高中数学《回归分析》教案1 苏教版选修2-3

教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程 一．问题情境

1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计

当x=９时的位置y的值． 时刻x/s 位置观测值y/cm 3 5 8 6 7 1 2 4 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06 根据《数学3（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数

nxiyinxyi1公式， bn22xin(x)i1aybx可以得到线性回归方为y3.53612.1214x，所以当x9时，由线性回归方程可以估计其位置值为y22.6287

2．问题：在时刻x9时，质点的运动位置一定是22.6287cm吗？

二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x完全确定，它们之间是统计相关关系，y的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计y值的线性函数abx作为确定性函数；

y的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；

将yabx称为线性回归模型． 说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a，b？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有n对观测数据(xi,yi)(i1,2,3,,n)，根据线性回归模型，对

于每一个xi，对应的随机误差项iyi(abxi)，我们希望总误差越小越好，即要使

i1n2i越小越好．所以，只要求出使Q(,)(yx)iii1n2取得最小值时的，

值作为a，b的估计值，记为a，b．

注：这里的i就是拟合直线上的点xi,abxi到点Pixi,yi的距离． 用什么方法求a，b？

回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a，b的方法：

最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到a，b的计算公式为

n(xix)(yiy)i1bn2(xix)i1aybxxyininxy2xi1i1n，

2in(x)1n1n其中xxi，yyi

ni1ni1由此得到的直线yabx就称为这n对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a，b分别为a，b的估计值，a称为回归截距，b称为回归系数，y称为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程y3.53612.1214x中，a3.5361，b2.1214． 3． 线性回归方程yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加1个单位，y相应

地平均增加b个单位； 4． 化归思想（转化思想）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1）yabb1，令y'y，x'，则有y'abx'． xx （2）yax，令y'lny，x'lnx，a'lna，则有y'a'bx'． （3）yae，令y'lny，x'x，a'lna，则有y'a'bx'． （4）yae，令y'lny，x'bxbx1，a'lna，则有y'a'bx'． x （5）yablnx，令y'y，x'lnx，则有y'abx'．

四．数用 1．例题：

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数． 1949 1954 1959 19 1969 1974 1979 1984 19 1994 1999 人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 年份 解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x表示，对应人口数用y表示，得到下面的数据表： x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 y 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 作出11个点x,y构成的散点图，

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型

yabx来表示它们之

间的关系．

根据公式（1）可得

b14.453, a527.591.这里的a,b分别为a,b的估 计值，因此线性回归方程 为y527.59114.453x

由于2004年对应的x55,代入线性回归方程y527.59114.453x可得，即2004年的人口总数估计为13.23亿. y1322.506（百万）

例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业

的人均资本x（万元）与人均产出y（万元）的数据： 人均 资本 x/万元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 人均 产出 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 y/万元 （1）设y与x之间具有近似关系yax（a,b为常数），试根据表中数据估计a和b的值；

（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．

分析：根据x，y所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归

方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对yax的两边取对数，就能将其转化为线性关系．

解（1）在yax的两边取常用对数，可得lgylgablgx，设lgyz，lgaA，

bbblgxX，则zAbX．相关数据计算如图327所示．

A B 3 C 4 D 5.5 E 6.5 F 7 G 8 H 9 I 10.5 J 11.5 人均资1 本x/万元 人均产2 出y/万元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 43 Xlgx 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14 zlgy 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.6

A0.2155,bA仿照问题情境可得A，b的估计值，分别为由lga0.2155可得

b1.5677,a0.6088，即a，b的估计值分别为0.6088和1.5677．

（2）由（1）知y0.6088x1.5677．样本数据及回归曲线的图形如图328（见书本P102

页）

当x16时，y0.6088161.567747.01（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元． 2．练习：P104练习第1题． 五．回顾小结：

1． 线性回归模型yabx与确定性函数yabx相比，它表示y与x之间是统计

相关关系（非确定性关系）其中的随机误差提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具；

2． 线性回归方程yabx中a，b的意义是：以a为基数，x每增加1个单位，y相应

地平均增加b个单位； 3．求线性回归方程的基本步骤． 六．课外作业：P106第2题．