《数学之友》 ２０１１年第４期 数学命题方法初探 胡顺香 （江苏省赣榆县第～中学，２２２１００） 列‘于一个数学教师来说，出数学试题是家常便 饭．但是要出好一份既紧扣教材又别开生面，既结合 ３把一些命题中的特殊数字，换上字母，所 学生实际又深浅适中的数学试题就不容易了．笔者 结合近几年的教学，及吸收许多良师的宝贵经验的 基础上，在这方面作丫一一些初浅的探讨．思想方法主 要是：归纳推理、演绎推理、逆向思维和发散思维．具 体作法大致如下： ｌ 围绕一道题目，变化出题角度，得出新命题 如将苏教版《必修３》的几何概型的小题“在等 腰直角三角形ＡＢＣ中，在斜边ＡＢ上任取一点 ，求 ＡＭ＜ＡＣ的概率．”变化命题角度后可变为： （Ｊ）“在斜边ＡＢ上任取一点”改为“在ＡＡＢＣ 内部任取～点”； （２）“过直角顶点Ｃ在／＿ＡＣＢ内部任作一条射 线ＣＭ与线段ＡＢ交于点 ”，求ＡＭ＜ＡＣ的概率． ２对揭示了事物内部一般规律的命题中的字 母，给定特殊数字，所得的新命题隐藏规律 如将苏教版《选修２—２》中《２．３节数学归纳 法》的习题“已知 是不等于１的正数，ｒｔ是正整数， 求证：（１＋ ）“＞１＋ｎ ”改为“ｎ是正整数，求证：３ ＞１＋２ｎ”就是一道加强了难度、隐藏了规律的好命 题．上面是令 ＝２时的特殊情况，当然还可以令 为其它不等于１的具体的正整数． 又如一道高考题，“如图，在平面直角坐标系 中，在Ｙ轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点４， Ｂ．试在 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点Ｃ，使 Ｚ．ＡＣＢ取得最大值．” 将此题中Ａ， 两点 、 坐标改为４（０，３），Ｂ（０， Ａ ２），而其余文字不变，亦 Ｂ 是好命题，甚至可以把 ｒＪ ｃ ，Ｂ两点移到其它半轴 上，而把Ｃ点移到不与 Ａ，Ｂ在同轴上的其它半轴上去亦可． ・８８・ 得的新命题规律昭然 如苏教版《选修２—３》中《１．２节排列》的习题 “６名同学站成一排，其中某一名不站排头也不站排 尾，共有多种站法？”中的“６名同学”改为“／／，名同 学，ｎ＞２．”而其余文字不变．又如将《必修４》中《１． １任意角》的习题“写出终边在Ｙ轴上的角的集合” 改为“写出终边在坐标轴上的角的集合” ｆ， ｆＩ ＝ Ｌ一 ， 、 ｌ ‘ ∈ｚＩ、 ， ；或改为“写出终边在坐标轴和一、二、 ， ｆ 一 、 三、四象限平分线上的角的集合”ｆ Ｏｔ Ｉ ＝ ， ∈ｚ１． ４ 串通公式出题，所得的新命题综合性强 考察Ｆ列知识： （１）设方程似 ＋ ＋ｃ：０（ａ≠０）的两根为 ， ２，则有 １＋ｚ２＝～÷； （２）令公式ｔａｎ（ ＋ ）＝ 中的ｔａｎ ＝ ｔａ ＝ 则有ｔａｎ（ ＋／３）＝ ； （３）若 ， ：为正数，则有 ≥ ； （４）若 ， ， 成等差数列，Ｎ６－ ： ； （５）若一动点到两定点的距离为 ， ，且 ＋ ：ｍ（定值），则动点的轨迹为椭圆． 注意到它们都含有 ＋ 则可利用 ＋ 的 特殊意义进行命题． 例１ 如图Ｍ点在椭 ｙ 、 圆嘉＋鼍＝ｌ上的哪个位置 时 有最大值（其中 ， 是椭圆的焦点，Ｉ ＭＦ。ｌ＝ ， ＩＭＦ２ Ｉ： ２， Ｆ１ ＝ ）． ＜数学之友＞ ２０１１年第４期 解：显然 ｌ＋ ２＝２ａ＝１０（定值）， ＝Ｉ，。 ｌ＝２ｃ＝６．由余弦定理得： ＋ 一６ （ ｌ＋戈２）２—３６—２ １ ２ ２ｘ１ ２ １相交于Ｐ ，Ｐ 两点，求线段Ｐ。Ｐ２的中点坐 ．厶 ．２ 标．”