历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式A．mn

a1b1a2b2m，

b1c1

b2c2

n，则

b1a1c1

b2a2c2

（ B ）

B．nm C．mn D．(mn)

b1a1c1b2a2c2b1a1b2a2b1c1b2c2mnnm． 2．设A , B , C均为n阶方阵，ABBA，ACCA，则ABC（ D ） A．ACB

B．CAB C．CBA D．BCA

ABC(AB)C(BA)CB(AC)B(CA)BCA． 3．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A|1，|B|2，则行列式||B|A|之值为（ A ） A．8

B．2

C．2

D．8

||B|A||2A|(2)3|A|8． a11a124．Aa21a22a31a32A．PA

a13a113a12a23，Ba213a22aa33313a32

B．AP a13100100 a23，P030，Q310，则B（ B ）

001001a33 C．QA D．AQ

a11a12APa21a22a31a32a13100a113a12a23030a213a22a33001a313a32a13a23B． a335．已知A是一个34矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩(A)=2 B．若A中存在2阶子式不为0，则秩(A)=2 C．若秩(A)=2，则A中所有3阶子式都为0 D．若秩(A)=2，则A中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误的是（ C ） ．．

A．只含有1个零向量的向量组线性相关 B．由3个2维向量组成的向量组线性相关

C．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组1,2,3线性无关，1,2,3,线性相关，则（ D ） A．1必能由2,3,线性表出 C．3必能由1,2,线性表出

B．2必能由1,3,线性表出 D．必能由1,2,3线性表出

注：1,2,3是1,2,3,的一个极大无关组． 8．设A为mn矩阵，mn，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ D ） A．小于m

B．等于m C．小于n D．等于n

注：方程组Ax=0有n个未知量． 9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ A ） A．AT

B．A2

C．A1

D．A

|EAT||(EA)T||EA|，所以A与AT有相同的特征值． 222x2x32x1x2的正惯性指数为（ C ） 10．二次型f(x1,x2,x3)x1A．0 B．1 C．2 D．3

22f(x1,x2,x3)(x1x2)2x3y12y2，正惯性指数为2． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式

200720092008的值为_____________． 20102000200020002000782． 200720092008201091011320TB12．设矩阵A，，则AB_____________． 20101122220ATB1020． 016131

13．设(3,1,0,2)T，(3,1,1,4)T，若向量满足23，则__________．

32(9,3,3,12)T(6,2,0,4)T(3,5,3,8)T． 14．设A为n阶可逆矩阵，且|A|1，则||A1|_____________． n|A1|1n． |A|15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|_____________．

n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则|A|0． x1x2x3016．齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_____________．

2xx3x0231111111A213031，基础解系所含解向量的个数为nr321． 117．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3，则矩阵A2必有一个特征值为_________．

311111A有特征值3，则A2有特征值(3)23，A2有特征值． 333312218．设矩阵A2x0的特征值为4,1,2，则数x_____________．

200由1x0412，得x2． 1a1/2b19．已知A1/20000是正交矩阵，则ab_____________． 112(ab)0，得ab0． 由第1、2列正交，即它们的内积20．二次型f(x1,x2,x3)4x1x22x1x36x2x3的矩阵是_____________．

021203． 130三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a21．计算行列式Da2aa3a解：Da2aa3bb2bb3bb2bb3cc2的值． cc3bb2b3c1c2abcac3a21bb21c c2cac2a2cc3a311abc0ba0b2a2abc(ba)(ca)

1bacaabc2ba222ca11ca

c2a2bacaabc(ba)(ca)(cb)．

22．已知矩阵B(2,1,3)，C(1,2,3)，求（1）ABTC；（2）A2．

2246T解：（1）ABC1(1,2,3)123；

33692（2）注意到CBT(1,2,3)113，所以

3246

A2(BTC)(BTC)BT(CBT)C13BTC13A13123．

369

23．设向量组1(2,1,3,1)T,2(1,2,0,1)T,3(1,1,3,0)T,4(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．

21解：A(1,2,3,4)3110001011121103110111321101112110110 0310332111011110，向量组的秩为3，1,2,4是10011111001000020000101101100110000100000一个极大无关组，312．

