高考数学章节综合训练3选择性必修第一册

（120分钟 150分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( ) A.-1 B. C.1 D.-

2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( ) A.a+b=b+a

B.λ(a+b)=λa+λb D.b=λa

+

+

等于( )

C.(a+b)+c=a+(b+c)

3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则

A.

B.

C.

D.

4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( ) A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形

D.等边三角形

5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( ) A.平行

B.垂直 D.不确定

C.相交但不垂直

6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( ) A.,-1,- C.-,1,-

B.,1, D.,1,-

7.(2013·吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a

- 1 -

⊥b,则x+y的值是( ) A.1或-3 C.-3

B.-1或3

D.1

8.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是( ) A.

B.

C.

D.

9.下列命题正确的是( ) A.若

=

+

,则P,A,B三点共线

B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底 C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c| D.△ABC为直角三角形的充要条件是

·

=0

10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是

( )

A.1

B.3

C.

D.

11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为( ) A.

B.

C.

D.

12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )

- 2 -

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别是 、 . 14.若A(0,2,

),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则

x∶y∶z= .

15.平面α,β,γ两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2 cm,3cm,则PO的长为 cm.

16.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为 .

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6), C(1,-1,5), (1)求以向量

,

为一组邻边的平行四边形的面积S.

,

垂直,且|a|=

,求向量a的坐标.

(2)若向量a分别与向量

18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=

90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为

?

- 3 -

19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由. 20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C'G的中点. (1)求证:EF⊥B'C.

(2)求EF,C'G所成角的余弦值. (3)求FH的长.

21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC. (1)求证:OD∥平面PAB.

(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.

22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥ 平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA= ∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=的中点.

(1)求证:MQ∥平面PCB.

(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小. (3)求点A到平面MCN的距离.

答案解析

- 4 -

,M,N分别是PD,PB

1.【解析】选D.a·b=2-+2k=0,∴k=-.

2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b≠0时,不成立. 3.【解析】选C.4.【解析】选A.

=(2,-3,1).由由由

··

+

+

=

+

+

=

.

=(3,4,2),·

=(5,1,3),

>0,得A为锐角;

>0,得C为锐角; >0,得B为锐角,且|

|≠|

|≠|

|,

所以△ABC为不等边锐角三角形.

5.【解析】选A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β. 6.【解析】选A.由d=αa+βb+γc =α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)

=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴解得α=,β=-1,γ=-.

7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3. 8.【解析】选C.易知cos<

,

>=

=

=(1,4,-3),

,∴sin<

=(-2,1,-2),∴|,

>=

|=

=

,|

|=3, ,

∴S△ABC=||·||sin<,>=.

9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;△ABC为直角三角形时可能

·

=0,也可能

·

=0,或

·

=0,故D错误.

10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明 ∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=

.

11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求. 【解析】选D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,

∴G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.

- 5 -

∵D1E=,

=

.

∴由三角形面积可得h=

方法二:以AB,AD,AA1的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,),F(1,0,),D1(0,1,1),G(λ,0,1), ∴

=(1,0,0),

=(0,1,),

=(-λ,1,0),

设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得取y=1,则

n=(0,1,-2).

∴点G到平面EFD1的距离是:h===.

12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1), ∴

=(0,0,1),

=(2,2,0),

=(-2,0,1).

设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),

由可得

∴可取n=(1,-1,0).

cos=

==.

,

∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

13.【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb, 即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),

∴解得k=λ=,μ=.

答案:

- 6 -

14.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),

∵∴

∴x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4). 答案:2∶3∶(-4)

15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),

∴|OP|=答案:

=+

+

2

=(cm).

16.【解析】∵(

-2

-,=-++=-++,∴·=

)·(-)=4-2=2.

||=(-++)=6,∴||=,||=2,∴cos<,>= ==,

即异面直线EF与BD所成角的余弦值为答案:

.

【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,

- 7 -

∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0), ∴

=(1,2,-1),

,

>=

=(-2,2,0),

=

,

.

∴cos<

∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为17.【解析】(1)∵∴cos∠BAC=

=(-2,-1,3),=,

=(1,-3,2),

∴∠BAC=60°,∴S=|(2)设a=(x,y,z),则a⊥a⊥

|||sin 60°=7⇒-2x-y+3z=0, ⇒x+y+z=3,

2

2

2

.

⇒x-3y+2z=0,|a|=

解得x=y=z=1或x=y=z=-1, ∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).

18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),A1(2,0,2), D(0,0,1),B(0,2,0), 设

=λ

,λ∈(0,1),

则E(2λ,2(1-λ),2λ). 又

=(-2,0,1),

=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),

- 8 -

设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,

则即

取x=1,则y=,z=2,即n=(1,,2).

由于d==,

∴=,又λ∈(0,1),解得λ=,

∴当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为【拓展提升】探索性问题的解法

.