改为“过点Ｐ（１，１）的直线ｚ与双曲线 一 ＝ 二 ｌ０ 一３６—２ｘ１ ２ ＝一 ３２ Ｘ１Ｘ２ ． １相交于Ｐ。， 两点，求证：点Ｐ（１，１）不可能成为 线段尸１ 的中点．” ２ｘ１ ２ ‘＝——一Ｊ． 。 ．１＋ ２＝１０（定值）， 还可以把零星问题整体给出的方法进行命题， 达到知识覆盖面广的目的；整体问题零星给出的方 法进行命题，收到针对性强的效果；理论联系实际进 行命题，尝到学以致用的甜头． ‘ ．（ ）＝（ ） ， （ＣＯＳＯ￣） ｉ ２兰５—１ 去，显然此时 最大，亦 当 ｌ－－Ｘ２：５时，（ １ ２） 。 ＝２５． ・・・大千世界，无奇不有，数学领域也是如此．只要 易知Ｍ点的坐标为（０，４）或（０，一４）． 把握思想方法，熟练了教学内容，加上缜密思考，定 能得出可以激发学生学习兴趣的生动活泼的命题． 参考文献： 串通的公式越多，越巧妙，则综合性越强． ５正面问题反面给出，“逆来顺受”；反面问 题正面给出，“顺理成章＂ 如，把“曲线Ｙ＝ｓｉｎｘ与Ｙ＝ｔａｎｋ有多少个交 ［１］涂荣豹．数学教学认识论［Ｍ］．南京师范 大学出版社，２００３． 点？”改为“曲线Ｙ＝ｓｉｎｘ与Ｙ＝ｌｏｇ。 （ａ＞１）恰好有 两个交点，求ａ的取值范围．” 又如，把“过点Ｐ（１，１）的直线 与双曲线 一 （上接第８７页） ［２］ 高希尧．世界数学名题选辑［Ｍ］．陕西科 学技术出版社，１９８２． ［３］ 赵振威．中学数学教材教法［Ｍ］．华东师 范大学出版社，１９９０（３）． 产生一些念头，深入思考下去，就会产生一些解决问 题的思路 念头的产生源于思考．第（２）问是不能照搬、照 ３回顾与反思 思则有路： 套的题，需要解题者某种程度的主动性与创造性．这 类问题首先需要探索．就像一位棋手思考下一步怎 首先，体现在 、， １ Ｘ ０＋ １ ａ ＋√旦ａｘ＋８，令６ 么走，解题者应当考虑可以从哪些方面人手，探讨一 下可能的途径．途径越多越好，一位有经验的解题者 ： 把三项结构不同化成相同结构： ｌ １ ●＋ ∞ ０ １ ％ 往往能想出几条路子．在有几种途径时，需要从中挑 选一种．究竟哪一种途径能达到目标？哪一条路更 ，－－－－＿－－一，－－－———・＿Ｊ 、／／１＋ａ ￣／／ｌ＋ｂ 好？这也需要探索．可以每条路都试一下，但不必每 条路都走很远，你的感觉往往会告诉你这条路不好 走，“此路不通”．经验与见识很重要，善于判断、抉 成）．不断地变更问题，直到它变得易于解决（最好 化成一个你所熟悉的问题），这是解题的常用方法． 其次，在论证厂（ ）＞１时，想到用分析法形成了 思路之一；想到— √１焉之二． ＋ｘ ＞ ，用放缩法形成思路 择，也是解题者应有的素质（可以通过解题逐步养 ｌ＋ 再次，在论证 ）＜２，想到当ｈ＞０时，ｖ／ｌ±ｈ ＜这也是提高学生数学能力以及大智慧的唯一方法． 参考文献： √ｌ±＾＋等＜ｌ±孚形成思路之一． 若联想到三角平方公式：ｌ＋ｔａｎ ０＝ｓｅｃ ０，利用 换元法，把原命题转化为：当ｔａｎｔｘｔａｒ￣ｔａｎ３／＝２ （０ ＜ａ≤ ≤ ＜９０。）时，证明：ＣＯＳＯ￣＋ＣＯＳｌ＋ＣＯＳ＇ｆ）／＜２． ［１］单蹲．解题研究［Ｍ］．南京：南京师范大 学出版社，２００２，６． ［２］ 涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学 论［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２００６，９． ．形成了思路之二，如此等等．耐心观察，认真去想，会 Ｒ９．
