2018-01-23高中数学必修二期末考试
考试时间2小时 满分150分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
、
是椭圆
的两焦点，Q是椭圆上任一点，过一焦点引
的外角平分线的垂线，则垂足M的轨迹为
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 2. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三
角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是
B. C. D. A.
3. 已知直线a与直线b垂直，a平行于平面，则b与的位置关系是
相交 D. 以上都有可能 A. B. bC. b与4. 体积为
棱锥
的球有一个内接正三棱锥的体积为
是球的直径，
，则三
A. B. C.
D.
5. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是
A. 4
B. C. D. 2
6. 一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的
表面积为
A.
B.
C.
D.
7. 过原点作直线与圆相交于两点，若所得劣弧长为，则直线
AB的方程为
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A.
8. 直线
B. C. D.
与曲线
有且仅有一个公共点，则的取值范围是
A. C.
B. D.
或
9. 若l为一条直线，
，则
A. 0个
10. 若直线
为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：； ，则；，则，则其中正确的命题有 B. 1个 C. 2个 D. 3个 与圆相切，则点的位置是
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上皆有可能
11. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图
所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A.
B.
C.
D.
12. 已知点
弦长为
是
：内一点，则以点M为中点的圆O的
B. C. D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知一个三棱锥的俯视图与侧左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，
侧视图是有一条直角边长为1的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______ ．
A.
14. 一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，
则此剩余部分的体积为______．
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15. 表面红色的正方体木块，棱长为5个长度单位，现将其分割为若干个棱长一个长度
单位的正方体小木块，其中两面红色的个数为 ； 16. 下列条件中，能判断两个平面平行的是 一个平面内的一条直线平行于另一个平面
一个平面内的两条直线平行于另一个平面
一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 如图，在直三棱柱
Ⅰ证明：Ⅱ若
平面
； ，求点
中，M为的中点，
为等边三角形．
到平面
的距离．
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18. 已知圆O：
和点
．
若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程； 若．
，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程并求此时的
19. 本小题满分14分
如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，
点E是CD边的中点，点
段
上，且
．
分别在线
证明：
求二面角的正切值
求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
20. 本题满分10分
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在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：
求点到直线
的距离；
求
边的高所在直线的方程．
21. 如图，直三棱柱
为
和
的中点。 平面
，
，
点
分别
Ⅰ证明：Ⅱ若二面角
为直二面角，求
的值。
四棱锥22. 如图，
底面
，
中，底面是正方形，是正方形
是的中点。求证：
的中心，
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平面
；
平面平面
；
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答案和解析
【答案】
1. A 8. B 13. 14. 5 15. 36 16.
2. C 9. C
3. D 10. A 4. C 11. D 5. B 12. C 6. C
7. C
17. Ⅰ证明：由直三棱柱
， 为
的中点，
，
，
又
平面Ⅱ解：
， ；
的性质知
为等边三角形，
为等边三角形，
，
又，
，
，
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解得点
， 到平面
的距离为
．
18. 解：由条件知点M在圆O上，
当
时，点M为
，
此时切线方程为：
；
即：当
时，点M为，
此时切线方程为：
或即：
在圆
即：
所求的切线方程为：当
时，
内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD
为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦 此时
，圆心
到直线AC的距离
，
从而可得，
．
19. 证明见解析；
．
20. 解
的方程为
即
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C到直线AB的距离 分
AB高的斜率为
AB高的方程： 分
21.
见解析
22.
