2020-2021学年江苏省淮安市高二(下)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知复数z满足i（z+1）＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ） A．﹣2﹣i

B．﹣2+i

C．2﹣i

D．2+i

2．（5分）（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（ ） A．8

B．4

C．3

D．2

3．（5分）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，），则V（Y）＝（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

4．（5分）袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（ ）种 A．240

6．（5分）函数f（x）＝

B．192

C．120

D．96

的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

第1页（共17页）

D．

7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（ ） A．f（4）＞ef（3） C．e2f（4）＜f（2）

B．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．ef（﹣4）＞f（﹣3）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0. 9．（5分）若直线A．

是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（ ） B．f（x）＝x4

C．f（x）＝sinx

D．f（x）＝ex

10．（5分）设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（ ） A．若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．

＝

D．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2

11．（5分）在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是 （ ）

第2页（共17页）

附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974． A．该校学生数学成绩的期望为110

B．该校学生数学成绩的标准差为100 C．该校数学成绩140分以上的人数大于5 D．该校数学成绩及格率超过0.97

12．（5分）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ）

A．某学生从中选3门学习，共有20种选法 B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法

C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法 D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝ ．

14．（5分）甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 ．

15．（5分）设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为 ． 16．（5分）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为64． （1）求正整数n的值；

（2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项．

第3页（共17页）

18．（12分）在①曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直，②f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣，③函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．

已知函数f（x）＝x3+ax+b，且满足 ____． （1）求a值；

（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7，求b值． 19．（12分）为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：

性别 是否喜欢踢足球 喜欢踢足球 不喜欢踢足

球 总计

500

40 x

y 270

70 z

男

女

总计

（1）求x，y，z的值；

（2）能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X2＝P（X2≥x0） x0

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

0.15

0.10

． 0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

20．（12分）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，

第4页（共17页）

请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题： （1）将复数

+eπi写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；

（2）求|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值．

21．（12分）甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判． （1）求丙前4局都不做裁判的概率； （2）求第3局甲当裁判的概率；

（3）记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望． 22．（12分）函数f（x）＝ex﹣2sinx﹣1，设函数m（x）＝f′（x）．证明： （1）m（x）在区间（（2）f（x）在（

）上存在唯一的极小值点； ）上有且仅有两个零点．

第5页（共17页）

2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知复数z满足i（z+1）＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ） A．﹣2﹣i

B．﹣2+i

C．2﹣i

D．2+i

【解答】解：因为i（z+1）＝1﹣i， 所以

所以z＝﹣2﹣i，所以故选：B．

2．（5分）（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（ ） A．8

B．4

C．3

D．2

，

， ．

【解答】解：因为二项式（x﹣1）10的展开式的通项公式为T令10﹣r＝0，解得r＝10，

故（x2+2）（x﹣1）10（x﹣1）10的展开式常数项为2×1＝2， 故选：D．

3．（5分）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B（2，），则V（Y）＝（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

【解答】解：因为X～B（2，）， 则V（X）＝2××又Y＝3X﹣1，

所以V（Y）＝V（3X﹣1）＝故选：A．

4．（5分）袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（ ） A．

B．

C．

第6页（共17页）

＝，

．

D．

【解答】解：因为第一次摸到红球， 所以还剩下3个红球和2个篮球，

所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是． 故选：D．

5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（ ）种 A．240

B．192

C．120

D．96

【解答】解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人， 所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可， 所以不同的排法共有4×故选：B．

6．（5分）函数f（x）＝

的图象大致为（ ）

＝192种，

A．

B．

C．

D．

第7页（共17页）

【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（﹣x）＝﹣

，其定义域为{x|x≠0且x≠±1}，

＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除A、D，

在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除B， 故选：C．

7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8， 五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9， 所以基本事件的个数共有选取的3个数之和为偶数，则有故所求的概率为故选：C．

8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（ ） A．f（4）＞ef（3） C．e2f（4）＜f（2）

B．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．ef（﹣4）＞f（﹣3）

＝

．

个，

个，

【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数， 令F（x）＝

，F′（x）＝

，

因为当x＞0时，f′（x）＜f（x），所以F′（x）＜0，函数F（x）是减函数， 所以F（4）＜F（3），可得f（4）＜ef（3），所以A不正确； F（4）＜F（2），可得f（4）＜e2f（2），所以C不正确；