1231424．已知矩阵A012，B2（1）求A1；（2）解矩阵方程AXB． 5．

00113123100120103解：（1）(A,E)012010010012

0010010010011001211211010012，A012； 0010000111211449（2）XA1B01225011．

0011313x12x23x3425．问a为何值时，线性方程组2x2ax32有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出

2x2x3x6231其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．

解：

343412341212(A,b)02a202a202a2．

2236023200a30

1234a3时，r(A,b)r(A)3，有惟一解，此时(A,b)02a2001010021002x1202020101，x21； 00100010x0312040202 00101234a3时，r(A,b)r(A)2n，有无穷多解，此时(A,b)0232

0000x21002100212030232013/21，x21x3，通解为1k3/2，其中k为任

20000000001xx33意常数．

20026．设矩阵A03a的三个特征值分别为1,2,5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使

0a3100P1AP020．

0052003a解：由|A|03a22(9a2)125，得a24，a2．

a30a3002EA032．

023对于11，解(EA)x0：

010100x100EA022011，x2x3，取p11；

022000xx133对于22，解(EA)x0：

000010x1x11EA012001，x20，取p20；

021000x003对于35，解(EA)x0：

030100x100EA022011，x2x3，取p31．

022000xx133010100令P(p1,p2,p3)101，则P是可逆矩阵，使P1AP020．

101005四、证明题（本题6分）

27．设A，B，AB均为n阶正交矩阵，证明(AB)1A1B1．

证：A，B，AB均为n阶正交阵，则ATA1，BTB1，(AB)T(AB)1，所以

(AB)1(AB)TATBTA1B1．

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设3阶方阵A(1,2,3)，其中i（i1,2,3）为A的列向量，若

|B||(122,2,3)|6，则|A|（ C ） |A||(1,2,3)||(122,2,3)|6． A．12

B．6

C．6

D．12

32．计算行列式

0100320502023

C．120

D．180

202

（ A ）

A．180 B．120

30221050022320302030321053(2)3(2)30180． 021000233．若A为3阶方阵且|A1|2，则|2A|（ C ） A．

1 2 B．2 C．4 D．8

|A|11，|2A|23|A|84． 224．设1,2,3,4都是3维向量，则必有（ B ） A．1,2,3,4线性无关

B．1,2,3,4线性相关 D．1不可由2,3,4线性表示

C．1可由2,3,4线性表示

5．若A为6阶方阵，齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2，则r(A)（ C ） A．2

B．3

C．4

D．5

由6r(A)2，得r(A)4． 6．设A、B为同阶方阵，且r(A)r(B)，则（ C ） A．A与B相似

B．|A||B|

C．A与B等价

D．A与B合同

注：A与B有相同的等价标准形． 7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A2E|（ D ） A．0

B．2

C．3

D．24

A2E的特征值分别为4,3,2，所以|A2E|43224． 8．若A、B相似，则下列说法错误的是（ B ） ．．A．A与B等价

B．A与B合同

C．|A||B|

D．A与B有相同特征值

注：只有正交相似才是合同的． 9．若向量(1,2,1)与(2,3,t)正交，则t（ D ）

A．2 B．0 C．2 D．4

由内积26t0，得t4． 10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（ B ） A．A正定

B．A半正定

C．A负定

D．A半负定

222z20z30，是半正定的． 对应的规范型2z1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

3221111．设A01，B010，则AB______________．

2432653211010AB01． 0104222412．设A为3阶方阵，且|A|3，则|3A1|______________．

|3A1|33|A1|3311339． |A|313．三元方程x1x2x31的通解是______________．

x11x2x3111，通解是0k11k20． x2x2001xx3314．设(1,2,2)，则与反方向的单位向量是______________．

1||||(1,2,2)． 1315．设A为5阶方阵，且r(A)3，则线性空间W{x|Ax0}的维数是______________．

W{x|Ax0}的维数等于Ax0基础解系所含向量的个数：nr532． 16．

153|5A|5125． |A|2(1/2)11317．若A、B为5阶方阵，且Ax0只有零解，且r(B)3，则r(AB)______________．

Ax0只有零解，所以A可逆，从而r(AB)r(B)3． 21018．实对称矩阵101所对应的二次型f(x1,x2,x3)______________．

0112f(x1,x2,x3)2x12x32x1x22x2x3． 1119．设3元非齐次线性方程组Axb有解12，2 2，且r(A)2，则Axb的通

3 3解是______________．

1111(12)0是Ax0的基础解系，Axb的通解是2k0． 2030120．设2，则AT的非零特征值是______________．

31由T(1,2,3)214，可得A2(T)T14T14A，设A的非零特征值是， 3则214，14． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

