根与系数的关系

内容提要：

1、根系关系（韦达定理）

2、不解方程直接确定两根的和与积 3、根系关系与关于两根的对称式 4、由两根关系考察待定系数 5、韦达定理逆定理及其应用

问题：一元二次方程的求根公式是什么？

问题：利用求根公式计算x1x2和x1x2的值 一、根系关系（韦达定理）

韦达定理：对于一元二次方程axbxc0(a0)，如果方程有两个实数根x1,x2，那么

2bcx1x2,x1x2

aa说明：（1）先化为一般形式

（2）定理成立的条件0即方程先要有根 （3）注意公式重x1x2b的负号与b的符号的区别 a简化形式：如果x2pxc0的两根为x1,x2，那么x1x2p，x1x2q，对于二

次项系数为1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

二、不解方程直接确定两根的和与积

例1若x1,x2，是一元二次方程x223x的两根，则x1x2的值是（ ） A.-2 B.2 C.3 D.1

例2若x1,x2，是一元二次方程x22x3的两根，则x1x2的值是（ ） A.-2 B.2 C.-3 D.1

例3 两个不等的实数m、n满足m26m4，n26n4则mn的值为（ ） A.6 B.-6 C.4 D.-4

例 4 a,b是方程x243x的两根，P(a,b)是函数y的值是（ ）

A.-4 B.4 C.-3 D.3 三、根系关系与关于两根的对称式

例5设x1,x2是方程x23x30的两个实数根，则

x2x1的值为（ ） x1x2k的图像上一点，则kx A. 0 B.1 C.-1 D.-5

x12x22(x1x2)22x1x2， x1x22x12x2x1x2(x1x2)

(x1x2)2(x1x2)24x1x2

|x1x2|(x1x2)24x1x2，

11x1x2 x1x2x1x2x1x2x1x22x1x2

2x2x1x12x2(x1x2)22x1x2， (x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2 x1x2x1x2x1x2例6 关于x的方程x2(2m3)xm20有两个相等的实数根α，β，若

111则m的值为（ ）

A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1

例 7 关于x的方程(a6)x22axa0有两个相等的实数根α，β，若

(1)(1)为负整数，则符合条件的整数a有（ ）个

A. 1 B.2 C. 3 D.4 四、由两根关系考察待定系数

例 8 已知关于x的方程x2mxn0的一根是另一根的2倍，那么m，n之间的关系是（ ）

A.2m2n B.2m29n C.m29n D.mn0

例9 已知关于x的方程x2kxk10的两根x1,x2满足x12x2k则k的值为（ ） A. 5 B.-0.5 C. 5或-0.5 D.1 五、韦达定理逆定理及其应用

问题：已知一元二次方程如何求根？

问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数

为根的一元二次方程是

例 若一个一元二次方程的两根分别是RtABC的两条直角边长，且SABC3请写出一个符合题意的一元二次方程。

例 不超过(53)6的最大整数为（ ）

A. 3900 B.3901 C. 3902 D.3903

1．一元二次方程(1k)x22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

A．k2

2)

B．k2,且k1 C．k2

D．k2,且k1

2．若x1,x2是方程2x6x30的两个根，则

A．2

B．2

11的值为( ) x1x21 2

D．

C．

9 23．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2(2m1)xm230的根，则m等于( )

A．3

B．5

C．5或3

D．5或3

24．若t是一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根，则判别式b4ac和完全平方式M(2atb)2的关系是(

A．M

)

C．M

D．大小关系不能确定

B．M

225．若实数ab，且a,b满足a8a50,b8b50，则代数式

b1a1的a1b1值为(

)

2A．20 B．2

C．2或20

D．2或20

6．如果方程(bc)x(ca)x(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x8x70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程2x(k1)xk30的两根之差为1，则k的值是 _____ ．

9．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，则p= _____ ，q= _____ ．

10．已知实数a,b,c满足a6b,cab9，则a= _____ ，b= _____ ，c= _____ ． 11．对于二次三项式x10x36，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

222222212．若n0，关于x的方程x(m2n)x1mmn0有两个相等的的正实数根，求的4n值．

13．已知关于x的一元二次方程x2(4m1)x2m10．

14．已知关于x的方程x(k1)x

2(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为x1,x2，且满足

111，求m的值． x1x2212k10的两根是一个矩形两边的长． 4(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值．

B 组

1．已知关于x的方程(k1)x2(2k3)xk10有两个不相等的实数根x1,x2． (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于x的方程x3xm0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程

2(k3)x2kmxm26m40有实数根．

3．若x1,x2是关于x的方程x(2k1)xk10的两个实数根，且x1,x2都大于1．

(1) 求实数k的取值范围； (2) 若

22x11，求k的值． x22