第8页（共17页）

则﹣f（4）＞﹣e2f（2），即f（﹣4）＞e2f（﹣2），所以B正确；

f（4）＜ef（3），﹣f（4）＞﹣ef（3），可得f（﹣4）＞ef（﹣3），所以D不正确； 故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0. 9．（5分）若直线A．

是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（ ） B．f（x）＝x4

C．f（x）＝sinx

D．f（x）＝ex

【解答】解：直线的斜率为k＝，

，即有切线的斜率小于0，故A不能选；

由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣

由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选； 由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx＝有解，故C可以选； 由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选． 故选：BCD．

10．（5分）设z1，z2为复数，则下列说法正确的是（ ） A．若z12+z22＝0，则z1＝z2＝0 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．

＝

D．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2

【解答】解：对于A选项，当z1＝1，z2＝i时，z12+z22＝0，故A选项错误， 对于B选项，由复数模的运算性质可知|z1z2|＝|z1||z2|，故B选项正确， 对于C选项，设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R）， ∴∴

，

，故C选项正确，

，

对于D选项，当z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|＝1，但z1≠±z2，故D选项错误． 故选：BC．

11．（5分）在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X

第9页（共17页）

服从正态分布N（110，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是 （ ）

附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974． A．该校学生数学成绩的期望为110

B．该校学生数学成绩的标准差为100 C．该校数学成绩140分以上的人数大于5 D．该校数学成绩及格率超过0.97

【解答】解：因为生的成绩X服从正态分布N（110，100）， 则该校学生数学成绩的期望为110，故选项A正确； 该校学生数学成绩的标准差为10，故选项B错误； 该校数学成绩140分以上的概率为P＝

所以该校数学成绩140分以上的人数为0.0013×800≈1，故选项C错误； 该校数学成绩及格率为故选：AD．

12．（5分）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ）

A．某学生从中选3门学习，共有20种选法 B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法

，故选项D正确．

，

C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法 D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法 【解答】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有故选项A正确；

对于B，“礼”和“射”不相邻，则有故选项B错误；

对于C，①若“数”排在第一节，则排法有

第10页（共17页）

种选法，

种，

种；

②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，

所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法， 故选项C正确；

对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有

种； 种．

种；

所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法， 故选项D错误； 故选：AC．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝ ﹣+

i；或﹣﹣

i ．

【解答】解：要使z﹣z4＝0，需z＝z4，∴z＝1（舍去），或z3＝1（z≠1）， ∴z＝cos或z＝cos

+isin+isin

＝﹣+＝﹣﹣i；或﹣﹣

i， i， i．

故答案为：﹣+

14．（5分）甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 0.26 ．

【解答】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，

所以恰有一人不中靶的概率为P＝0.9×（1﹣0.8）+（1﹣0.9）×0.8＝0.18+0.08＝0.26． 故答案为：0.26．

15．（5分）设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为 13 ． 【解答】解：a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a＝4×161010+a＝4×（17﹣1）1010+a ＝4×（

×171010﹣

×171009+

×171008﹣

×171007+…+

×（﹣

17）+1）+a，

故它除以17的余数为4×1+a， 由于它能被能被17整除，则a＝13， 故答案为：13．

第11页（共17页）

16．（5分）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 【解答】解：当

．

x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得

＝

，

∵f'（x）＝ex+m， ∴∴故答案为：

+m，即．

．

，

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为64． （1）求正整数n的值；

（2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项．

【解答】解：（1）∵在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6． （2）（x+）2n＝（x+）12的二项展开式中，当r＝6时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为T7＝

•36．

18．（12分）在①曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直，②f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣，③函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．

已知函数f（x）＝x3+ax+b，且满足 ____． （1）求a值；

（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7，求b值．

第12页（共17页）

【解答】解：选条件①：f′（x）＝3x2+a， 所以k切＝f′（）＝+a，

因为曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直， 所以k切＝0，

所以+a＝0，解得a＝﹣， 所以f（x）＝x3﹣x+b， f′（x）＝3x2﹣，

所以在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（﹣，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在（﹣1，﹣）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（）＝（）3﹣×+b＝﹣+b， f（﹣）＝（﹣）3+×+b＝+b， f（﹣1）＝﹣1﹣（﹣1）+b＝﹣+b， f（2）＝23﹣×2+b＝所以f（x）max＝

