第２９卷第５期 ２００８年ｌ０月 暨南大学学报（自然科学版） Ｖ０１．２９ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ． ２ｏｏ８ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） 电力市场一类分段线性供应函数纳 什均衡解的存在性 周四清 （暨南大学经济学院，广东广州５１０６３２） ［摘要］ 供应函数均衡模型是研究电力市场发电商竟标行为的一种重要工具．不同于Ｃｏｕｍｏｔ模型描述的产量 竞争和Ｂｅｒｔｒａｎｄ模型描述的价格竞争，供应函数均衡模型更适合描述电力市场中竞标函数竞争行为．当电力市场 需求函数表示为市场价格与有界随机需求冲击的非线性函数时，每个发电商在其发电容量范围内向电力市场提交 一个分段线性供应函数，以获取最大化利润．在这种电力市场环境下构造了一类分段线性供应函数，证明了分段线 性供应函数纳什均衡解的存在性，从理论上获得了相关新结论，为电力市场供应函数均衡近似数值求解算法设计 提供理论基础． ［关键词］ 电力市场； 分段线性供应函数； 纳什均衡 ［中图分类号】Ｆ４１６．６１；Ｆ２２４．３２ ［文献标识码］Ａ ［文章编号】１０００—９９６５（２００８）０５—０４５１—０６ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｍａｒｋｅｔｓ ＺＨＯＵ Ｓｉ—ｑｉｎｇ （ＣｏＨｅｇｅ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｊｉｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，５１０６３２，Ｃｈｉｎａ） ［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｍｏｄｅｌ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ’ｂｉｄｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｗｈｏｌｅｓａｌｅ ｍａｒｋｅｔｓ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｐａｓｔ ｆｅｗ ｙｅａｒｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｍａｒｋｅｔ ｗｈｅｒｅ ｄｅｍａｎｄ ｉｓ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ，ｂｕｔ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｓ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｉｃｅ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｈｔ ａ ｂｏｕｎｄｅｄ ｒａｉｌ— ｄｏｍ ｓｈｏｃｋ．Ｅａｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｏｆｆｅｒｓ ａ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｉｔｈｉｎ ｈｉｓ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ， ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｍａｒｋｅｔ ａｎｄ ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｍａｘｉｍｉｚｅ ｈｉｓ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｐｒｏｆｉｔ．Ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｍａｒｋｅｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ．Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ，ｎｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｈｔｅｓｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉａ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎ— ｔｅｄ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｍａｒｋｅｔ；ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｎａｓｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ［收稿日期］２００８—０５—２３ ［基金项目】 国家社科基金资助项目（０６ＢＪＬ０６６）；暨南大学引进优秀人才科研启动基金资助项目（５１２０５０６８） ［作者简介］周四清（１９６４一），男，副教授，博士（后），主要研究方向：能源金融，智能信息处理 ４５２ 暨南大学学报（自然科学版） 第２９卷 Ｋｌｅｍｐｅｒｅｒ＆Ｍｅｙｅｒ¨ 在分析英格兰和威尔士电 所有定理和结论的证明． 力现货市场交易竞争行为时提出了供应函数均衡概 念，首次求解了需求不确定情况下寡头电力市场供 应函数均衡解，并证明了只有当需求无限时才存在 唯一纳什均衡解．Ｇｒｅｅｎ＆Ｎｅｗｂｅｒｙ 研究了发电机 １ 问题描述 本文假设所有发电商成本函数是其发电量的二 次函数，发电商ｉ的成本函数表示为ｃ （ｑ）＝Ｃ ｇ＋ 组容量约束对电力市场供应函数均衡的影响，其容 量约束会大大降低纳什均衡解的个数；Ｇｒｅｅｎ［３ 将供 ０．５Ｄ ｇ２，其中ｃｉ，Ｄ 是给定的常数，ｑ≥ｏ表示发电 量，发电商ｉ的发电容量为 ，ｉ＝１，…，ｎ．在投 应函数模拟为线性供应函数，从此线性供应函数均 衡模型就成为了电力市场中一个研究热点；Ｂａｌｄｉｃｋ 等－４ 研究了容量约束和限价约束对线性供应函数 的影响，证明了只有线性供应函数均衡点是稳定的， 特别对于具有非零截距线性边际成本的非对称发电 商，只有当市场价格大于其边际成本截距时才愿意 发电，由于不同发电商一般具有不同边际成本截距， 因此不同价格段内愿意发电的发电商组成与数目可 能很不相同，也就是不同价格段内可能存在不同线 性供应函数均衡．Ｇｒｅｅｎ＆Ｎｅｗｂｅｒｙ 在应用供应函 数均衡模型研究英格兰和威尔士电力市场时，通过 分析每天提交的调度方案，发现需求的不确定性等 价于１３时变需求．自此以后，供应函数均衡模型广泛 应用于电力现货市场发电商的竞标行为研 究 。 一 ． Ｂａｌｄｉｃｋ＆Ｈｏｇａｎ＿５ 研究了存在价格上限约束时 供应函数均衡点的存在性．Ａｎｄｅｒｓｏｎ＆Ｈｕ＿１。。从数 值近似求解角度提出了一种供应函数均衡解逼近方 法，通过构造一类分段线性供应函数来研究均衡解 的存在性，但均衡问题求解规模太大，同时在求解问 题的均衡解时，为了保证逼近解收敛于真实的供应 函数，需要验证全局最优． 