绵阳市2015年中考数学试卷及解析

绵阳市2015年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求）

1．（3分）（2015•绵阳）±2是4的（ ） A．平方根

考点：平方根．

B． 相反数 C． 绝对值 D． 算术平方根

分析：根据平方根的定答即可． 解答：解：± 2是4的平方根．

故选：A．

点评：本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2015•绵阳）下列图案中，轴对称图形是（ ） A．

考点：轴对称图形．

B．

C．

D．

分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选；D．

点评：本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻

找对称轴．

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3．（3分）（2015•绵阳）若 A．﹣1

考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．

+|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）

2015

C． 5

2015

=（ ）

2015

D． ﹣5

1 B．

专题：计算题．

分析：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的

值． 解答： 解：∵

∴

+|2a﹣b+1|=0， ，

解得：则（b﹣a）故选：A．

2015

， =（﹣3+2）

2015

=﹣1．

点评：此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关

键．

4．（3分）（2015•绵阳）福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健林以242亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ）

10

A．0.242×10美元 10 2.42×C．10美元

11

B． 0.242×10美元 11D．2 .42×10美元

考点：科学记数法—表示较大的数．

n

分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，

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要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

10

解答： 解：将242亿用科学记数法表示为：2.42×10．

故选：C．

n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（3分）（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）

118° A．

考点：三角形内角和定理．

119° B． 120° C． 121° D．

分析：由三角形内角和定理得∠ ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，

再利用三角形的内角和定理得结果． 解答：解：∵ ∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵BE，CD是∠B、∠C的平分线， ∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=

，

∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°， ∴∠BFC=180°﹣60°=120°， 故选：C．

点评：本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质， 综合运用三角形内角和定理和

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角平分线的性质是解答此题的关键．

6．（3分）（2015•绵阳）要使代数式 A．最大值是

考点：二次根式有意义的条件．

有意义，则x的（ ） C． 最大值是

D． 最小值是

B． 最小值是

分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 解答： 解：∵代数式

有意义，

∴2﹣3x≥0，解得x≤． 故选：A．

点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

7．（3分）（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）

6 A．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

12 B． 20 C． 24 D．

分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，

根据平行四边形的面积公式，可得答案． 解答：解：在Rt△ BCE中，由勾股定理，得

CE=

=

=5．

∵BE=DE=3，AE=CE=5，

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∴四边形ABCD是平行四边形．

四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24， 故选：D．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线

互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．

8．（3分）（2015•绵阳）由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，则这个几何体的表面积是（ ）

2

A．15cm

2

B． 18cm

2

C． 21cm

2

D． 24cm

考点：由三视图判断几何体；几何体的表面积．

分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有2+1=3个小正方体，第二层

应该有1个小正方体，

因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3+1=4个． 所以表面积为3×6=18cm． 故选：B．

点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力， 同时也体现了对空间想象能力方面的考

查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

2

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9．（3分）（2015•绵阳）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ） A．5000条

考点：用样本估计总体．

B． 2500条 C． 1750条 D． 1250条

分析：首先求出有记号的2条鱼在100条鱼中所占的比例， 然后根据用样本中有记号的鱼所

占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 解答： 解：由题意可得：50÷

故选：B．

点评：本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．

10．（3分）（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）

=2500（条）．

A．（11﹣2

考点：解直角三角形的应用．

）米 B． （11﹣2C． ）米 （11﹣2）米 D． （11﹣4）米

分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减

即可求得BC长．

解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．

∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，

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∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC∽△PBO， ∴=∴PB=

，

=

=11

米，

m，PC=CD÷（sin30°）=4米，

∴BC=PB﹣PC=（11故选：D．

﹣4）米．

点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角

三角函数的概念．

11．（3分）（2015•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）

14 A．

15 B． 16 C．

17 D．

考点：规律型：图形的变化类．

分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3

个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值． 解答：解：第一个图形有：5个○，

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第二个图形有：2×1+5=7个○， 第三个图形有：3×2+5=11个○， 第四个图形有：4×3+5=17个○，

由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○， 则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245 解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）． 故选：C．

点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律， 通过归纳与总结结合图形得出数字之间的

规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．

12．（3分）（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）

A．

考点：翻折变换（折叠问题） ．

B． C． D．

分析：借助翻折变换的性质得到DE=CE；设AB=3k，CE=x，则AE=3k﹣x；根据余弦定理分

别求出CE、CF的长即可解决问题． 解答：解：设AD=k，则DB=2k；

∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=3k，∠A=60°； 设CE=x，则AE=3k﹣x；

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由题意知：

EF⊥CD，且EF平分CD， ∴CE=DE=x； 由余弦定理得：

DE=AE+AD﹣2AE•AD•cos60°

即x=（3k﹣x）+k﹣2k（3k﹣x）cos60°， 整理得：x=

，

，

2

2

2

2

2

2

同理可求：CF=∴CE：CF=4：5． 故选：B．

点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题； 解题的关键是借助余弦定理分别求出CE、

CF的长度（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2015•绵阳）计算：a（a÷a）﹣a= 0 ． 考点：整式的混合运算．