+b，

+b，f（x）min＝﹣+b，

若函数y＝f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7， 则

+b+（﹣+b）＝

+2b＝7，解得b＝．

选条件②：f′（x）＝3x2+a， 所以f′（x）最小值为a，

f（x）的导数y＝f′（x）的最小值为﹣ 所以a＝﹣， 由①可知，b＝．

选条件③：f′（x）＝3x2+a，

第13页（共17页）

因为函数f（x）在区间（﹣，）上是减函数，在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数，

所以﹣，是3x2+a＝0的根， 所以﹣×＝，解得a＝﹣， 由①可知，b＝．

19．（12分）为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：

性别 是否喜欢踢足球 喜欢踢足球 不喜欢踢足

球 总计

500

40 x

y 270

70 z

男

女

总计

（1）求x，y，z的值；

（2）能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X2＝P（X2≥x0） x0

2.072

2.076

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

0.15

0.10

． 0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

【解答】解：（1）由列联表可得，y＝70﹣40＝30，z＝500﹣70＝430，所以x＝430﹣270＝160；

（2）由列联表中的数据可得，X2＝

所以有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关．

20．（12分）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量

第14页（共17页）

，

联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题： （1）将复数

+eπi写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；

（2）求|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值． 【解答】解：（1）

+eπi＝cos

+isin

+（cosπ+isinπ）＝（

﹣1）+

i；

（2）|eπi﹣eθi|＝|cosπ+isinπ﹣（cosθ+isinθ）|＝|（﹣1﹣cosθ）﹣isinθ|＝

＝

，

当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，|eπi﹣eθi|（θ∈R）的最大值为2．

21．（12分）甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判． （1）求丙前4局都不做裁判的概率； （2）求第3局甲当裁判的概率；

（3）记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望． 【解答】解：（1）当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判， ∵每场比赛双方获胜的概率都是， ∴丙前4局都不做裁判的概率为

．

（2）∵第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为， ∴第三局甲当裁判的概率为

（3）由题意X的可能的取值为0，1，2，

，

，

第15页（共17页）

．

，

∴．

22．（12分）函数f（x）＝ex﹣2sinx﹣1，设函数m（x）＝f′（x）．证明： （1）m（x）在区间（（2）f（x）在（【解答】证明：（1）当﹣2cosx，m′（x）＝ex+2sinx， m

′′

）上存在唯一的极小值点； ）上有且仅有两个零点．

时，f（x）＝ex﹣2sinx﹣1，m（x）＝f′（x）＝ex

（x）＝ex+2cosx＞0，所以m′（x）在

上单调递增，

又

所以m′（x）在且当故m（x）在故m（x）在区间（2）当﹣

时，

，

上存在唯一零点x0，

时，m′（x）＜0；当x0＜x＜0 时，m′（x）＞0，

上单调递减，在（x0，0）上单调递增， 上存在唯一的极小值点x0．

由（1）可知m（x）在

上单调递减，在（x0，0）上单调递增，

又

所以m（x）在当

所以f（x）在

上存在唯一的零点x1，其中

，

，

时，m（x）＞0；当x1＜x＜0时，m（x）＜0，

上单调递增，在（x1，0）上单调递减，

又

所以f（x）＞0在当x＝0时，

，

上恒成立，即f（x）在

上不存在零点．

f（x）＝0，所以x＝0是f（x）的一个零点．

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当0＜x＜π时，

m′（x）＝ex+2sinx＞0，所以m（x）在（0，π）上单调递增， 又m（0）＝﹣1＜0，m（π）＝eπ+2＞0， 所以m（x）在（0，π）上存在唯一零点x2，

当0＜x＜x2时，m（x）＜0，当x2＜x＜π时，m（x）＞0， 所以f（x）在（0，x2） 上单调递减，在（x2，π）上单调递增， 又f（0）＝0，f（π）＝eπ﹣1＞0，f（x2）＜f（0）＝0， 所以f（x）在（x2，π）上存在唯一零点． 综上所述，f（x）在命题得证．

上有且仅有两个零点．

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