本文研究电力市场供应函数均衡近似数值求解 的基础理论问题，当电力市场需求函数表示为市场 价格与有界随机需求冲击的非线性函数时，每个发 电商在其发电容量范围内向电力市场提交一个分段 线性供应函数，以获取最大化利润．在这一电力市场 环境下，本文构造了不同于文献［１Ｏ］的一类分段线 性供应函数，研究了分段线性供应函数纳什均衡解 的存在性，为电力市场供应函数均衡近似数值求解 算法设计提供理论基础． 第１节给出了问题的描述及相关记号，第２节 研究分段线性供应函数均衡解的存在性，附录给出 标决策过程中，发电商将成本函数表示为分段线性 函数，因而得出的边际成本也是阶梯函数（分段常 数函数）． 假设需求函数形如Ｄ（Ｐ，８）＝Ｄ（Ｐ）＋ ＝Ａ一 印＋占，其中Ａ，曰是给定常数，Ｂ表示发电商剩余需 求价格弹性系数，Ｐ是电力价格， 是需求随机需求 冲击变量且有界占≤ ≤否，满足已知累积分布Ｆ（ ）， 将随机需求冲击区间［ ，否］离散化： ： ＜占：＜… ，，． ｔ、 ＜占 ＜ Ｋ＝否，其中Ｋ＞１， ＝Ｆ ｌ、 一上，ｌ （ｋ＝ｌ， …， ）． 当价格上限为 时，发电商ｉ必须提交所有可 用发电容量口ｉ，供应函数ｓ （ｑ）在０＜Ｐ≤卢时有定 义，特别当Ｐ＝ 时，８ （ｇ）＝ ，（ｉ＝ｌ，…，几），可进一 步假设 ＞ｍａｘ｛ｃ ＋Ｄ ： １，…，ｎ｝，价格上限 严格大于所有发电商在其发电容量时边际成本．如 果存在某发电商 满足 ＜Ｃ ＋ 及市场价格为 ，那么发电商为了自身的最大利益不会全力供电， 这样的话，发电商可能就会反对这种市场规则．事实 上，在实际运营的电力市场中，价格上限大于任何发 电商全力发电时的边际成本，如澳大利亚国家电力 市场，价格上限是１００００澳元ＭＷｈ；同时假设已有 容量满足价格响应需求，即Ｄ（ ， ）≤∑ ： ． 给定整数Ｋ＞１，发电商ｉ的 对供应价格一电 量（ｐｍ，ｑ ）（ｋ＝１，…，Ｋ），其中Ｐ ＜Ｐ ＋ｔ，０≤ｑ＊≤ ｑ ＋，≤ ，后＝１，…， ，构造分段线性供应函数如下： Ｕ’Ｐ≤ｐｎ且ｑｉｌ Ｕ ｑ ａ－ｑｇ １＋ｉｌ（Ｐ－－Ｐｉｌ），ｐ≤ｐ １且ｇ ｌ＞０ ｐ一ｐｆ１ｓ （Ｐ）＝ ｑ ＋ （ｐ－Ｐ￣），’ （１） Ｐ ≤ｐ≤ｐ ＋１且１≤．ｉ｝≤ 一１ ｑｉｌ（＋ ＋—Ｐ—ｐ－Ｐｉｌｅ），，ｐ≥ｐ 且ｑ ｐ≥ｐ 且ｑ ＜ｑｉ一 ｉＫ－Ｐｉｇ－１ （ｐ 第５期 周四清：电力市场一类分段线性供应函数纳什均衡解的存在性 ４５３ 图１表示了一个满足ｑ 。＞０，ｑ ＜亏 的函数．由 （１）定义的函数正好连接了给定的价格一电量对， 拓广了价格定义区间［Ｐ¨Ｐ ］，并且保证发电量不 为负或大于发电容量．当ｇ ＞０及ｇ＊＜ 时，由（１） 定义的函数ｓ （Ｐ）满足：存在６＞０，当Ｐ∈［ｐ 一６，ｐ ＋ ］时，ｓ （Ｐ）＞０及ｓ （Ｐ）＜口 ．当其它发电商响应 发电商的供应函数时，发电商ｉ供应函数仍然趋于 Ｐ 和Ｐ 由（１）式定义的函数ｓ （ｐ）在 处不光滑， ｋ：１，…。 图１ 连接最优响应点的逼近方法 图２最优响应点光滑的逼近方法 图２是文献［１０］中函数ｓ （Ｐ）的一种构造方 法，分段线性函数ｓ （ｐ）在ｐ 处是光滑的，其中 是 相邻两分段的交点． 本文将得出与图１和图２所定义两种逼近方法 完全不同的供应函数均衡解． 给定价格Ｐ 和随机需求冲击占 ，发电商ｉ的利 润为兀；（Ｐｍ，Ｆ ）：ｐ ｑ —Ｃ （ｑ ），其中ｑ ＝Ｏ（ｐ ， ｓ ）一∑ ｓｊ（ｐ ）是竞争对手留给发电商ｉ的剩余 供应电量．如文献［１１］所建立的供应函数均衡框 架，假设发电商ｉ已知竞争对手的供应函数ｓ （ｐ）， ≠ ，选择价格Ｐ ≤ 使得它的利润兀ｉ（Ｐ ）最大， 并在此价格下满足剩余需求（ｉ＝１，…，ｎ），也就是对 于发电商 ，求解下面利润最大化问题 ｍａｘ （Ｐ＊，占 ） ｐｉｔ ｓ．