二次函数中三角形面积相等压轴综合题专题汇编
2yxbxc与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，22（ 黑龙江齐齐哈尔）.如图，已知抛物线
与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP4SCOE，求P点坐标．
b4acb2(,)2yaxbxca02a4a注：二次函数（）的顶点坐标为．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；
（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；
（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．
【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，
∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×，
∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，
解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，
∴P（2，3）．
28、（ •苏州）如图，二次函数 交于点 ，
．点 在函数图像上，
的图像与 轴交于 、 两点，与 轴轴，且
，直线 是抛物线的对称
轴， 是抛物线的顶点．
图 ① 图②
(1)求 、 的值；
(2)如图①，连接 求点 的坐标；
，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，
(3)如图②，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛
物线交于点 ．试问：抛物线上是否存在点 ，使得 段
与 的面积相等，且线
的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由．
（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l:x=1，
∴=1，则b=-2。
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c,0），
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3,
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）
设点F的坐标为（0，m），
∵对称轴为直线l:x=1,
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6,
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，
即点F的坐标为（0，-2）。
（3）
解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n,0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN=S△APM ，
∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，
∴QR=1。
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1,n2-4n）,R点的坐标为（n,n2-4n）,N点的坐标为（n,n2-2n-3）,
∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2,
∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，）
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1,n2-4）.
同理NQ2=1+（2n-1）2,
∴n=时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（,）.
综上所述，满足题意的点Q的坐标为（,）和(,)
【考点】二次函数的图象，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，勾股定理
【解析】【分析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l:x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由
OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函数解析式，求出c的值即可;
（2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可设P（n,0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN，
垂足为R，由S△PQN=S△APM ， 可列出方程求出QR=1；
分类讨论点Q在直线PN的左侧和Q在直线PN的右侧时，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2,求出当n为多少时，NQ为最小值，写出相对应的Q的坐标。
22（ 浙江衢州）．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知
∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，
），
∴AG=1、PG=，PA===2，
∵tan∠PAB==，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB===4，
∴点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；
（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x=，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，
则有﹣x2+x=﹣，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