200010200021．计算5阶行列式D00200．

0002010002

20解：连续3次按第2行展开，D201020000201201021402088324． 012102220010014322．设矩阵X满足方程010X001201，求X．

002010120200100143解：记A010，B001，C201，则AXBC，

002010120

01/2010011A010，B001，

001001/2100143100

1XA1CB1020201001

2001120010

14310013411402001420． 20102102120x1x23x3x4123．求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解．

x5x9x8x023411131111311解：(A,b)313440467115980046711131104671 000005/444124440635103/23/40467104671013/27/41/4， 000000000000000

533xxx43145/43/23/4241371/43/27/4xxx，k1,k2都是任意常数． kk34，通解为212424010001x3x3xx4424．求向量组1(1,2,1,4)，2(9,100,10,4)，3(2,4,2,8)的秩和一个极大无关组．

921192192

1502041021004TTT解：(1,2,3)11020190 110244811208010009210000010000210，向量组的秩为2，1,2是一个极大无关组．

000021225．已知A5a3的一个特征向量(1,1,1)T，求a,b及所对应的特征值，并写

1b2出对应于这个特征值的全部特征向量．

21211解：设是所对应的特征值，则A，即5a311，从而

1b2111a2，可得a3，b0，1； b1对于1，解齐次方程组(EA)x0：

122EA533102101312101022523523011101312101x1x31，，基础解系为xx01121，属于1的全部特征向量为k3000xx133

11，k为任意1

非零实数．

122126．设A121a，试确定a使r(A)2．

1122122122121112解：A12112a2 210331211033a2a12211220332，a0时r(A)2． 000a四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．若1,2,3是Axb（b0）的线性无关解，证明21,31是对应齐次线性方程组Ax0的线性无关解．

证：因为1,2,3是Axb的解，所以21，31是Ax0的解；

设k1(21)k2(31)0，即(k1k2)1k12k230，由1,2,3线性无

k1k20关，得k10，只有零解k1k20，所以21,31线性无关．

k02

全国2011年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，（,）表示向量与的内-1

积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a11a12a132a112a122a131.设行列式a21a22a23=4，则行列式a21a22a23=（ ） a31a32a333a313a323a33A.12 B.24 C.36

D.48

2.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（ ） A.A-1

CB-1

B.CA-1B-1

C.B-1A-1C

D.CB-1A-1

3.已知A2

+A-E=0，则矩阵A-1

=（ ） A.A-E B.-A-E C.A+E

D.-A+E

4.设1,2,3,4,5是四维向量，则（ ）

A.1,2,3,4,5一定线性无关 B.1,2,3,4,5一定线性相关

C.5一定可以由1,2,3,4线性表示 D.1一定可以由2,3,4,5线性表出5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（ ） A.A=0 B.A=E C.r(A)=n

D.06.设A为n阶方阵，r(A)B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量

C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量 D.Ax=0没有解

7.设1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（ ） A.12是Ax=b的解

B.12是Ax=b的解

）

C.3122是Ax=b的解 D.2132是Ax=b的解

3908.设1，2，3为矩阵A=045的三个特征值，则123=（ ）

002A.20 C.28

B.24 D.30

9.设P为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P,P）=（ ） 1 23C. 2A.B.1 D.2

222x2x32x1x22x1x32x2x3的秩为（ ） 10.二次型f(x1,x2,x3)=x1A.1 B.2

C.3 D.4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

1k22k1=0，则k=_________________________.

12.设A=10k，k为正整数，则A=_________________________. 11-1

13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A=，则矩阵A=_________________________. 34 14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足23，则

12

=_________________________.

15.设A是m×n矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=_________________________. 16.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3172）=________. 17.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的维数是______________________.

3

18.设方阵A有一个特征值为0，则|A|=________________________.

19.设向量1（-1，1，-3），2（2，-1，）正交，则=__________________.