ｔ．Ｐ ≤ 且 ０≤Ｄ（ｐ 占 ）一∑ （ｐ ）≤ （２） 其中 是随机需求冲击，ｓ （ｐ）由（１）式定义．注意 到（２）是一维最大化问题，并且分段光滑．此外，在 （２）中所有函数都有左导数和右导数．所以，Ｐ （不 是区间的端点）是（２）的局部解当且仅当 兀 ＋（ｐ ）≤Ｏ和兀 ｉ一（ｐ ）≤Ｏ． 下一节将在上述假设条件下研究分段线性供应 函数纳什均衡的存在性． ２分段线性供应函数纳什均衡解的存 在性 假设随机需求冲击区间［ ， ］的一个离散化样 本为 ＝（ 一，占 ），其中 曼＝ １＜占２＜…＜ ＪＩ（一１＜ｌ？Ｋ＝否． 分段线性供应函数３ｉ （Ｐ）集：由（１）式定义并 满足（ｐ主，ｇ主）（ｉ＝１，…，ｎ，ｋ＝１，…， ）是 的一个 纳什均衡，如果对每个随机需求冲击 ，当ｉ＝ｌ， …，ｎ时，所有价格ｐ萎都是相同的，记为ｐ ，对于ｉ＝ ｌ，…，，ｌ和给定的ｓ （ｐ）（Ｊ≠ ），Ｐｋ‘是问题（２）的最 优解．如果没有特别说明，对于 ＝１，…，ｎ和ｋ＝ｌ， …， ，价格一电量对（ｐ ，ｇ ）在ｐ主＜Ｐ ：＋ ≤ 和 Ｏ≤ｑ主≤ｑ ＋ ≤口下是有意义的． 在讨论由最大化问题（２）定义一阶优化条件之 前，先导出一个条件意义下优化模型： ≤元，如果 ＜元，则Ｙ＝０；如果 ＝ ，则Ｙ＝１．等价于下列优化问 题的解： ｍａｘＹ Ｓ．ｔ．０≤ｙ≤１，Ｙ（元一 ）＝０ 其中 ≤元，一阶优化条件变成 ｌ＋ （元一 ）＋ １一 ２＝０，０≤），≤１，ｔ，１≥Ｏ， ２１＞０， １Ｙ＝０， ２（１一Ｙ）＝０ 其中 ， ， ：分别是对应约束的拉格朗日乘子． 考虑下面３种情形， 第１种情形：ｐＫ≤ ，如果Ｐ ＝ ，则ｑ ＝ｑ （ｉ＝ １，…，ｎ）． 第２种情形：ｑ ≥０，如果ｑ ＝０，则ｓ （Ｐ ）＝０． 暨南大学学报（自然科学版） 第２９卷 ． 第３种情形：类似于第２种情形，但ｋ＝Ｋ当时， ｑ ＝茸 ． 明这种优化曲线是存在的．由文献［７］中定理ｌ４有 以下结论成立． 又因为兀 ＋（Ｐ ， ）：ｑ ＋［Ｐ 一Ｃ （‰）］・ 性质２ 假设ｎ个发电商有相同的凸成本函 【Ｄ （ ）一∑ ｓ ＋（ｐ ）］，兀 一（ｐ ， ）有类似的 数ｃ（・），则供应函数均衡存在，每个参与者提交供 表达式，所以最大化问题（２）在Ｐ 处优化条件可以 写成（３）： ｑ 一（ｐ —Ｃ —Ｄ 【Ｂ＋∑ （ ＋ ～ｑｊｋ）／ （Ｐ ＋ｉ—Ｐ ）Ｊ＋ 一 ｍ≤０ 一ｑ ＋（ｐ 一Ｃ —Ｄｉｑ ）【Ｂ＋∑ （ 一 ）／ （Ｐ 一Ｐ 一１）ｌ— ＋ ≤０ ∑ ：。 ＝Ａ＋占 一８ｐ （ｑ —ｑ ）／（ｐ 一Ｐ ）≥０ ≤Ｐ≤ ，０≤ｑ＊≤ ≥０， ≥０ （亏；一ｑ ）＝０， ｑ ＝０ ｉ＝１，…， ，ｋ＝１，…，Ｋ （３） 其中ｑ ＝０，ｑ ＝ ．由（３）中第１个不等式得出方 程组的解Ｐ ≥Ｃ ，因为ｑ ≥０，Ｂ＋∑ （ ＋。一 ｑ ）／（ｐ ＋１一Ｐ ）＞０，此夕 ，Ｐｌ＜…＜Ｐ ＜ ． 方程组（２）有 ＋， 未知数：ｐ ，ｑ ｉ＝１，…，ｎ， ｋ＝１，…， 对于（３）的解，由占…＞ 有Ｐ ＋１＞Ｐ 及ｑ ＋ ≥‰事实上，如果存在某发电商ｉ和随机需 求冲击 使得ｑ肌 ＜ｑ ，则Ｐ…＜Ｐ＾以及对任意 ≠ ， ＋１≤ ，因为（ｑｍ＋１一ｑ ）／（ｐ ＋１一Ｐｋ）＞ｔ０．但 由于Ｄ（ ＋ ）＝Ａ＋ 一印 ＝∑ ＋ ＜ ∑ ＝Ａ＋ｓ 一印 ＝Ｏ（ｐ ， ），不可能推出 ＞ｓ 及Ｐ ＋１＜Ｐ ． 定理１假设（３）的解为（ｐ ，ｑ＊）（ｉ＝１，…，ｎ，ｋ ＝ｌ，…， ），则 （１）每个发电商都有一个来自竞争对手的凸聚 集供应函数，它的利润是凹的． （２）其解是供应函数竞标博弈的纳什均衡． 