(完整word版)二次函数知识点梳理及经典练习(超详细),推荐文档

【知识点梳理】

一、基本概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，二c可以为零．次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，0 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． a0

向下 y轴 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0． 2.yax2c的性质：（上加下减） a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． a0

向下 0，c y轴 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． 3. yaxh的性质：（左加右减） a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，0 h，0 X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． a0

向下 X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 4.yaxhk的性质： a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，k X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． a0

向下 h，k X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

k； 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法 ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，2如下：

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

方法2：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，

yaxbxc变成yaxbxcm（或yaxbxcm）

2222⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位， yaxbxc变成 ya(xm)b(xm)c （或ya(xm)b(xm)c）

2. 平移规律： “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配b4acb2b4acb2方可以得到前者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a2222222五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

c、以及0，c关于对称轴对称的点一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的2h，c、与x轴的交点x1，0、x2，点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当x当xb时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大； 2a4acb2b当x时，y有最小值．

4a2ab4acb2b2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当x当xb时，y随x的增大而增大； 2ab时，y随x的增大而减小； 2a4acb2b当x时，y有最大值．

4a2a七、二次函数解析式的表示方法 1.二次函数解析式表示方法：

（1）一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； （2）顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

（3）两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般有如下几种情况：

（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a: a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结：a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口大小． 2. 一次项系数b: 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，总结：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

▲ab符号判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，即“左同右异”.

2a3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称：

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

222. 关于y轴对称：

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

223. 关于原点对称：

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）

22b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称： 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图像与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其（1） 当b24ac0时，图像与x轴交于两点Ax1，中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根．这两点间的距离b24acABx2x1.

a（2）当0时，图像与x轴只有一个交点； （3）当0时，图像与x轴没有交点.

①当a0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； ②当a0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2. 抛物线yax2bxc的图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图像的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，

b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 【基础题型概览】

一、二次函数的基本概念 1、y=mx

m2+3m+2

是二次函数，则m的值为（ ）

2

A、0，-3 B、0，3 C、0 D、-3

2、关于二次函数y=ax+b，命题正确的是（ ）

A、若a>0,则y随x增大而增大 C、若x>0时，y随x增大而增大

2

2

B、x>0时y随x增大而增大。

D、若a>0则y有最大值。

3、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。

二、简单作图 1、抛物线y125x3x，五点法作图。 2、y=ax2+bx+c，a<0，b>0，c<0 ，△<0，22画出大致图象。

三、二次函数的三种表达形式，求解析式

1、抛物线过（0，2），（1，1），（3，5），求解析式。

2、当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7），求解析式。

203、抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x，且在x轴上截取长度为22的线段，求解析式。

四、图像与a,b,c的符号之间的关系 1、二次函数

yax2bxc的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a、b、c间的关系判断

正确的是（）

A．ab＜0 B、bc＜0 C．a+b＋c＞0 D．a－b十c＜0

2yaxbxc（a0）的图象如图4所示， 2、已知二次函数

y x 有下列四个结论：①b0②c0③b4ac0 ④abc0，其中正确的个数有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

23 O 1 图4

22yaxbxcybxb4ac与反比例函数3、二次函数的图象如图所示，则一次函数

y 1

abcx在同一坐标系内的图象大致为（ ） y y O 1 x

O A． 2

y x

O B． x

y O C． )

x

y O D． x

4、已知抛物线y=ax+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( A.一、二、三象限

2

B.一、二、四象限 C．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限

5、已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a＞0.②该函数的图象关于直线x1对称. ③当x1或x3时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

五、二次函数的性质：顶点、对称轴、最值

2y2x8x1的顶点坐标为( ). 1、抛物线

O

（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）

2、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax^2bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？( ) (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。

2y(x1)2的最小值是（ ） 3、二次函数

2 A．2 B．1 C．－3 D． 3 222y2x2(ab)xab4、已知二次函数 ，a,b 为常数，当y达到最小值时，x的

值为（ ）.

abab（A）ab （B）2 （C）2ab （D）2 5、当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口___________.

六、平移问题

2y2x1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析

n

式为

2222y2x2y2x2y2(x2)y2(x2)A． B． C． D． 2y2x2、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） 2y2(x1)A．

2y2(x1)B．

2y2x1 C．

2y2x1 D．

22yxxyx3x2的图象，(a0)3、将函数的图象向右平移a个单位，得到函数

则a的值为 A．1

B．2

C．3 D．4

2yx4、把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析

式为（ ）.

2y(x1)3 A．

2y(x1)3 D．

22y(x1)3y(x1)3 B．C．

七、二次函数的增减性

1.已知函数y=4x－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。 2.已知二次函数y=x－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ________ . 2

2

15

3.已知二次函数y=－ x2+3x+ 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且

223八、函数之间的交点

1.抛物线y=x+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。 2.直线y=7x+1与抛物线y=x+3x+5的图象有 个交点。

九、关于二次函数的对称

1.抛物线y=2x－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。 2.抛物线y=ax+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x－4x+3，则a= b= c= __

十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1、如果二次函数y＝x＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）

2、二次函数y＝x-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 _______ 3、抛物线y＝－3x＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

4、如图所示，二次函数y＝x－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( )

A.6 B.4 C.3 D.1

5、已知抛物线y＝5x＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为49

，则m的值为( ) 25

A.－2 B.12

2

2

2

22222222C.24 D.48

6、若二次函数y＝(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是_____________. 7、已知抛物线y＝x2-2x-8.

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

十一、二次函数的应用

1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m。

建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y2x B．y2x C．yx22212D．y

12x2

2、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．

（1）建立如图1－2－56所示直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）货车正以 40km／h的速度开往乙地，当行驶1小时，忽然接到通知；前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

3、已知如图 1－2－53，△ABC的面积为2400 cm2，底边BC长为80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，S□BDEF=y cm． 求：（1）y与x的函数关系式；

2

（2）自变量 x的取值范围；

（3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

4、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？

【中考题型例析】 1. 二次函数解析式的确定

例1.求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.

2. 二次函数的图象

例2.y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( • ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2

yyOxOx

例3.已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

2

3.二次函数的性质

例4.对于反比例函数y=-

22

与二次函数y=-x+3,•请说出他们的两个相同点:①x___________,•②_________;•再说出它们的两个不同点:••①________________,••②_______________.

4.二次函数的应用

例5.已知抛物线y=x+(2k+1)x-k+k,

(1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点.

(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x1+x2=-2k+2k+1. ①求抛物线的解析式.

②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m的值.

2

2

2

2

2

【过关斩将】 一、选择题:

1.抛物线y=(x-2)+3的对称轴是( ).

A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.二次函数y=ax+bx+c的图象如图,则点M(b,

22

c)在( ). a A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.已知二次函数y=ax+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b-4ac>0 B.b-4ac=0 C.b-4ac<0 D.b-4ac≤0

4.把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解

析式是y=x-3x+5,则有( ).

A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21

5.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax+c的图象大致为( ).

2

2

2

2

2

2

22

2

6.已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m

二、填空题

1.若将二次函数y=x-2x+3配方为y=(x-h)+k的形式,则 y=_________. 2.请你写出函数y=(x+1)与y=x+1具有的一个共同性质___________.

3.已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析

式为___________.

2

2

2

2

2

4.已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次

函数的解析式:_____________.

5.已知抛物线y=ax+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_________. 6.有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:___________________. 三、解答题

1.已知函数y=x+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;

(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.

2.已知抛物线y=- 称.

(1)求m的值;

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;

(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.

3.如图,二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点. (1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;

(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.

2

2

2

122x+(6- m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对2

四、综合应用

1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:

(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.

(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?