工程数学作业（第三次）(满分 100 分)
第 4 章 随机事件与概率
（一）单项选择题
⒈ A , B 为两个事件，则（ B）成立． A. ( A B) B A B. ( A B) B A C. ( A B) B A D. ( A B) B A ⒉如果（ C）成立，则事件 A 与 B 互为对立事件． A. AB
B. AB U
C. AB 且 AB U
D. A 与 B 互为对立事件
⒊10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（D ）． A. C 3 0.72 0.3 10
B. 0.3
C. 0.72 0.3 D. 3 0.72 0.3
4. 对于事件 A , B ，命题（C ）是正确的． A. 如果 A , B 互不相容，则 A , B 互不相容
B. 如果 A B ，则 A B
C. 如果 A , B 对立，则 A , B 对立
D. 如果 A , B 相容，则 A , B 相容
⒌某随机试验的成功率为 p(0 p 1) ,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（D ）．
A. (1 p)3
6. 设随机变量 X
B. 1 p3 C. 3(1 p) D. (1 p)3 p(1 p)2 p2 (1 p)
~ B(n , p) ，且 E ( X ) 4.8 , D( X ) 0.96 ，则参数n 与 p 分别是（A ）．
B. 8, 0.6
C. 12, 0.4
D. 14, 0.2
A. 6, 0.8
7. 设 f ( x) 为连续型随机变量 X 的密度函数，则对任意的a , b (a b) ， E ( X ) （A ）．
A.
C.
b
xf ( x)dx
B. D.
b a
xf ( x)dx f ( x)dx
a
f ( x)dx
8. 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
3sin x , x
A. f ( x) 2 2
其它 0 ,
sin x , 0 x
B. f ( x) 2
其它 0 ,
3sin x , 0 x
C. f ( x) 2
其它 0 ,
sin x , 0 x
D. f ( x)
其它 0 ,
9. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ，分布函数为 F ( x) ，则对任意的区间(a , b) ，
则 P(a X b) （ D）． A. F (a) F (b)
b
C. f (a) f (b)
B. D.
a b
F ( x)dx f ( x)dx
a
10.设 X 为随机变量， E ( X ) , D( X ) 2 ，当（C ）时，有 E (Y) 0 , D(Y) 1 ． A. Y X C. Y
B. Y X
X
D. Y
X 2
（二）填空题
⒈从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率
2 为 ． 5
2.已知 P( A) 0.3, P( B) 0.5 ，则当事件 A , B 互不相容时， P( A B) 0.8
，
P( AB ) 0.3
．
3. A , B 为两个事件，且 B A ，则 P( A B) PA．
4. 已知 P( AB) P( AB ) , P( A) p ，则 P( B) 1 P ．
5. 若事件 A , B 相互，且 P( A) p , P( B) q ，则 P( A B) p q pq ．
6. 已知 P( A) 0.3, P( B) 0.5 ，则当事件 A , B 相互时， P( A B) 0.65
，
P( A B) 0.3
．
0 x 0
x 0 x 1． 7. 设随机变量 X ~ U (0 , 1) ，则 X 的分布函数 F ( x)
1 x 1
8. 若 X 9. 若 X
~ B(20 , 0.3) ，则 E ( X ) 6 ．
~ N (, 2 ) ，则 P( X 3) 2(3) ．
10. E[( X E ( X ))(Y E (Y))] 称为二维随机变量( X , Y) 的 协方差
．
（三）解答题
1. 设 A , B , C 为三个事件，试用 A , B , C 的运算分别表示下列事件： ⑴ A , B , C 中至少有一个发生； ⑵ A , B , C 中只有一个发生； ⑶ A , B , C 中至多有一个发生； ⑷ A , B , C 中至少有两个发生； ⑸ A , B , C 中不多于两个发生；
⑹ A , B , C 中只有C 发生．
解:(1) A B C (2) ABC ABC ABC (3) ABC ABC ABC ABC (4) AB AC BC (5) A B C (6) ABC
2. 袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率： ⑴ 2 球恰好同色；
⑵ 2 球中至少有 1 红球．
解:设 A =“2 球恰好同色”， B =“2 球中至少有 1 红球”
C 2 C 2 3 1 2
P( A) 3 2 2
10 5 C 5 C1C1 C 2 6 3 9
P(B) 3 2 2 3
10 10 C 5
3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品则此零
件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求
加工出来的零件是正品的概率．
解：设 Ai “第 i 道工序出正品”（i=1,2）
P(A1 A2 ) P(A1 )P(A2 | A1 ) (1 0.02)(1 0.03) 0.9506
4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙
厂产品的合格率分别为 90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率． 解：设 A1 \"产品由甲厂生产\" A2 \"产品由乙厂生产\" A3 \"产品由丙厂生产\"
B \"产品合格\"
P(B) P(A1 )P(B | A1 ) P(A2 )P(B | A2 ) P(A3 )P(B | A3 )
0.5 0.9 0.3 0.85 0.2 0.80 0.865
5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是 p ，求所需设计次
数 X 的概率分布． 解： P(X 1) P
P(X 2) (1 P)P P( X 3) (1 P)2 P
…………
P(X k) (1 P)k1 P
…………
故 X 的概率分布是
2 1 3 k
(1 p) p k12p (1 p) p (1 p) p
6. 设随机变量 X 的概率分布为
2 3 4 5 6 0 1 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求 P( X 4) , P(2 X 5) , P( X 3) ．
解：
P(X 4) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.87 P(2 X 5) P(X 2) P(X 3) P(X 4) P(X 5) 0.2 0.3 0.12 0.1 0.72 P(X 3) 1 P(X 3) 1 0.3 0.7
7. 设随机变量 X 具有概率密度
1
试求 P( X ) , P( X 2) ．
2 4
1
1
解： P( X )
2
2x , 0 x 1 f ( x)
其它 0 ,
1 1 1
22 2 f (x)dx 2xdx x 2 0 0
1 4
2 1 1
P( X 2) f (x)dx 2xdx x 2 1
15
4
1 4
1 4
1 4
16
8.
2 312
2xdx x 解： E( X )
x
0 3 0 2 31124122 x 2xdx x E( X )x f (x)dx
2x , 0 x 1
设 X ~ f ( x) ，求．
其它 0 ,
xf (x)dx 1
4 0 2
1 21
D( X ) E( X 2 ) [E(x)]2 ( )2 2 3 18
0
9. 设 X ~ N(1,0.62 ) ，计算⑴ P(0.2 X 1.8) ；⑵ P( X
0) ． 解：
P(0.2 X 1.8) P(1.33 X 1 1.33) (1.33) (1.33) 2(1.33) 1 2 0.90821 0.81 0.2
X 1
P( X 0) P( 1.67) 1 (1.67) 1 0.9525 0.0475
0.6
10. 设 X 1 , X 2 ,
2
, X n 是同分布的随机变量， 已知 E ( X ) 1 , D( X ) 1 ，设
1 n n i 1
1 n
1
1
Xi ) n E( X1 X 2 Xn ) n [E( X1 ) E( X 2 ) E( Xn )] n i1
解： E( X ) E(
1
n n
1 n
D( X ) D( n X i )
i1
1
2 n
1
D( X1 X 2 X n )
2 n
[D( X1 ) D( X 2 ) D( X n )]
1
n 2 2
n n 2
1
