④

B．②④ D．①③

C [法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，ππ

故①正确；当2＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在2，π单调递减，故

②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.

法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故π

①正确，排除B；当2＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin xπ

＝2sin x，∴f(x)在2，π单调递减，故②不正确，

排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.

法三：画出函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确，故选C.

]

[教师备选题]

1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

13

A.kπ－4，kπ＋4，k∈Z 13

B.2kπ－4，2kπ＋4，k∈Z 31

C.k－4，k＋4，k∈Z 13

D.2k－4，2k＋4，k∈Z 

51D [由图象知，最小正周期T＝24－4＝2，

2π

∴ω＝2，∴ω＝π.

1ππ由π×4＋φ＝2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝4， ππx＋∴f(x)＝cos. 4

π13

由2kπ<πx＋4<2kπ＋π，得2k－4∴f(x)的单调递减区间为2k－4，2k＋4，k∈Z.故选D.]



ππ

ω＞0，|φ|≤2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2，x＝－4为f(x)ππ5π

的零点，x＝4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在18，36上单调，则ω的最大值为

( )

A．11 C．7

B．9 D．5

B [先根据函数的零点及图象、对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函1π5ππ5π数f(x)在18，36上单调，则18，36的区间长度不大于函数f(x)周期的2，然后结π

合|φ|≤2计算ω的最大值．

ππ

因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个零点为x＝－4，x＝4为y＝f(x)图象的对称轴， Tπ所以4·k＝2(k为奇数)．

2π

又T＝ω，所以ω＝k(k为奇数)． π5π

又函数f(x)在18，36上单调，

π12π

所以12≤2×ω，即ω≤12.

ππππ3π若ω＝11，又|φ|≤2，则φ＝－4，此时，f(x)＝sin11x－4，f(x)在18，44上

3π5π单调递增，在44，36上单调递减，不满足条件．



ππππ5π若ω＝9，又|φ|≤2，则φ＝4，此时，f(x)＝sin9x＋4，满足f(x)在18，36上

单调的条件．故选B.]

1．求三角函数单调区间的方法 (1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得． (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断． 3．求三角函数周期的常用结论 2π(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小π正周期为|ω|. 1(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是2个周期，1相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的

1距离是2个周期．

1．(求单调区间)(2019·武昌调研)已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是( )

ππ

A.2kπ－6，2kπ＋6(k∈Z) π2π2kπ－，2kπ＋B.(k∈Z) 332ππ

C.2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z) π5π

D.2kπ－6，2kπ＋6(k∈Z) 

31π

B [因为f(x)＝22sin ωx－2cos ωx＝2sinωx－6，f(x)的最小正周期为2π，所2ππ以ω＝2π＝1，所以f(x)＝2sinx－6，



ππππ2π

由2kπ－2≤x－6≤2kπ＋2(k∈Z)，得2kπ－3≤x≤2kπ＋3(k∈Z)，所以f(x)的π2π

单调递增区间为2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)，故选B.]



2π

2．(求参数的值)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点3，0对称，且f(x)在

π

0，4上为增函数，则ω＝( ) 

3

A.2 9C.2

B．3 D．6

2π2π

A [依题意，f3＝sin3ω＝0，

2π

∴3ω＝kπ(k∈Z)． 3k

∴ω＝2(k∈Z)．

π0，又f(x)＝sin ωx在4上为增函数， 

ππ

∴0＜ω·4≤2，即0＜ω≤2. 3

∴k＝1，ω＝2，故选A.]

π

3．(求参数的范围)(2019·攀枝花模拟)已知f(x)＝sinωx＋φ＋3(ω＞0)同时满足

ππ下列三个条件：①|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为2；②y＝fx－3是奇函数；

π③f(0)＜f6.若f(x)在[0，t)上没有最小值，则实数t的取值范围是( )



5π

A.0，12 5π11πC.12，12 

D [由①得周期为π，ω＝2.

2πππ由y＝fx－3是奇函数且f(0)＜f6，可得其中一个φ＝－3，那么f(x)＝

π

sin2x－3. 

πππ

－，2t－∵x∈[0，t)，∴2x－∈3. 33因为f(x)在[0，t)上没有最小值， 35π可得t＞0，且f(0)＝f6＝－2，

4ππ3π3＜2t－3≤2， 5π11π

解得6＜t≤12，故选D.]

5π

B.0，6 5π11πD.6，12 