22

分析：首先将括号里面利整式的除法运算法则化简， 进而利用同底数幂的乘法以及合并同类

项法则求出即可．

2222

解答： 解：a（a÷a）﹣a=a﹣a=0．

故答案为：0．

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点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关法则是解题关键．

14．（3分）（2015•绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 （2，﹣1） ．

考点：坐标确定位置．

分析：根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可． 解答：解：因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3） ，

所以可得点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）．

点评：此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关

系解答．

15．（3分）（2015•绵阳）在实数范围内因式分解：xy﹣3y= y（x﹣

考点：实数范围内分解因式．

2

）（x+） ．

专题：计算题．

分析：原式提取y，再利用平方差公式分解即可．

2解答： 解：原式=y（x﹣3）=y（x﹣

）（x+）．

），

故答案为：y（x﹣）（x+

点评：此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

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16．（3分）（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= 9.5° ．

考点：平行线的性质．

分析：先根据平行线的性质求出∠ AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF的

度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 解答：解：∵ AB∥CD，∠CDE=119°，

∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°． ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠GEF=×119°=59.5°， ∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°． ∵∠AGF=130°，

∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°． 故答案为：9.5°．

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角

相等．

17．（3分）（2015•绵阳）关于m的一元二次方程

﹣2

nm﹣nm﹣2=0的一个根为2，则n+n

222

= 26 ．

考点：一元二次方程的解． 专题：计算题．

分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到4

n﹣2n﹣2=0，两边除以2n得n+=2

2

，

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再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 解答： 解：把m=2代入

所以n+=2

，

2

2

nm﹣nm﹣2=0得4

22

n﹣2n﹣2=0，

2

所以原式=（n+）﹣2 =（2=26．

故答案为：26．

点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知

数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．

18．（3分）（2015•绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 3

．

）﹣2

2

考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．

专题：计算题．

分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠ BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，

∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到5﹣x=6﹣（4﹣x），解得x=，再计算出EH，然后根据正切的定义求解． 解答：解：∵ △ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

2

2

2

2

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∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE=AD=5，

过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x， 在Rt△DHE中，EH=5﹣x， 在Rt△DHE中，EH=6﹣（4﹣x）， ∴5﹣x=6﹣（4﹣x），解得x=， ∴EH=

=

，

2

2

2

22

2

2

2

2

2

在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，

即∠CDE的正切值为3故答案为：3

．

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．

三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（16分）（2015•绵阳）（1）计算：|1﹣（2）解方程：

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|+（﹣）﹣

﹣2

+；

=1﹣．

考点：实数的运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．

专题：计算题．

分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，

第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：（1）原式=

（2）去分母得：3=2x+2﹣2， 解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（11分）（2015•绵阳）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧上小西红柿的个数： 32 39 45 55 60 54 60 28 56 41 51 36 44 46 40 53 37 47 45 46

（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 47 ，中位数是 49.5 ，众数是 60 ；

（2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图 个数分组 频数

28≤x＜36 2

36≤x＜44 5

44≤x＜52 7

52≤x＜60 4

60≤x＜68 2

﹣1+4﹣

﹣2=1；

（3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势．

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考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．

分析：（1）根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可

得出答案；

（2）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图； （3）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可． 解答：解： （1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是

（32+39+45+55+60+54+60+28+56+41）÷10=47；

把这些数据从小到大排列：28、32、39、41、45、54、55、56、60、60， 最中间的数是（45+54）÷2=49.5， 则中位数是49.5；

60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60； 故答案为：47，49.5，60； （2）根据题意填表如下： 个数分组 频数 补图如下：

28≤x＜36 2

36≤x＜44 5

44≤x＜52 7

52≤x＜60 4

60≤x＜68 2

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故答案为：5，7，4；

（3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有28个； 西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株； 西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力； 利用统计图获取信

息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（11分）（2015•绵阳）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；

（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．

分析：（1）首先根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例

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函数与正比例函数的解析式，即可得解．

（2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5得出|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=可求得b的值．

解答：解： （1）据题意得：点A（1，k）与点B（﹣k，﹣1）关于原点对称，

∴k=1，

∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），

∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=，y=x； （2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2）， ∴

，

，然后通过联立方程求得x1、x2的值，代入即

②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1， ∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5， ∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=由

2

，

得x+bx﹣1=0，

解得，x1=，x2=

，

∴|x1﹣x2|=|解得b=±1．

﹣|=||=，

点评：本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点， 以及用待定系数法求

函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．

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22．（11分）（2015•绵阳）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形． （1）求证：△BOC≌△CDA；

