反比例函数复习指导

反比例函数复习指导

一、考点提示

1、掌握反比例函数的定义；

2、掌握反比例函数的图象并能够熟练的画出反比例函数的图象； 3、掌握反比例函数的性质并能够熟练的应用反比例函数的性质； 4、掌握一元一次反比例函数的性质。 5、能够求出反比例函数关系式。

6、能够利用反比例函数解决实际问题。 二、题例分析

考点1．考查反比例函数的定义 考查方向：

反比例函数的定义，一般地，形如yk(k为常数，k0）的函数，称为反比例函数，

x其中x,y是两个变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。 例1．（2008常德）下面的函数是反比例函数的是 （ ）

x2 A． y3x1 B．yx22x C． y D．y

2x解析：（1）考查反比例函数的定义，关键是分析判断对于变量x,y，是否符合

k的形式的关系式，如果符合，则称 y是x的反比例函数，y(k为常数，k0）x自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，变量x,y都不能等于0。所以上例的结果是：D，现在考查往往单独考查。 考点2．考查反比例函数的图象和性质 考查方向：

（1）K值与反比例函数图象的分布；

（2）反比例函数考查反比例函数的增减性；

k2例2．（2008仙桃市）对于反比例函数y(k0)，下列说法不正确的是 ．．．xA. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k，k）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. y随x的增大而增大 解析：一般反比例函数的性质可以从以下四个方面来考查：（1）自变量取值范围是不等于零的所有实数；（2）当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x增大而减小(减函数)；（3）当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内．在每一个象限内，y随x增大而增大(增函数)；（4）当|x|越来越大时，双曲线越无限接近x轴但不能与x轴相交，当|x|越来越小时，双曲线越无限接近y轴但不能与y轴相交。对于上

k2k22例反比例函数y(k0)中，∵ k0，∴k＞0，∴y的图象分布在

xx

第一、三象限；点（k，k）在它的图象上；它的图象是中心对称图形；所以上题的结果是D。

考点3．确定反比例函数的关系式 考查方向：

确定反比例函数的解析式是应用反比例函数解决各种问题的基础，在各种综合题目中都有体现，是考查的重点。

例3．(2008东莞)经过点A（1，2）的反比例函数解析式是___ _____； 解析：（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数

_ 4

k关系式y中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，

x因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入yk中即可求出kx的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：yk（k0）②根据已知条件，x列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k值代入得反比例函数关系式

2ky中，如上解：y。 xx考点4．反比例函数在实际生活中的应用 考查方向：

（1）利用实际问题建立反比例函数模型（2）实际问题中的反比例函数自变量受到一定的（3）反比例函数问题往往与方程、不等式结合。

例4． (本题8分)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一

个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y4上运动．湖面风平浪静，

x双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)． (1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______，_______)、

y(百米) B(_______，_______)和C(_______，_______)； (2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从 A 1 A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援， ．．O -1 1 D x(百米) 设A、B两船的速度相等，教练船与A船的 -1 速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？ B 请说明理由． C (第25题图)

解析：反比例函数在现实生活中广泛存在，可以帮助我们利用反比例函数解决

许多实际问题，应用反比例函数解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，准确找出反比例函数关系，建立反比例函数建模。建立函数模型有两种思路：（1）一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系，把变量联系起来就得到函数的表达式。如上题解：(1)A(2，2)，B(－2，－2)，C(23，23)；

(2)作AD⊥x轴于D，连结AC、BC和OC．

∵A的坐标为(2，2) ∴∠AOD＝45°，AO＝22

∵C在O的东南45°方向上，∴∠AOC＝45°＋45°＝90° ∵AO＝BO，∴AC＝BC．又∵∠BAC＝60°，

∴△ABC为正三角形．∴AC＝BC＝AB＝2AO＝42．

∴OC＝2·42＝26．

由条件设：教练船的速度为3m，A、B两船的速度均为4m． 则教练船所用的时间为：∵

26243m3m263m3，A、B两船的所用的时间为

4224mm．

，

218m3m，∴

262＞3mm∴教练船没有最先赶到．

考点5．反比例函数的几何意义 考查方向：

根据反比例函数图象的情况确定K的取值k值的几何意义（过反比例函数图象上任意一点做x、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于∣k∣）。

