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反比例函数复习指导
1.反比例函数
k (k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0。 xs 例如svt可化为t，s一定，t是v的反例函数：
v 一般地，函数y=
（1）s一定，若说v是t的反例函数，关系式一般写成vs； t （2）y
k1也可以写成ykx. x ①反比例函数三种形式：反比例函数y=
k (k是常数，k≠0)可以写成y=k·x-1(k是常数，k≠0), 自x变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0)。 ②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数。
③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由数，两个变量的商是定值。 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数y=
y=k (k≠0)，因为k为不等于零的常xk(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表 xy=k>0 反比例函数 k的符号 图象 k (k≠0) xk<0 性质 ①x的取值范围是x≠0， y的取值范围是y≠0. ①x的取值范围是x≠0， y的取值范围是y≠0. ②当k>0时，函数图象的两个分支分别在②当k<0时，函数图象的两个分以分别在第一、第三象限。在每个象限内，y随x第二、第四象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 新课标教学网（www.xkbw.com）--欢迎下载教学资料
的增大而增大。 新课标教学网（www.xkbw.com）--最专业的中小学教学资源共享平台
反比例函数y=
k(k≠0)的图象的画法及应注意的问题 x 画图方法：描点法。
由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。
一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。 k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。 特点：y=
k=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限x靠近x轴、y轴。
画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。 3.题型解题新思路 （1）判断图象经过的象限
例1 函数y=
k与y=kx+1(k≠0)在同一坐标系内的大致图象是 （ ） x
【解析】 列表分析如下：
故选C．
例2 在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x与反比例函数y=
4m的图象大致位置不可能是（ ） x
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【解析】 列表分析如下：
故选D．
【技巧点拨】 没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现．不少同学对解答这类题感到困难．以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案． （2）求反比例函数经过的解析式
例3 已知，与x成反比例，与成正比例，并且当x=3时，y=5；当x=1时，
，求y与x的函数关系式。
【解析】设
【误区点拨】 在y与x的关系式中有两个待定系数k1和k2，它们是不相同的，不能都用k表示。 例4 已知函数y=(m+m-6)
2
，问m为何值时，函数是反比例函数，且图象在第二、第四象限。
【解析】 ∵函数是反比例函数。
2
∴ m-3m+1=-1解得m=1或m=2 又∵图象在第二、四象限
2
将m=1代入m+m-6中得12+1-6<0，适合要求。
而将m=2代入m2+m-6=0，这时函数不是反比例函数。
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【技巧点拨】 1.反比例函数y=
k中自变量x次数为-1，且系数k≠0，当k<0时，图象在第二、四x象限。2.本题中,字母m应满足m2+m-6<0，但这样的不等式我们还不会解，所以可采取验证的方法分别将m的值代入，看是否符合不等式。这种方法在某些不可解的情况下常会用到。 （3）一次函数与反比例函数的结合
例5 已知一次函数y＝3x+m与反比例函数y＝
m3
的图像有两个交点. x
(1)当m为何值时，有一个交点的纵坐标为6? (2)在(1)条件下，求两个交点的坐标. 【解析】 (1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可. 解 (1)把y＝6分别代入y＝3x+m和y＝ 得 3x+m＝6, ①
m3, xm3＝6. ② x6mm3 消去x得＝,
63
解得m＝5.
(2)由(1)得一次函数为y＝3x+5，反比例函数为y＝ 解方程组 y＝3x+5, y＝
2. x2,得 x
∴两个函数图像的交点为(-2，-1)，( 3x+m＝6,
1,6). 33xm6,m36,x 【技巧点拨】 (1)问中所求的是m的值，所以在得到方程组之后，不用求x，只要消去
x求出m的值就行了.
k5 例6（2006山东）已知一次函数y=2x-k的图象与反比例函数y=x的图象相交，其中有一个交点的
纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．
【解析】 依题意，由两个函数解析式得
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所以一次函数和反比例函数的解析式分别为
【探索发现】 这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决． （4）实际应用题
例7 为预防“非典”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例，现测得药物8min燃完，此时室内气中每立方米的含药量为6mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是__________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为了__________；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1．6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_________分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【解析】 （1）y=
30x848x()，y=； 4x48中得x=30，故从消毒开始，至少需要经过30min，后学生才能x （2）30（提示：由y=1，6代入y=回到教室．）
（3）此次消毒有效； 把y=3代入y=
348x，得x=4；把y=3代入y=，得x=16． 4x33mg/m 因为16—4=12>10，即空气中的含药量不低于的持续时间有12min，大于10min的有效消毒
时间，所以此次消毒有效．
【归纳整理】 药物燃烧时与药物燃烧后y与x的函数关系式分别为正比例函数和反比例函数，求出
函数解析式并根据题意作出解答．利用反比例函数来解决生活中的实际问题，其关键是从实际问题中抽象出函数关系，从而将文字转化为数学语言，通过反比例函数的概念列出函数关系式，再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题．学会将数学知识应用到实际生活的各领域中，提高应用能力．
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例8（2006山东） 在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求p与S之间的函数关系式；
2
(2)求当S＝0.5 m时物体承受的压强p．
k
【解析】 （1）设所求函数解析式为p= , s
把（2.5,1000）代入解析式，
k
得1000= ，解得k=2500；
2.52500
（s>0） s
2
（2）当s=0.5m时，p=5000(pa)
本题第(2)小题也可利用图象加以解决． ∴所求函数解析式为p=
【观察思考】 本题意在考查反比例函数的意义．在实际问题中求函数的解析式时，要注意确定自变量的取值范围．
例9 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条
2
的总长度y(m)是面条的粗细（横截面积）S(mm)的反比例函数，其图象如图所示，
2
（1）写出y与S的函数关系式；
（2）当面条粗1.6mm时，面条的总长度是多少米？ 【解析】 （1）根据图形设反比例函数解析式为y=得k=128，
2
k(S>0)，讲图象上的点（4，132）代入解析式，S ∴
（2）当S＝1.6时，y=80cm。
【观察思考】 利用反比例函数来解决生活中的实际问题，其关键是从实际问题中抽象出函数关系，从而将文字转化为数学语言，通过反比例函数的概念列出函数关系式，再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题．
由于在实际问题中有很多条件，那么当自己认为解决了问题后，还要回头再把题目看一看，是否有疏忽的地方，以免求出的答案不符合题意．本题要注意自变量不能取负值。
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