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．

专题：计算题．

分析：（1）由于O是△ ABC的内心，也是△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所

以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得

∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA； （2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH=AB=1，OH=

BH=

，OB=2OH=

，然后根据三角形面积

公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可． 解答：（1）证明：∵ O是△ABC的内心，也是△ABC的外心，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC， ∵四边形OADC为平行四边形，

∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA， ∴AD=OB， 在△BOC和△CDA中

，

第 18 页 共 18 页

∴△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图， ∵∠AOB=120°，OA=OB， ∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°， ∵OH⊥AB， ∴BH=AH=AB=1， OH=

BH=

， ，

OB=2OH=

∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB

==

．

﹣×2×

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三

角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．

23．（11分）（2015•绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．

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（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；

（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

分析：（1）根据这些矿石的总费用为y=甲货船运费+乙货船运费，即可解答；

（2）根据A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，列出不等式组，确定x的取值范围，根据x为整数，确定x的取值，即可解答．

解答：解： （1）根据题意得：y=1000x+1200（30﹣x）=36000﹣200x．

（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船30﹣x艘， 根据题意得：

，

化简得：∴23≤x≤25， ∵x为整数，

，

∴x=23，24，25，

方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘， 运费y=36000﹣200×23=31400元；

方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘， 运费y=36000﹣200×24=31200元；

方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘， 运费y=36000﹣200×25=31000元； 经分析得方案三运费最低，为31000元．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式

组．

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24．（12分）（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点． （1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；

（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

（3）在抛物线y=﹣x﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

考点：二次函数综合题．

分析：（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两

个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；

（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论； （3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可． 解答：

解：（1）由题意得，

，整理得2x+5x﹣4a=0．

2

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∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣∵a≠0， ∴a＞﹣

且a≠0．

．

令x=0，得y=a， ∴A（0，a）．

由y=﹣（x+1）+1+a得，M（﹣1，1+a）． （2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，a），M（﹣1，1+a）， ∴

，解得

，

2

∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，

联立得，，解得，

∴N（，﹣）．

∵点P是点N关于y轴的对称点， ∴P（﹣

，﹣）．

2

代入y=﹣x﹣2x+a得，﹣=﹣a+a+a，解得a=或a=0（舍去）．

），|AC|=，

2

∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，

∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|xp|﹣|AC|•|x0| =••（3﹣1） =；

（3）①当点P在y轴左侧时， ∵四边形APCN是平行四边形，

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∴AC与PN互相平分，N（∴P（﹣

，）；

2

，﹣），

代入y=﹣x﹣2x+a得，=﹣∴P（﹣，）． ②当点P在y轴右侧时， ∵四边形ACPN是平行四边形， ∴NP∥AC且NP=AC， ∵N（∴P（

a+a+a，解得a=

2

，

，﹣），A（0，a），C（0，﹣a）， ，﹣

2

）．

=﹣

a﹣a+a，解得a=，

2

代入y=﹣x﹣2x+a得，﹣∴P（，﹣）．

综上所述，当点P（﹣，）和（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图

象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．

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25．（14分）（2015•绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；

（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN； （3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．

考点：四边形综合题．

分析：（1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；

当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；

（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可； （3）①当M在AC上时，即0＜t≤2求出S=AF•FM=t；当t=2②当M在CG上时，即2

2

时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=t，

时，即可求出S的最大值；

时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，

t，得出

＜t＜4

求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4﹣S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG，S为t的二次函数，即可求出结果．

解答：（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ ABM为等腰三角形；

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当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形； 当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形； 当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形； （2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，AB=AD， ∴∠CDG=90°，

∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN， ∴BK=DN， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=45°，

∴∠NDH=90°+45°=135°， ∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°， ∴∠BKN=∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°， 又∵BN⊥NH， 即∠BNH=90°，

∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°， ∴∠ABN=∠DNH， 在△BNK和△NHD中，

，

∴△BNK≌△NHD（ASA）， ∴BN=NH；

（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2∵AM=t，

时，△AMF为等腰直角三角形，

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∴AF=FM=t，

t×

t=t；

）=2；

时，如图2所示：

2

2

∴S=AF•FM=×当t=2

时，S的最大值=×（2

＜t＜4

②当M在CG上时，即2CM=t﹣AC=t﹣2

，MG=4﹣t，

在△ACD和△GCD中，

，

∴△ACD≌△GCD（SAS）， ∴∠ACD=∠GCD=45°， ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°， ∴∠G=90°﹣∠GCD=45°， ∴△MFG为等腰直角三角形， ∴FG=MG•cos45°=（4

﹣t）•

=4﹣

t，

∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG =4﹣（t﹣2=﹣（t﹣∴当t=

）﹣（4﹣）+， 时，S的最大值为．

22

）=﹣

2

+4t﹣8

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点评：本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判

定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．

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