2例5．（2008福州）如图，在反比例函数y（x0）的图象上，有点

xP1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与

y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1S2S3 ． y

2yP1 xP2

O

1

2

P3 3

P4 4

x

x

解析：研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数yk中，比例系数

k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数yk图象上任一点P作

xx轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积

S=PM·PN=|y||x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|。从而有SPNOSPMOk2。在解

有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。应用一般有三种情况：（1）比较面积大小；（2）求面积应用三；（3）确定解析式。如上解： 考点6．反比例函数y(k为常数，k0）与一次函数ykxb(k0）的综合 考查方向：（1）已知反比例函数与一次函数 求它们的图象的交点坐标，可由列方程组解得； （2）判断含有同一字母系数的反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系中的位置情况，可先假设一条正确求另一条解析式；（3）已知含有反比例函数或一次函数的信息，求反比例函数或一次函数的解析式，一般抓住定点或与其它函数综合 。

4例6．（2008郴州）已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数y 的图像

x交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．

4解析：因为B（－1，m）在y上， 所以m4，所以点B的坐标为（－1，

x－4），又A、B两点在一次函数的图像上， 所以ab4,2a＋b2a2解得: 所以所求的一次函数为

b2kxy=2x-2

考点7．反比例函数在跨学科中的应用

考查方向：反比例函数在物理学等学科中应用十分广泛，如：密度、力学、压力学等中存在的反比例函数关系，在学习中应主意物理公式和相关的图表信息，现在中考中考查的较多。 例7．（2008襄樊）如上图3，在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当V10m3时，气体的密度是（ ） A．5kg/m3 B．2kg/m3 C．100kg/m3 D，1kg/m3

解析：新的课程标准强调综合应用。为此，源于现实生活横跨几个学科的试题应运而生，在物理、化学、生物等方面靠拢。 三、链接加强

一，选择题

1．（2008湛江）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的

函数关系的图象大致是（ ）

h h h h

O a O a O a O a A B C D 2、（2008南京市）已知反比例函数的图象经过点P(2，1)，则这个函数的图象位于（ ）

A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限

k3、(2008宁夏) 反比例函数y(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是图象上

x两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2 的大小关系为（ ）

A．S1＞ S2 B．S1= S2 C．S1 ＜S2 D．无法确定 ｙ y

A A C A O ｘ B O x

B

7题图 3题图 4题图

24．（2008恩施）如图4,一次函数y1=x－1与反比例函数y2=的图像交于点

xA(2,1),B(－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（ ）

A. x＞2 B. x＞2 或－1＜x＜0 C. －1＜x＜2 D. x＞2 或x＜－1

65．（2008乌鲁木齐）．反比例函数y的图象位于（ ）

xA．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限

a6．（2008茂名）已知反比例函数y=(a≠0)的图象，在每一象限内，y的值随

xx值的增大而减少，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（ ） ．．． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．(2008宁波)如图7，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y则k的值是（ ）

k过点A，x

A．2 B．2 C．4 D．4 8．（2008嘉兴）某反比例函数的图象经过点(2，3)，则此函数图象也经过点（ ） A．(2，B．(3，C．(2，D．(4，3) 3) 6) 3)

29．（2008黄冈）已知反比例函数y=，下列结论中，不正确的是（ ） ．．．xA．图象必经过点(1，2) B．y随x的增大而减少 C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则y＜2

k110．(2008常州) 若反比例函数y的图象在其每个象限内,y随x的增大而

x减小,则k的值可以是（ ） A.-1 B.3 C.0 D.-3

k11．(2008西宁)如图8，已知函数y中，x0时，y随x的增大而增大，

x则ykxk的大致图象为（ ）

y y y y O A．

x O B．

x O C．

x O x D．

11题

图 1k12．(2008扬州)函数y的图象与直线yx没有交点，那么k的取值范围

x是（ ）

A、k1 B、k1 C、k1 D、k1

k13．（2008江西）若点(x0，y0)在函数y=( x＜0)的图象上，且x0y0=－2，则它

x的图象大致是 ( )

y x

y x O y y O x O

O x A. B. C. D.

