第2课时 平行四边形的对角线的特征
＝25cm. 2
1．掌握平行四边形对角线互相平分的方法总结：平行四边形被对角线分成四
性质；(重点) 个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等
2．利用平行四边形对角线互相平分解于邻边边长之差． 决有关问题．(难点) 【类型二】 利用平行四边形对角线互 相平分证明线段或角相等
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究 探究点一：平行四边形的对角线互相平分
【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段 如图，▱ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，OD＝OB，
∠FOD＝∠EOB，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】 判断直线的位置关系
已知▱ABCD的周长为60cm，对角
线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝
35
cm，AD＝BC2
如图，平行四边形ABCD中，AC、
BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，
OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
探究点二：平行四边形的面积
在▱ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在▱ABCD中，AO＝CO.设点B1
到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO
21
＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO； 2
(2)解：S△ABP＝S△CBP.理由如下：在▱ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设11
为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，
22∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分 2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长．
11．3.2 多边形的内角和
解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再
1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点)
2．灵活运用多边形的内角和与外角和 定理解决有关问题．(难点) 提出问题：
(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称
吗？
(3)你会求这个多边形的内角和吗？
一、情境导入 导入：小明每从一条小路转到下一条小多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些广场周围的小路按逆时针方向跑步． 角吗？
你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．
二、合作探究
探究点一：多边形的内角和 【类型一】 利用内角和求边数 一个多边形的内角和为540°，则
它是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得nB.
方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
【类型二】 求多边形的内角和 一个多边形的内角和为1800°，
截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )
A．1620° B．1800°
C．1980° D．以上答案都有可能 解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.
方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．
【类型三】 复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5
＋∠6＋∠7＝( )
A．450° B．540° C．630° D．720°
解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.
方法总结：本题考查了灵活运用五边形
的内角和定理和三角形内外角关系．根据图
形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．
【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和
计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．
解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．
探究点二：多边形的外角和
【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数 正多边形的一个外角等于36°，
则该多边形是正( )
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.
方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．
【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用 一个多边形的内角和与外角和的
和为540°，则它是( )
A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定
解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.
方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．
三、板书设计
多边形的内角和与外角和
1．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的外角和等于360°.
2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：
(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.
(3).正n边形：正n边形的内角的度数（n－2）·180°360°为，外角的度数为.
nn
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．