2224x22x32tx1x22x1x3是正定二次型，则t满足_________. 20.设f(x1,x2,x3)=x1

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

abc2abac2c2a2bcab 21.计算行列式2b2c

112，对参数讨论矩阵A的秩. 215 22.设矩阵A=110611311422515 23.求解矩阵方程X=

0011312312512 24.求向量组：1，2，3，4的一个极大线性无关组，并将16172513其余向量通过该极大线性无关组表示出来.

2x13x2x35x40 25.求齐次线性方程组3x1x22x34x40的一个基础解系及其通解.

x2x3xx02341322182 26.求矩阵的特征值和特征向量.

2143四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设向量1，2，….,k线性无关，1全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数（经管）试题参

课程代码：04184

三、计算题

解：原行列

式

全国2011年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

T*

说明：A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的

行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（ ） A．

B．3

=

C．5 D．

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A．

B．

C． D．

3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C是（ ）

-1

A． B．

C． D．

*

*

4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A的秩r (A)=（ ） A．0 C．2 5．设向量（ ）

B．1 D．3

，若有常数a,b使

，则

A．a=-1, b=-2 C．a=1, b=-2 6．向量组B．a=-1, b=2 D．a=1, b=2

的极大线性无关组为（ ）

A． B． C．

D．

7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）

A．3

B．2 C．1 D．0

8．设

是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ A． B．

C． D．

9．设矩阵A=，则A的对应于特征值的特征向量为（ ）A．（0，0，0）T

B．（0，2，-1）T

C．（1，0，-1）T

D．（0，1，1）T

10．二次型f(x221,x2,x3)2x1x1x2x2的矩阵为（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

）

11．行列式__________.

301341001012．行列式

1501中第4行各元素的代数余子式之和为__________.

2213．设矩阵A=，B=（1，2，3），则BA=__________.

13

，则|A|=__________. 2-1-122

15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________.

14．设3阶方阵A的行列式|A|=

16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为

__________.

111-1

19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,，则行列式|B|=__________.

23420．设A=

是正定矩阵，则a的取值范围为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A=

求：（1）AB；

T

（2）|AB|. 22．设A=

，B=

，C=

，且满足AXB=C，求矩阵X.

T

，B=，

23．求向量组

T

=（1, 2, 1, 0），

T

=（1, 1, 1, 2），

T

=（3, 4, 3, 4），

T

=（4, 5, 6,

4）的秩与一个极大线性无关组.

x1x23x3x4124．判断线性方程组2x1x2x34x42是否有解，有解时求出它的解.

x4x5x1341

25．已知2阶矩阵A的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为

=（7，1），求矩阵A.

，求行列式|A-E|的值.

T

=（-1，1），

T

26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=

四、证明题（本大题共6分）

27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明： （1）AB-BA为对称矩阵； （2）AB+BA为反对称矩阵.

全国2011年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A表示方阵A的转置钜阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表

T*

示方阵A的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设A101350，则AAT=（ ） 410A．-49 B．-7 C．7

D．49

2．设A为3阶方阵，且A4，则2A（ ） A．-32 B．-8 C．8

D．32

3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（ A．（A+B）T=A+B B．（AB）T=-AB C．A2

是对称矩阵

D．B2

+A是对称阵

4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A．若A2

=0，则A=0 B．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，则X=Y

D．若A+X=B，则X=B-A

11315．设矩阵A=02140005，则秩（A）=（ ） 0000A．1 B．2 C．3

D．4

kxz06．若方程组2xkyz0仅有零解，则k=（ ）

kx2yz0A．-2 B．-1 C．0

D．2

）

7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的维数是（ ） A．0 C．2

B．1 D．3

有无穷多解，则=（ ）

x12x2x313x2x328．若方程组x2x3(3)(4)(2)A．1 C．3

B．2 D．4

1009．设A=010，则下列矩阵中与A相似的是（ ） 002100A．020 001100C．011 002110B．010 002101D．020 0012210．设实二次型f(x1,x2,x3)x2x3，则f（ ）

A．正定 C．负定

B．不定 D．半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

TTT11．设A=(-1,1,2)，B=(0,2,3),则|AB|=______.

12．设三阶矩阵A1,2,3，其中i(i1,2,3)为A的列向量，且|A|=2，则

12,2,123______.

