热力学统计物理 课后习题 答案

第六章 近粒子的最概然分布

6．1试证明，在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

32V2m22d3 D(ε) d ε =h

1证明：由式子（6-2-13），在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到

VdPXdPYdPZ3hPZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为-----------------（1）

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动

4V2PdP3量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为h-------------（2）

上式可以理解为将相空间（空间）体积元4VP2dP（体积V，动量球壳4P2dP）除以相格大小h3而得到的状态数。

P22m 自由粒子的能量动量关系为

因此 P2m， PdPmd

将上式代入（2）式，即得到在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子

32V2m22d3的量子态数为 D(ε) d ε =h------------（3）

16．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态

数为

2Lmd D(ε) d ε =h2

12证明：对于一维自由粒子，有

p2hnnLL

dphdnL

由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在ppdp范围内的量子态数

Ldph

p2得p2m2m 再由

dn22L2LmDd dnd2mdhh2所以 ， 证毕

126．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2L2md2 D(ε) d ε =h

证明：对于二维自由粒子，有

pxhhnx,pynyLL

dpxhhdnx,dpydnyLL

pxpxdpx,pypydpy 所以，在面积L2内，在内的量子态数为

L2dnxdny＝2dpxdpyh

换为极坐标，则动量大小在ppdp内的量子态数为

L2L2dn2pdpd2dp2dh2h

p22m则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为 对φ从0至2π积分，并利用

2L2md2h D(ε) d ε =，证毕

6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为=CP，试求在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

4V2d3(ch) D(ε) d ε =

证明：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围

VdPXdPYdPZ3h内，自由粒子可能的量子态数为-----------------（1）

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动

4V2PdP3量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为h-------------（2）

在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为=CP，

代入，可得在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

4V2d3(ch) D(ε) d ε =-------------------（3）

6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何?

al和al'解：两种粒子的分布必须满足：

allN，

al'lN'，

aall'lll'lE，

其中E为系统总能量。又上面各式可得：

all0 （1）

al'l0 （2）

0l'al'0lalll （3）

对于波色子：

al和al'分布的微观状态数分别为：

lal1!l'al'1!'''a!1!all1! llll

系统的微观状态数

system'

在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在条件（1）、（2）、（3）下使分布，此时必有

lnsystem0system极大的

而

lnsystemln'lnlal1!lnal!lnl1lnl'al'1!lnal'!lnl'1l 当

l1,al1,l'1,al'1 时

lnsystemlallnlalallnalllnll'al'lnl'al'al'lnal'l'lnl'l 则由

lnsystem0 得

lnllallnalallnl'al'lnal'al'0 （4）

用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得

lnllallnallallnl'al'lnal''l'al'0

alal'根据拉氏乘子法原理，上式中每一个及的系数都必须为零，即

lnlallnall＝0

lnl'al'lnal''l'＝0

所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为

ll al= e ， al´=´e'll''

对于费米子

l!l'!'''a!1!l1! llalll

当

l1,al1,l'1,al'1,lal1,l'al'1,时

lnsystemln'lallnlalallnalllnll'al'lnl'al'al'lnal'l'lnl'l

用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为

lal= el ， al´=´e'll''

以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。