14．(2008内江) 若A(a，b)，B(a2，c)两点均在函数y1的图象上，且a0，x则b与c的大小关系为（ ）

A．bc B．bc C．bc D．无法判断 15．(2008双柏)已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ） t/h t/h t/h t/h O v/(km/h O v/(km/h O v/(km/h O v/(km/h

B． C． D． A．

16.(2008益阳) 物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为PF. 当一个物体所受压力为定值时，那么该S物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为（ ）

P P P P

S S O O S S O O

A B C 二、填空题

D

k17．（2008巴中）如图8，若点A在反比例函数y(k0)的图象上，AMxx轴于点M，△AMO的面积为3，则k ．

18．（2008贵阳）利用图象解一元二次方程x2x30时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线yx2和直线yx3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程x2x30，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y x2－3和直线yx，其

6交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数y的图象（如图9所示），

x6（结果利用图象求方程x30的近似解

xy 66 yx --3 O --保留两个有效数字）

18题图

k19．（2008遵义）如图19，在平面直角坐标系中，函数y（x0，常数k0）

x的图象经过点A(1，（m1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若2)，B(m，n)，y △ABC的面积为2，则点B的坐标为 ． y Q A(1，2) B(m，A x O C C n) x P O B 20题图 19题图 21题图 m220．（2008南宁）图5是反比例函数y的图象，那么实数m的取值范围

x是

121．（2008荆州）如图，一次函数yx2的图象分别交x轴、y轴于A、B，

2P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数

k3y(k0)的图象于Q，SOQC，则k的值和Q点的坐标分别为

x2_________________________.

22．（2008云南）．函数y2中 ，自变量x的取值范围是_________． x1k的一个交点A的坐标为 x（-1，-2）．则m=_____；k=____；它们的另一个交点坐标是______． 24．（2008芜湖）在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移1个单位长

k度得到直线l．直线l与反比例函数y的图象的一个交点为A(a，则k的值2)，

x等于 ．

k25．(2008常州) 6过反比例函数y(k0)的图象上的一点分别作x、y轴的

x垂线段,如果垂线段与x、y轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是_ 4______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.

26．(2008西宁)如图26所示的是函数ykxb与ymxn的图象，求方程组ykxb的解关于原点对称的点的坐标是 ；在平面直角坐标系ymxnk中，将点P(5，3)向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数y的

x图象上，则此函数的图象分布在第 象限．

y 23．（2008梅州）已知直线ymx与双曲线y4 29 题3 x 26题

图 28.（2008白银）一个函数具有下列性质：（1）它的图像经过点（－1，1）；（2）

它的图像在二、四象限内； （3）在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．

k29．（2008河南试验区）如图29，直线ykx2(k＞0)与双曲线y在第一

xO 象限内的交点面积为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k

30．（2008宜昌）某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________.

三、解答题 31.（2008聊城）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(3，m)，Q(2， 3)．（1）求这两个函数的函数关系式；

（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；

（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何值时，一次

y 函数的值小于反比例函数的值？

6 5 4

3 2 1

O 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2--11

-2

-3 -4 -5

-6

31题图

432．（2008郴州）已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数y 的图像交

x于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式． 33．（2008义乌）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（33,3），点B的坐标为（－6，0）.

（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB，

请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；

（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A

恰好落在反比例函数y63的图像上，求a的值；

x（3）若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度（090）.

k①当=30时点B恰好落在反比例函数y的图像上，求k的值．

x②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出 的值；若不能，请说明理由. 34．（2008威海）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数

yk的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一x点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函y 数表达式．

A

O B x 34题图

四、反比例函数的应用 35．（2008巴中）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式． （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式．

（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？

36．( 2008杭州) 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为ya，如图t（a为常数）所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?

36题图