证明见附录． 当只有两个竞标者或者发电商对称时，定理１ 的结论表明任何均衡供应函数都是凸的，下面将证 应函数ｓ（・）＝ 一 （・），其中ｒ（ｑ）＝ｑ Ｉ口＋（凡 Ｌ ’ １ 一Ｉ）ｆ［ｃｑ ＋（ ）／ｘ ］ ｌ，Ｊ ｎｑ 是最大需求，任意选 择的常数０满足口≥ｃ ＋（ｑ ）（ｑ ）卜 ． 于是得到下面性质３ 性质３假设ｎ个发电商的成本函数都为ｃｇ＋ ０．５Ｄｑ ，ｓ（ｐ）和口分别是性质２中的均衡供应函数 和常数，则下面结论成立： （１）当 ＝２时，供应函数 （・）在其定义域内 是凸的． （２）当ｎ＞２且口≤ｃ （ｇ ）（ｑ ） 一 ＋Ｄ （ｑ ） ／（ｎ一２）时，供应函数ｓ（・）在其定义域内 是凸的． （３）当ｎ＞２且０＞ｃ （ｑ ）（ｑ ）卜 ＋Ｄ （ｑ ） ／（ｎ一２）时，供应函数 （・）在其定义域内 是凹的． 证明见附录． 如果存在光滑供应函数均衡使得每个发电商有 一个凸聚集供应函数，则当在端点 和 上合理地 选择供应函数的值时，供应曲线上的点就构成竞标 博弈｛（２）｝ ｉ＝１的纳什均衡．即有下面定理４成立． 定理４设｛ｓ （Ｐ） 是区间［ ，卢］上的光滑 供应函数均衡，ｎ个发电商的光滑凸成本函数为ｃ （ｑ），使得∑ ｓｊ （ｐ）是ｐ的凸函数， ＝１，…，凡．对 于任意给定有穷个点Ｐ 满足笆≤＿ｐ ＜Ｐ ＜…＜ｐＫ≤ 卢，令需求函数Ｄ（ｐ）满足Ｄ （Ｐ）＜０，对于随机需求 冲击区问内的点 。，…， 满足∑ ： ｓ （ｐ ）＝ Ｏ（ｐ ）＋ｓ ，则｛Ｐ１，ｓ （Ｐ ），…，Ｐ ，５ （ＰＫ）｝ ：ｌ是满 足（３）韵解，特别当Ｐ ＝卫或Ｐ ＝卢时，可以忽略在巳 或 时右导数条件或左导数条件． 证明见附录 从定理１和性质３，（３）并没有包含当发电商对 称时供应函数均衡是凹的情形．下面定义另一方程 组处理此种情况，其中并不直接处理随机需求冲击， 而是用任意两个相邻随机需求冲击的中点来定义 第５期 周四清：电力市场一类分段线性供应函数纳什均衡解的存在性 ４５５ Ｑ 一（ —Ｃ —Ｄｉｑ ）ｆ Ｂ＋∑ （ ＋ 一 ）／ １ ｓ ’（Ｐ ）｝ ： 是满足（４）的解． 证明见附录 （Ｐ 一Ｐ ）ｆ＞０ Ｊ —３小结 当利用供应函数均衡模型来研究发电商竞标策 ｑ＊＋（ｐ 一Ｃ —Ｄｉｑ ）ｆ Ｂ＋∑ （ 一 一 ）／ １ （Ｐ 一Ｐ ）Ｉ＞０ Ｊ ∑ ＝Ａ＋（占 ＋ ）／２一却 （９ —ｇ 一１）／（ｐ 一Ｐ 一１）≥０ ≤Ｐ ≤ ，０≤ｇ＊＋（ ＋１一ｓ ）／２≤ ｆ ｉ＝１，…，ｎ，ｋ＝ｌ，…，Ｋ （４） 其中 Ｑ ＝Ａ＋％ 一却 一∑ ＝ｑ ＋（ ， 一 ）／２ ｉ＝１，…，凡，ｋ＝１，…， 由（４）中第一个严格不等式表明，发电商的利 润函数随市场价格Ｐ严格递增，其中占 是随机需 求冲击，聚集供应函数是 ∑ ［ ＋（ｐ—ｐ ）（ ＋ 一 ）／（ｐ 一Ｐｋ）］， Ｐ∈［ ，Ｐ ］ 而（４）中第二个严格不等式表明，发电商的利 润函数随价格Ｐ严格递减， 是随机需求冲击，聚 集供应函数是 ∑ ［ 一 ＋（ｐ—Ｐｋ－１）（ 一 一。）／（ — Ｐ¨）］，Ｐ∈［ ，Ｐ ］ 所以当随机需求冲击为 ㈨时，发电商的最优 价格Ｐ∈（Ｐ ，Ｐ ），因为发电商ｉ的利润函数在区间 ［Ｐ ，Ｐ川］内是凹的．当 一 ， 一 时， 是随机 需求冲击，所有发电商有相同的最优价格． 类似于定理４，有如下定理成立． 定理５设｛ｓ，（Ｐ）｝ ： 是区间［ ， ］上的光滑 供应函数均衡，ｎ个发电商的光滑凸成本函数为ｃ （ｇ），且满足∑ （ｐ）是ｐ的凹函数，ｉ＝１，…，ｎ． 对于任意给定有穷多个点Ｐ。满 ≤Ｐ。＜Ｐ：＜… ＜Ｐ ≤ ，令需求函数Ｄ（ｐ）满足Ｄ （Ｐ）＜０，随机需 求冲击区间内的点 。。