01013．设Aa0c，且秩(A)=3，则a,b,c应满足______.

1b0214．矩阵Q321212的逆矩阵是______. 3215．三元方程x1+x3=1的通解是______. 16．已知A相似于10，则|A-E|=______. 0200117．矩阵A010的特征值是______. 10018．与矩阵A12相似的对角矩阵是______. 211004

19．设A相似于010，则A______.

00120．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1234234121．计算4阶行列式D=.

341241231012

22．设A=020，而X满足AX+E=A+X，求X.

161

1253210123．求向量组：13,22,37,45的秩，并给出该向量组的一个极

12532341大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.

x12x22x3024．当为何值时，齐次方程组2x1x2x30有非零解？并求其全部非零解.

3xxx0123TT25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量1(1,1,1)、2(2,2,1)是A的

对应于121的特征向量，求A的属于31的特征向量. 26．求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形. 四、证明题（本大题6分）

27．设1，2，3线性无关，证明1，122，133也线性无关.

全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 答案

课程代码：04184

全国2011年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 AT

*

表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A的行列式为2，则12A( ) A.-1 B.14 C.14 D.1

x2x1x22.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为（ ） 3x23x23x5A.0 B.1 C.2

D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（ A.A0 B. AB0 C. A0

D. AB0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.(AB)2A22ABB2

B.(AB)(AB)A2B2

C.(AE)(AE)(AE)(AE) D.(AB)2A2B2

a1b1a1b2a1b35.设Aaaa2b12b22b3,其中ai0,bi0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（ ） a3b1a3b2a3b3A.0 B.1

C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ） A.0 B.2 C.3 D.4

7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（ ） A.-10 B.-4 C.3 D.10

）

x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=( )

2x2ax421A.1 2B.0

C.

1 2D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6

EA(2)(3)2,则A( )

B.-6 D.18

10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ） A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3 C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

3011.设行列式D242,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.

253212.设Aaabb,B,则AB__________.

aabb10313.设A是4×3矩阵且r(A)2,B020,则r(AB)__________.

10314.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.

15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解，且数0,则__________.

xxx031217.设4元线性方程组Axb的三个解α1，α2，α3，已知

1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.

18.设3阶方阵A的秩为2，且A5A0,则A的全部特征值为__________.

2

211119.设矩阵A0a0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数

4132a=__________.

T20.设实二次型f(x1,x2,x3)xAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形

为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.设矩阵A(,22,33),B(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量，且

A18,B2.求AB.

11101112X101122.解矩阵方程02.

110432123.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），

α4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.

T

T

T

2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32,

4x5x5x1231（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

225.已知2阶方阵A的特征值为11及2,方阵BA.

13（1）求B的特征值； （2）求B的行列式.

22226.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出

所作的可逆线性变换. 四、证明题(本题6分)

27.设A是3阶反对称矩阵，证明A0.

全国2012年1月自考 《线性代数(经管类)》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a111．设行列式a21a31a12a22a32a133a11a23=2，则a31a33a21a313a12a32a22a323a13a33=（ ） a23a33-1

TA．-6 B．-3 C．3 D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A B．E-A C．E+A

-1

D．E-A

-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） AA．可逆，且其逆为-1BBAC．可逆，且其逆为-1BAA-1A B．不可逆

BA-1B-1A D．可逆，且其逆为B B-14．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是

（ ）

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（ ） A．（0，-2，-1，1） C．（1，-1，-2，0）

TTB．（-2，0，-1，1） D．（2，-6，-5，-1）

TT6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ） A．1 B．2 C．3

D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11-1

8．设三阶方阵A的特征值分别为,,3，则A的特征值为（ ）

24111111A．2,4, B．,, C．,,3 D．2,4,3

324324

19．设矩阵A=21，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

11A．1232

01B．1021

C．11 D．21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B．正定矩阵的行列式一定小于零

C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

3

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB))=__________． 12212．设3阶矩阵A=4t3，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________．

31113．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________．

n14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

k-1

A(32)=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

226x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________．20．二次型f(x1,x2,x3)x125x2

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 11111421．计算行列式

246124221． 1222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-1

23．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关

组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

14324．设三阶矩阵A=253，求矩阵A的特征值和特征向量．

242

25．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40 2x1x23x40xxx2x02341223026．求矩阵A=

0311420611的秩．

001210四、证明题（本大题共1小题，6分） a1127．设三阶矩阵A=a21a31a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233

全国2012年4月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

T*

说明：在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示

方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a111.设行列式a21a12a22a32a13a112a122a222a323a133a23=( D ) 3a33D.12

a31A.-12

a23=2,则a21a33a31B.-6

C.6

120



2.设矩阵A=120,则A*中位于第1行第2列的元素是( A )

003

A.-6

B.-3

C.3

D.6

3.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则(A)1=( B ) A.3

B.1 3C.

