江苏省徐州市第三十一中学2020-2021学年高一数学文下学期期末试卷含解析
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
这个结论．
3. 设奇函数的定义域为且，若当时，的图象如右图,则不等
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=logax，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
参：
C
【考点】函数的图象．
【分析】根据指数函数，对数函数和一次函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：对于A：由指数函数和对数函数的单调性可知a＞1，此时直线y=x+a的截距不满足条件．
对于B：指数函数和对数函数的单调性不相同，不满足条件．
对于C：由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a＜1，此时直线y=x+a的截距满足条件． 对于D：由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a＜1，此时直线y=x+a的截距a＞1不满足条件． 故选：C． 2. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
参：
B
分析：先根据三角形内角关系以及诱导公式、两角和与差正弦公式化简得角的关系，即得三角形形状. 详解：因为，所以
因为，所以
因此的形状是等腰三角形.
选B.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
式
的解是
A. B.
C．
D.
参： D 略
4. 已知函数，则的值为
A.
B.
C. D.
参：
D
5. 设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（
A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3} C．{x|≤x＜2} D．{x|＜x＜2}
参：
B
）
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】计算题．
【分析】首先化简集合A和B，然后根据Venn图求出结果．
【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}
N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}
图中的阴影部分表示集合N去掉集合M
∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}
故选：B．
【点评】本题考查了求Venn图表示得集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．
6. 判断下列各命题的真假：
（1）向量
的长度与向量
的长度相等；
（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
参：
C
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B． C．
D．
参： A
8. 计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：
16进0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 制 10进0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 制 例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×E=( ) A．8C
B．6E
C．5F
D．B0
参：
A
9. 设0≤θ≤2π，向量=（cos θ，sin θ），
=（2+sin θ，2﹣cosθ），则向量
的
模长的最大值为（ ） A．
B．
C．2
D．3
参：
D
【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的运算法则，求出向量的坐标表示，计算|
|的最大值即可．
【解答】解：∵向量=（cos θ，sin θ），
=（2+sin θ，2﹣cosθ），
∴向量
=（2+sinθ﹣cosθ，2﹣cosθ﹣sinθ）；
∴它的模长为
||==，
又0≤θ≤2π， ∴向量的模长的最大值为
=3
．
故选：D． 10. 四棱台
的12条棱中，与棱
异面的棱共有
A．3条 B．4条 C．6条 D．7条
参：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y=f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B时，能确定不等式|f（x+1）|＜1的解集恰好为{x|﹣1＜x＜2}，则点B的坐标为 ．
参：
（3，1）
【考点】绝对值三角不等式．
【分析】首先分析题目已知y=f（x）是定义在R上的增函数，且满足|f（x+1）|＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}．求图象过的点．考虑|f（x+1）|＜1，即为﹣1＜f（x+1）＜1，由区间值域和定义域，又根据函数的单调性可以直接判断出所过的端点处的值．即可得到答案． 【解答】解：由题意不等式|f（x+1）|＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 即﹣1＜f（x+1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}． 又已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数．
故设t=x+1，根据单调性可以分析得到值域为（﹣1，1）所对应的定义域为（0，3） 故可以分析到y=f（x）的图象过点（0，﹣1）和点（3，1）， 故B（3，1）， 故答案为：（3，1）．
12. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：
，
，
，
，
，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩在
的学生人数
是 _ ____．
参： 54
13. 在区间[－5,5]上随机地取一个数x，则事件“
”发生的概率为 。参：
0.6 解不等式， 得或．
又， ∴
或
．
根据几何概型可得所求概率为．
14. 函数的极大值为_________。
参：
，易知，且为极大值点，故极大值为
.
15. 若，且，则__________
参：
16. 已知
，且
，
，则
=；
参：
略
17. 已知
，，则的值为____________
参：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数
.
（1）列表并画出函数
在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数
的图象作怎样的变换可得到
的图象？
参：
解：（1）函数
的周期
由
，解得. 列表如下：
x 0 π 2π 3sin() 0 3 0 –3 0 ……（3分） 描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.
……（6分）
（2）方法一：先把的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，
再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到的图象. ……（12分）
方法二：先把
的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来
的2倍，再把图象向右平移
个单位，得到
的图象. ……（12分）
19. 经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据图中数据求的值．
（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取
几人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．
参：
见解析 （Ⅰ）
，
．
（Ⅱ）第组人数为人，
第组人数为人， 第组人数为人，
∴比例为
，
∴第组，组，组各抽，，人． （Ⅲ）记组人为，
，
，
组人为，，
组人为， 共有种，
符合有：
种，
∴
． 20. 已知；
（1）求的定义域和值域； （2）判断
的奇偶性并证明.
参：
解：（1）由题可得：，解得：
;
所以定义域为
……………………………………………………………（3分）设，当
时，
值域为…………………………………………………………（6分）
（2）
的定义域关于原点对称；
，所以
为奇函数；…………………………………………………（12分）
略
21. 设平面内的向量，，，其中O为坐标原点，点P是直线OM上
的一个动点，且
（1）求的坐标； （2）求
的余弦值.
参：
（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意,可设,再由点P在直线OM上,得到与共线,由此共线条件得到之
间的关系,代入,解出的值；
（2）由（1）可知求出
的坐标及
,再由夹角的向量表示公式
求出
的余弦值
【详解】（1）设
.
∵点在直线上，
∴与
共线，而，
∴
，即
，有
.
∵， ，
∴，
即.
又， ∴
，
所以，
，此时
.
（2）.
于是
.
【点睛】本题考查了向量共线的条件,向量的坐标运算,数量积的坐标表示,向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦,本题综合性强,运算量大,谨慎计算是正确解题的关键
22. 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的伦敦奥运会会徽—“2012”和奥运会吉祥物—“文洛克”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会会徽需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会会徽每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？
参：
设该厂每月生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，由题意得
将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．
答：该厂生产奥运会会徽和奥运会吉祥物分别为20套，24套时月利润最大，最大利润为42800元．