， 满足∑ ： ｓ （Ｐ ）＝ Ｄ（ｐ ）＋（ ＋占 ＋１）／２，贝Ｕ｛Ｐ１，ｓ （Ｐ１），…，Ｐ ， 略行为时，对于需求不确定的电力市场，如果市场需 求可以表示为市场价格和随机需求冲击的非线性函 数，本文通过构造不同于文献［１０］的一类分段线性 供应函数，从理论上证明了分段线性供应函数均衡 解的存在性，下一步证明这一类分段线性供应函数 均衡解的收敛性，这些理论结果将为设计电力市场 分段线性供应函数数值求解方法提供理论基础． ４ 附录 定理１的证明：对于ｉ＝１，…，ｎ和ｋ＝１，…， ， 由（３）中前两个不等式得出 ∑ （ ＋ 一 ）／（ｐ 一ｐ ）＞∑ （ 一 ｇ —１）／（ｐ 一Ｐ 一１） 即每个发电商在（３）的解将有一个聚集凸上升 分段线性供应曲线，发电商有全局拟凸利润函数，从 而解就是纳什均衡．并由上述表达式发现，两个端点 的选择影响解的存在性．证毕． 性质３的证明：由Ｃ（ｑ）＝Ｃｑ＋０．５Ｄｑ 直接计 算得， 当ｎ＝２时，Ｔ（ｑ）＝Ｃ＋ｇ（ｎ—Ｃ／ｑ ＋Ｄｌｎｑ ）一 Ｄｑｌｎｑ 当凡＞２时， Ｔ（ｑ）＝［（ｎ一２）Ｃ＋（ｎ一１）Ｄｇ］／（ｎ一２）＋９ 一 ［ｎ一［（ｎ一２）Ｃ＋（ｎ一１）Ｄｇ ］（ｇ ） 一 ／（ｎ一２）］ 当０＜ｑ＜ｑ 时，由性质２得 （ｑ）＞０．计算 （・）的二阶导数得， 当ｎ＝２时， （ｇ）＝一Ｄ／ｑ 当凡＞２时， （ｑ）＝（ｎ一１）（，￡一２）ｑ 一 ［ａ—ｃ （ｇ ）（ｑ ） 一“——Ｄ（ｑ ） 一“／（，ｚ——２）］ 又ｓ（ｐ）＝Ｔ一（Ｐ），得５”（ｐ）＝ （ｓ（Ｐ））／［Ｔ （ｓ （Ｐ））］ ，所以当口≥ｃ （ｑ ）（ｇ ）卜 和０＜ｑ＜ｑ 时， 得出 ”（ｑ）＝ ，＞０， 口≥ｃ （ｑ ）（ｑ ） ，凡＝２ ｛≥ｏ，口≤ｃ （ｑ ）（９ ） 一 ＋Ｄ（ｇ ） 一“／（ｎ一２），ｎ＞２ 【＜０，ｎ＞Ｃｔ（ｇ ）（ｑ’） 一 ＋Ｄ（ｑ ） 一 ／（ｎ－２），凡＞２ ４５６ 暨南大学学报（自然科学版） 第２９卷 由上式知，定理结论成立．证毕． 定理４的证明：首先，对于ｋ＝２，…，Ｋ，有 ∑ （ ）一 （ ）］／（ｐ ）］≥０ 又Ｑ“ ＝ｑ ＋（８ 一 ）／２＞ｑ ，（４）的第１个严 格不等式成立．类似可以证明（４）式的第２个严格 不等式．证毕． ［参考文献］ ∑ （ ）≥∑ （ ）￣－ＩＤ（ｐ ）＜Ｄ（ｐ ）， ＜ ．其次，对每个ｉ，Ｐ是 从而有 １＜占２＜…＜ 下列最大化凸问题的最优解 ｍ ａ ｘ （Ｄ（ｐ）＋ 一∑， （ｐ））ｐ—ｃ （Ｄ（ｐ）＋ ｓ一∑ （ｐ）） 对任意 和最优解条件，ｓ。 （Ｐ）＝一［Ｐ— ｃ （ｓ （ｐ））］（Ｄ 一∑ ｓｊ （ｐ）），从而推出ｐ≥ ｃ （ｓ，（ｐ）），如果ｓ （ｐ）＞ｏ，由Ｄ 一∑ （ｐ） ＜０知严格不等式成立．又∑ 々 （ｐ）是凸的，对 任意Ｐ‘＜Ｐ…有 ∑ （ｐ ）≤ ∑ ［ （ｐ ） （ｐ ）］／（ 一ｐ ）≤∑ ｓｉ （ ） （３）式在ｐ 关于ｑ ＝ （ｐ ）的右导数条件 ｓ （ｐ ）一［ｐ 一ｃ，。（ｑ ）］＿Ｄｉｐ＋ ∑， ［ （ｐ ＋ ）一ｓ／（ｐ ）］／（ｐ“。一ｐ ）］＝ ［ｐ —ｃ’ （ｇ ）］Ｉ∑ （ｐ ）一 ∑ ［ （ ＋ｔ）一 （ ）ｔ／（ｐ 一 ）ｌ≤ｏ 类似地可证明左导数条件成立．证毕． 定理５的证明：首先，类似于定理４的证明，有 ８１＜ｓ２ ＜… ＜ 一１ ＜ 和ｓ （ｐ） ＝一［ｐ— （ｓ『（ｐ））］（Ｄ＇Ｆ一∑ （ｐ）），ｐ≥ （ （ｐ））（如 果ｓｉ’（ｐ）＞ｏ，则严格不等式成立）．因为 ∑ （ｐ）是凹的，对任意 ＜ｐ㈧，有 ∑ （ｐ ）≥∑』 ［ （ｐ ）一ｓ，．（ｐ ）］／ （ｐ 一ｐｋ）≥∑ （ ） 从而 ｓｉ （ｐ ）一［ｐ 一ｃ （ｇ ）］［～Ｄ ＋ ∑ ［ ）一 （ ）］／（ 一Ｐｋ）Ｊ＝ ［ｐ （ｑ ）］【∑ （ｐ ）一 ［１］ ＫＬＥＭＰＥＲＥＲ Ｐ Ｄ，ＭＥＹＥＲ Ｍ Ａ．Ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉ－ ｌｉｂｒｉａ ｉｎ ｏｌｉｇｏｐｏｌｙ ｕｎｄｅｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｉｒｃａ， １９８９，５７（６）：１２４３—１２７７． ［２］ＧＲＥＥＮ Ｒ Ｊ，ＮＥＷＢＥＲＹ Ｄ Ｍ．Ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｂｒｉｉｔｓｈ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｓｐｏｔ ｍａｒｋｅｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｌｉｔｉｃａｌ Ｅｃｏｎｏｍｙ， １９９２，１００（５）：９２９—９５３． ［３］ ＧＲＥＥＮ Ｒ Ｊ．Ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｂｒｉｔｉｓｈ ｅｌｅｃ・ ｔｒｉｃｉｔｙ ｓｐｏｔ ｍａｒｋｅｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｉｒａｌ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ， １９９６，４４（２）：２０５—２１６． ［４］ＢＡＬＤＩＣＫ Ｒ，ＧＲＡＮＴ Ｒ，ＫＡＨＮ Ｅ．Ｌｉｎｅａｒ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｅ－ ｔｉｏｎ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｎ：ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ，ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｌｉｍｉｔａ— ｔｉｏｎｓ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｕｃｅｉ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｃｅｉ／ ｐｗｒｐｕｂｓ／ｐｗｐ０７８．ｈｔｍｌ，２０００． ［５］ＨＯＧＡＮ Ｗ．Ｃａｐａｃｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒｉａｎｅｄ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｉｔｏｎ ｅｑｕｉ－ ｌｉｂｒｉｕｍ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｍａｒｋｅｔｓ：ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｎｏｎｄｅ— ｃｒｅａｓｉｎｇ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，ａｎｄ ｆｎｕｃｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ［Ｒ］． Ｐａｐｅｒ ＰＷＰ－０８９，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ Ｅｎｅｒｇｙ Ｉｎｓｔｉｔｕ・ ｔｅ，２００１． ［６］ ＢＡＬＤＩＣＫ Ｒ．Ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｙｔ ｍａｒｋｅｔ ｅｑｕｉｉｌｂｒｉｕｍ ｍｏｄｅｌｓ：Ｔｈｅ ｅｆｅｃｔ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｉｒｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｏｗ・ ｅｒ Ｓｙｓｔｅｍ，２００２，１７（４）：１１７０—１１７６． ［７］ ＲＵＤＫＥＶＩＣＨ Ａ．Ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉｉｌｂｒｉｕｍ ｉｎ Ｐｏｏｌｃｏ— ｙｔｐｅ ｐｏｗｅｒ ｍａｒｋｅｔｓ：ｌｅａｒｎｉｎｇ ａｌｌ ｔｈｅ ｗａｙ［Ｒ］．Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ ＴＣＡ ０６９９—１７０１，Ｔａｂｏｒｓ，Ｃａｒａｍａｎｉｓ，ａｎｄ Ａｓｓｏ－ ｃｉａｔｅｓ，１９９９． ［８］ ＷＯＬＡＫ Ｆ．Ａｎ ｅｍｐｉｉｒｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｉｍｐａｃｔ ｏｆ ｈｅｄｇｅ ｃｏｎ— ｔｒａｃｔｓ ｏｎ ｂｉｄｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ａ ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｖｅ ｅｌｅｃｔｉｒｃｉｙｔ ｍａｌ＇－ ｋｅｔ［Ｒ］．ＮＢＥＲ Ｗｏｒｋｉｎｇ Ｐａｐｅｒ Ｎｏ．８２１２，Ａｐｒｉｌ ２００１． ［９］ ＢＯＲＥＮＳＴＥＩＮ Ｓ．Ｔｈｅ ｔｒｏｕｂｌｅ ｗｉｔｈ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ ｍａｒｋｅｔｓ： ｎｕｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ’ｓ ｒｅｓｔｒｕｃｔｕｒｉｎｇ ｄｉｓａｓｔｅｒ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ，２００２，１６：１９１—２１２． ［１０］ＡＮＤＥＲＳＯＮ Ｅ，ＨＵ Ｘ．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉ・ ｌｉｂｒｉａ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｙｔ ｍａｒｋｅｔｓ［Ｒ］．Ａｕｓｔｒｌａｉｎａ Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｎｅｗ Ｓｏｕｔｈ Ｗａｌｅｓ， Ｓｙｄｎｅｙ，２００５． ［１１］ＨＯＬＭＢＥＲＧ Ｐ．Ａｓｙｍｍｅｔｉｒｃ ｓｕｐｐｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｑｕｉｌｉｌｉｂｒｉ— ｕｍ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｍａｒｇｉｎａｌ ｃｏｓｔｓ［Ｒ］．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｃｏ－ ｎｏｍｉｃｓ，Ｕｐｐｓａｌａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｅｔ，Ｓｗｅｄｅｎ，２００５． ［责任编辑：王景周］
