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第一章-集合

（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为 ②空集是任何集合的子集，记为 ③空集是任何非空集合的真子集；

①n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n －1个. n个元素的非空真子集有2n－2个.

[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.

AA；

A；

交：A2、集合运算：交、并、补.

B{x|xA,且xB}B{x|xA或xB}

并：A补：CUA{xU,且xA}（三）简易逻辑

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。

1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。1

1

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6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

第二章-函数

一、函数的性质

（1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数：

f(−x)=f(x)，奇函数：

f(−x)=−f(x)

②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求d.比较

f(−x)；

f(−x)与f(x)或f(−x)与−f(x)的关系。

（4）函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ⑴若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数

xy=a(a0且a1)的图象和性质 指数函数

图 象 2 性 质 a>1 00时，y>1;x<0时，00时，01. 2

书 山 有 路 （5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数 对数函数y=logax（a>0且a1）的图象和性质: ⑴对数、指数运算：

yy=logaxa>1图 Ox象 x=1a<1 （1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R 性 质 （4）（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 x(0,1)时 y0 x(0,1)时 y0 x(1,+)时 y>0 （5）在（0，+∞）上是增函数 x(1,+)时y0 在（0，+∞）上是减函数 loga(MN)=logaM+logaNMlog=logaM−logaNa NlogaMn=nlogaM

aras=ar+s(ar)s=ars(ab)=abrrr

xy=a⑵（a0,a1）与y=logax（a0,a1）互为反函数.

3

3

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第三章 数列

1. ⑴等差、等比数列： 定义 等差数列 等比数列 an+1=q(q0) anan+1−an=d 递推公式 通项公式 中项公式 前和 an=an−1+d； an=an−1q； an=amqn−m an=am−n+mdan=a1+(n−1)da+bA=2an=a1qn−1（a1,q0） G=ab 2na1(q=1)Sn=a11−qna1−anq=(q2) 1−q1−qn项nSn=(a1+an) 2n(n−1)Sn=na1+d 2()重要性质 n+m=p+q则 an+am=ap+aq aman=apaq(m,n,p,qN*,m+n=p+q)s1=a1(n=1)a=（2）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ns−s (n2)nn−14

书 山 有 路 第四章-三角函数

一.三角函数

1、角度与弧度的互换关系：360°=2 ；180°= ； 4 1rad＝

180°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝

180≈0.01745（rad）

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 2、弧长公式：

l=||r. 扇形面积公式：s扇形11=lr=||r2 22xyycos=sin=tan=3、三角函数： ； ；

r； rx4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

y++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割-+ox+-正切、余切y

sin=tan sin2+cos2=1 5、同角三角函数的基本关系式：

cos6、诱导公式：

sin(2k+x)=sinxsin(−x)=−sinxcos(2k+x)=cosxcos(−x)=cosxtan(2k+x)=tanxtan(−x)=−tanx

cot(2k+x)=cotxcot(−x)=−cotxsin(+x)=−sinxcos(+x)=−cosxtan(+x)=tanx cot(+x)=cotxsin(2−x)=−sinxcos(2−x)=cosxtan(2−x)=−tanx cot(2−x)=−cotx5

sin(−x)=sinxcos(−x)=−cosxtan(−x)=−tanx cot(−x)=−cotx书 山 有 路

7、两角和与差公式

sin()=sincoscossin

cos()=coscos

sinsin5

tan+tantan(+)=1−tantan

tan−tantan(−)=1+tantan

8、二倍角公式是： sin2

=2sincos

2 cos2=cos−sin2=2cos2−1=1−2sin2 2tan tan2=

1−tan2。

辅助角公式asinθ+bcosθ=

a2+b2sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b

b的符号确定，角的值由tan=确定。

a9、特殊角的三角函数值：  sin cos tan 0 0 1 0  61 23 23 33  42 22 21 1  33 21 23  21 0 不存在 0  0 3 2−1 0 不存在 0 −1 0 不存在 cot 不存在 10、正弦定理

3 3abc===2R（R为外接圆半径）．

sinAsinBsinC 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC， b2 = a2+c2－2accosB， a2 = b2+c2－2bccosA． 面积公式：

6

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6

111111S=aha=bhb=chc=absinC=acsinB=bcsinA222222

2.

11.

y=sin(x+)或y=cos(x+)（0）的周期T=212.y=sin(x+)的对称轴方程是x=k+（kZ），对称中心（k,0）；

1k+,0）；y=cos(x+)的对称轴方程是x=k（kZ），对称中心（

2ky=tan(x+)的对称中心（,0）.

2第五章-平面向量

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的长度：即向量的大小，记作｜

a｜.

a=x2+y2a=

(x,y)

(3)特殊的向量：零向量

a＝O｜a｜＝O.

单位向量

a为单位向量｜a｜＝1.