在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻. 19.【解析】以A为原点,

,

,

的方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E(,1,0),B1(a,0,1), (1)∵

=(0,1,1),·

=(-,1,-1),

=-×0+1×1+(-1)×1=0,

∴B1E⊥AD1.

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时n=(x,y,z). ∵n⊥平面B1AE,

=(a,0,1),

=(,1,0),

=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为

∴n⊥

,n⊥,得

- 9 -

取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a),要使DP∥平面B1AE, 只需n⊥

,有-az0=0,解得:z0=.

∴AP=,∴在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE,且P为AA1的中点. 20.【解题指南】要证明EF⊥B'C,只需要证明·=0;要求EF,C'G所成角的余弦值,只要求出所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|即可.

【解析】(1)设

=a,

=b,

=c,

则c·b=b·a=c·a=0,|a|2

=a2

=1,|b|2

=b2

=1,|c|2

=c2

=1. ∵

=

+

=-c+(a-b)

=(a-b-c),

=-=b-c,

∴

·=(a-b-c)·(b-c)=(c2

-b2

)

=×(1-1)=0.∴EF⊥B'C. (2)∵=(a-b-c),=+=-c-a,

∴

·

=(a-b-c)·(-c-a)

=(-a2

+c2

)=, ||2

=(a-b-c)2

=(a2

+b2

+c2

)=, ||2

=(-c-a)2

=c2

+a2

=,

∴|

|=

,|

|=

,

cos<,>==,

∴EF,C'G所成角的余弦值为.

(3)∵=++

+

=(a-b)+b+c+

=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,

∴|

|2

=(a+b+c)2

,

- 10 -

=a2+b2+c2

=

, ∴FH的长为

.

21.【解析】方法一:(1)∵O,D分别为AC,PC的中点,∴OD∥PA. 又PA⊂平面PAB, OD⊄平面PAB, ∴OD∥平面PAB.

(2)设PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC, ∴OA=OB=OC=

a.

又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a. 取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE. 作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC. ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角. ∵PA=2a,OA=

a,∴OP=

a.

又∵OE=,∴OF=

a.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=

=

,

∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.

方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图), 设AB=a,则A(a,0,0), B(0,

a,0),C(-

a,0,0).

设OP=h,则P(0,0,h). (1)∵D为PC的中点, ∴=(-a,0,h). 又=(a,0,-h),∴

=-.

∴

∥

,又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,

- 11 -

∴OD∥平面PAB. (2)∵PA=2a,∴h=∴

=(-a,0,

a, a).

),

可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,

∴cos<,n>==.

设OD与平面PBC所成的角为θ, 则sinθ=|cos<

,n>|=

.

.

∴OD与平面PBC所成角的正弦值为

22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=PD,PB的中点,可得A(0,0,0), B(0,2,0),C(D((1)

,1,0),

,0,2),N(0,1,2). =(-,0,1).设平面PBC的法向

,PA=4PQ=4,M,N分别是

,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(=(

,-1,0),

=(0,2,-4),

量为n0=(x,y,z), 则有:n0⊥

⇒(x,y,z)·(

,-1,0)=0⇒

x-y=0,n0⊥

⇒(x,y,z)·(0,2,-4)=

0⇒2y-4z=0, 令z=1,则x=∴

·n0=(-,y=2⇒n0=(,0,1)·(

,2,1). ,2,1)=0,

又MQ⊄平面PCB,∴MQ∥平面PCB.

(2)设平面的MCN的法向量为n=(x',y',z'), 又

=(-,-1,2),

=(-,0,2),

则有: n⊥

⇒(x',y',z')·(-,-1,2)=0⇒-x'-y'+2z'=0,

- 12 -

n⊥⇒(x',y',z')·(-,0,2)=0⇒-,1,1).

x'+2z'=0,

令z'=1,则x'=又

,y'=1⇒n=(

=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.

∴cos=

==,

又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角, ∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为.

(3)∵=(-,-1,0),∴所求的距离d=

nCAn==.

方法二:(1)取AP的中点E,连接ED,则ED∥CN,

依题有Q为EP的中点,所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,又MQ⊄平面PCB,CN⊂平面PCB,∴MQ∥平面PCB. (2)易证:平面MEN∥底面ABCD,

所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的角, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥平面MEN,

过E作EF⊥MN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QF⊥MN, 由(1)可知M,C,N,Q四点共面,

所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角. 在Rt△MEN中,ME=故EF=

,NE=1,MN=

,

,所以:tan∠QFE=,∠QFE=.

即所求二面角大小为.

(3)因为EP的中点为Q,且平面MCN与PA交于点Q,所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍,

由(2)知:MN⊥平面QEF,则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF,

作EH⊥QF,垂足为H,则EH⊥平面MCNQ,故EH即为点E到平面MCN的距离. 在Rt△EQF中,EF=

,∠QFE=,故EH=,即原点A到平面MCN的距离是.

- 13 -