【解析】
，与1. 解：如图所示，延长
于B点，连接MO，
是的平分线，且
中，且Q为
由三角形中位线定理，得
的延长线交
的中点
由椭圆的定义，得的长轴
是椭圆
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可得
，
，可得动点M的轨迹方程为
为以原点为圆心半径为a的圆 故选：A． 根据题意，延长，与的延长线交于B点，连接根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OM的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点M的轨迹方程为，由此可得本题答案． 本题在椭圆中求动点Q的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．
2. 解：由三视图知：几何体是半圆锥， 其中底面半径为2，高为母线长为6． 几何体的表面积
．
故选：C．
几何体是半圆锥，根据三视图的数据判断底面半径与高，求母线长，把数据代入表面积公式计算．
本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
3. a与b垂直，a与b的关系可以平行、相交、异面，a与平行，所以b与的位置可以平行、相交、或在内，这三种位置关系都有可能． 4. 解：由题意可得球O的半径为2，如图， 因为PQ是球的直径，所以，可得
，
所在小圆圆心为，可由射影定理，所以， 因为为的中心，所以可求出的边长为3，面积为
，
的体积为
．
因此，三棱锥
故选：C．
先确定球的半径，计算的面积，再计算三棱锥P一ABC的体积． 本题考查球的内接正三棱锥，考查三棱锥体积的计算，正确计算的面积是关键．
5. 解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为
所以，该棱锥的体积为故选：B．
根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为
，高为．
，高为；
，即可求出它
的体积．
本题考查了利用三视图求体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
6. 解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积侧面积表面积为
， ．
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．
故选C．
由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，根据圆锥表面积公式求解即可．
本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．
7. 解：由题意
设直线方程为，
直线AB的方程为故选：C． 由题意
圆心到直线的距离为， ，则
，
，利用点到直
，可得圆心到直线的距离为，设直线方程为
线的距离公式建立方程求出k，即可求出直线AB的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
8. 本题主要考查直线与圆的位置关系的综合性问题．
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故选：B．
9. 解：
平行于同一条直线的两个平面不一定平行，可能相交，错误．
垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，可能平行，错误． 若，则成立，正确． 若，则成立，正确． 故选：C．
根据面面平行的判定定理进行判断根据面面垂直的性质和判定定理进行判断根据线面平行和线面垂直的性质进行判断根据面面垂直的性质进行判断．
本题主要考查空间直线和平面，平面和平面之间平行和垂直的判定和性质的应用，要求熟练掌握相应的定理和性质．
与圆相切， 10. 解：直线
圆心到直线的距离：
，
，
与圆心的距离，
点P在圆上． 故选：A． 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由此得到，从而求出与圆心的距离，进而得到点P在圆上．
本题考查点与圆的位置关系的判断，考查直线与圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化、化归思想，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、两点间距离公式的合理运用．
为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱11. 如图，由已知条件可知，截去部分是以锥
设正方体的棱长为a，则截去部分的体积为它们的体积之比为故选D．
，剩余部分的体积为
评析： 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算，考查空间想象能力．
12. 解：圆的方程为
圆心
，半径为5，
化为．
以点M为中点的圆O的弦长为．
故选：C． 化圆的方程为为标准方程，求出圆心和半径，可得OM，即可求出以点M为中点的圆O的弦长．
本题考查以点M为中点的圆O的弦长，考查直线与圆的方程的应用，圆的标准方程，是基础题．
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13. 解：由题意可得：三棱锥
，
取AB的中点D，连接
． ．
该三棱锥的表面积
．
满足：底面
．
故答案为：． 由题意可得：三棱锥满足：底面，取AB的中点D，连接
，可得利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了三棱锥的三视图、线面垂直的判定与性质定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥， 正方体的棱长是， 三棱锥的体积剩余部分体积
，
故答案为：5．
由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去
一个三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
15. 本题考查正方体的结构特征。由于正方体的棱长等于5，那么 位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个。
16. 解：对于，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，不能判断两个平面平行； 对于
，根据平面与平面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线平行于另
，
一个平面，才能判断两个平面平行； 对于
，当两个平面相交时，存在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，故不
能判断两个平面平行； 对于
，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则两个平面没有公共点，能
判断两个平面平行， 故答案为
．
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17. Ⅰ通过直三棱柱
的性质知，结合M为的中点，
为等边三角形，可得，利用线面垂直的判定定理即得结论；
Ⅱ通过计算即可． 本题考查线面垂直的判定，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、分析能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18. 要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案． 当时，在圆内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时，圆心到直线AC的距离
，从而可得，，即可求出此时的．
本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上若在圆上，则该点为切点，若点在圆
上，则过点P的切线方程为
；若在圆外，切线应有两条一般用“圆心
到切线的距离等于半径长”来解较为简单若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．
，点E为DC中点， 19. 证明：因为所以
．
又因为平面
平面ABCD，交线为DC，
所以
平面ABCD．
又平面ABCD，所以．
由可知，
．
因为四边形ABCD为长方形，所以．
又因为，所以
平面PDC．
而平面PDC，所以．
由二面角的平面角的定义，可知为二面角
的一个平面角．
在中，
，
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所以
．
从而二面角的正切值为
．
连结因为
，
所以
．
易求得，
．
所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角，即，
在中，
．
所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为．
20. 解析 根据直线的斜截式方程求得AB 的方程为
即
再根据点到直线的距离公式求得 C到直线AB的距离
根据AB与AB的高垂直，得出AB高的斜率为
又因为AB高过点C，根据直线的点斜式公式求得：AB高的方程：
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21. 【解析】
证法一：连结，由已知
为直三棱柱，所以M为
． ，因此，而
，
而
，
，因此分别为
中点，
，三棱柱
又因为N为又证法二：取
，
因此
的中点，所以
，中点P，连结
，所以
的中点，所以，又
，
以A为坐标原点，分别以直线
，如图所示．
为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系
设于是
，则，
， ，
所以设
是平面
的法向量
由得
可取设
是平面
的法向量
由得
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可取因为即
为直二面角，所以
，解得
考点定位：本大题主要以直三棱柱为几何背景考查线面垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解突出考查空间想象能力和计算能力 22. 略
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