1 3D.3

4.已知43矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于( C ) A.1 B.2 C.3 D.4

100



5.设A为3阶矩阵,P =210,则用P左乘A，相当于将A ( A )

001

A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行 D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组A.1

0x12x23x3的基础解系所含解向量的个数为( B )

x2+x3x4= 0B.2

C.3

D.4

7.设4阶矩阵A的秩为3，1，2为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为( A ) A.1c122 B.

122c1 C.1c122 D.

122c1

8.设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为( B )

A.

53B.3 5C.

3 5D.

5 31009.若矩阵A与对角矩阵D=010相似，则A3=( C )

001A.E

B.D

C.A

D.-E

22210.二次型f (x1,x2,x3)=3x12x2x3是( D )

A.正定的 B.负定的 C.半正定的 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

D.不定的

111.行列式21416=_______16_____.

4163600110012.设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P =010，Q =010，若矩阵B=QAP ,

100101则r(B)=______2_______. 13.设矩阵A=1448，B=，则AB=_______

1412________.

14.向量组1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3=(0,1,2,3)的秩为______2________. 15.设1,2是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A)=_______3_______.

1000216.非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为01002，

0012-2则方程组的通解是__________.

17.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=____6_______.

18.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_____3____.

22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1x23x3的正惯性指数为____2_____.

20.二次型

222f(x1,x2,x3)=x12x22x34x2x3经正交变换可化为标准形

.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

321.计算行列式D =

513022314

451203

13022.设A=210，矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.

002

23.设，，2，3，4均为4维列向量，A=（，2，3，4）和B=（，2，3，4）为4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

24.已知向量组1=(1,2,1,1)T,2=(2,0,t,0)T,3=(0,4,5,2)T,4=(3,2,t+4,-1)T（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.

x1x22x3x4325.求线性方程组x12x2x3x42的通解..

2xx5x4x73412

（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）

26.已知向量1=(1,1,1)T，求向量2，3,使1，2，3两两正交.

四、证明题（本题6分）

27.设A为mn实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.

全国2012年7月自考 线性代数(经管类)试题

课程代码:04184

国2012年10月自考《线性代数(经管类)》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

-1

T1．设行列式

a11a21a31a12a22a32a13a23a33=2，则

3a11a31a21a31D．6

3a12a32a22a323a13a33a23a33=（ ）

A．-6 B．-3 C．3

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A B．E-A C．E+A D．E-A

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） AA．可逆，且其逆为-1BBA-1 -1

-1

AB．不可逆

BA-1AD．可逆，且其逆为B B-1AC．可逆，且其逆为-1BAB-1 4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是（ ）

A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表

示

D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（ ）

A．（0，-2，-1，1） C．（1，-1，-2，0）

TTB．（-2，0，-1，1） D．（2，-6，-5，-1）

TT6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11-1

8．设三阶方阵A的特征值分别为,,3，则A的特征值为（ ）

24111111A．2,4, B．,, C．,,3 D．2,4,3

32432419．设矩阵A=21，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

11A．12301 B．1022111 C． D．21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

3

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB))=__________． 1223，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 12．设3阶矩阵A=4t31113．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________．

n14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

A(32)=__________．

k-1

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

226x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________． 20．二次型f(x1,x2,x3)x125x2三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 11111421．计算行列式

246124221． 1222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-1

23．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关

组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

14324．设三阶矩阵A=253，求矩阵A的特征值和特征向量．

242

25．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40 2x1x23x40xxx2x02341

223026．求矩阵A=

0311420611的秩．

001210四、证明题（本大题共1小题，6分） a1127．设三阶矩阵A=a21a31a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233全国2012年10月自考《线性代数(经管类)》答案