(4)相等的向量：大小相等，方向相同

x1=x2(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）y1=y2

(5) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

称为共线向量. 7 （7）.向量的运算 7

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也

书 山 有 路 运算类型 向量1.平行四边 的 形法则 加2.三角形法则 法 向量的 三角形法则 减法 1.a是一个向量,满足:几何方法 坐标方法 运算性质 a+b=b+a a+b=(x1+x2,y1+y2) (a+b)+c=a+(b+c)AB+BC=AC a−b=a+(−b) a−b=(x1−x2,y1−y2) AB=−BAOB−OA=AB ,数 乘 向 量 |a|=|||a| 2.>0时, (a)=()a a=(x,y) (+)a=a+aa与a同向;(a+b)=a+ba//ba=b <0时, =0时, 8

a与a异向; 书 山 有 路 a=0. 向 量 的 数 量 积 a•b是一个数 1.a•b=b•a (a)•b=a•(b)=(a•b)a=0或b=0a•b=x1x2+y1y2时，a•b=0 ab=abcosa0,b0,0180() (a+b)•c=a•c+b•ca=|a|2即|a|=x2+y22 8 a0且b0时，ab=|a||b|cos(a,b) |a•b||a||b| (8)两个向量平行的充要条件

a∥b (b0)a=b或x1y2−x2y1=0

(9)两个向量垂直的充要条件

a⊥ba·b=0 x1·x2+y1·y2=0

x1x2+y1y2a·b(10)两向量的夹角公式：cosθ=22|a|·|b|=x12+y12•x2+y20≤θ≤180°,

附：三角形的四个“心”；

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 (11)△ABC的判定：

9

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c=a+b△ABC为直角△∠A + ∠B =

2222c2＜a22+b△ABC为钝角△∠A + ∠B＜

222

c＞a+b△ABC为锐角△∠A + ∠B＞

2(11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

9

第六章-不等式

1.几个重要不等式

2aR,a0,a0 当且仅当a=0,取“=”（1），(a－b)2≥0(a、b∈R)

2（2）a,bR,则a2+b22ab

+a,bR（3），则a+b2ab；

a2+b2a+b2()； （4）

22a+b2)(a,bR) ⑸若a、b∈R+，，则a+b(2222aba+baba+b22、解不等式 （1）一元一次不等式

a2+b2(a,bR+)； 2axb(a0)

b a①a0,xx

b ②a0,xxa2ax+bx+c0,(a0) （2）一元二次不等式

第七章-直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

10

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1.两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则2.平行线间距离：若l1AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2

:Ax+By+C1=0,C1−C2A+B22l2:Ax+By+C2=0

则：d=

注意：x，y对应项系数应相等。 3.点到直线的距离：P(x,y),则P到l的距离为：dl:Ax+By+C=0

2A+By=kx+b2ax+bx+c=0，务必注4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：F(x,y)=0意0.若l与曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)则： 10

2AB=(1+k)(x2−x1)=(1+k)(x1+x2)−4x1x2

=Ax+By+C2

222x1+x2x=25.若A(x1,y1),B(x2,y2)，P（x，y）,P为AB中点，则

y+y2y=126.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:k=tan

y2−y1.

x2−x1(x1x2)

7.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=8.直线l1与直线l2的的平行与垂直

（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2 ②l1⊥l2 k1k2=－1 （2）若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0

若A1、A2、B1、B2都不为零

A1B1C1= l1//l2； l1⊥l2 A1A2+B1B2=0； A2B2C29.直线方程的五种形式

名称 方程 斜截式： y=kx+b 点斜式： 两点式：

y−y=k(x−x) y−y1x−x1=y2−y1x2−x1 （x1≠x2 ） 11

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xy截距式： +=1

ab一般式： 10.圆的方程 （1）标准方程：

Ax+By+C=0 （其中A、B不同时为零）

(x−a)2+(y−b)2=r2， (a,b)−−圆心，r−−半径。

DE(−,−)−−圆心, 半径r=2222x+y+Dx+Ey+F=0，（D2+E2−4F0) （2）一般方程：

D2+E2−4F

2222x+y=r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：.

x=a+rcos注：圆的参数方程：y=b+rsin（为参数）. 11

特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x=rcosx+y=r(为参数）

y=rsin222（3）点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x−a)+(y−b)=r. ①M在圆C内(x0−a)②M2222+(y0−b)2r2

222（x−a)+(y−b)=rC在圆上 002③M在圆C外(x0−a)（4）直线和圆的位置关系：

+(y0−b)2r2

222(x−a)+(y−b)=r(r0)； C 设圆圆：

直线l：Ax+By+C=0(A+B0)；

22 圆心C(a,b)到直线l的距离 ①d ②dd=Aa+Bb+CA+B22.

=r时，l与C相切；

r时，l与C相交；

12

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③d

第八章-圆锥曲线方程

一、椭圆

1.定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且则P点的轨迹是椭圆。

r时，l与C相离.

PF1+PF2=2aF1F2 （a为常数）

x2y2y2x22.标准方程：2+2=1 (ab0)2+2=1(ab0)

abab

a2长轴长=2a，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：x=c， 12

c离心率：e=(0e1)焦点：(−c,0)(c,0)或(0,−c)(0,c).

a

二、双曲线

1、定义：若F1，F2是两定点，轨迹是双曲线。 2.性质

PF1−PF2=2aF1F2（a为常数），则动点P的

x2y2y2x2（1）方程：2−2=1 (a0,b0) 2−2=1 (a0,b0)

ababa2实轴长=2a，虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：x=cce= 离心率a2

22b2a. 准线距（两准线的距离）；通径

a. cc222参数关系c=a+b,e=.

abx2y2（2）若双曲线方程为2−2=1渐近线方程：y=x

aab222x−y=a ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=x，

离心率e=2.

13

三、抛物线

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1.定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。

2.图形：

3.性质：方程：

y2=2px,(p0),p−−焦参数（焦点到准线的距离）；

p(,0) ，通径AB=2p； 焦点： 2px=− 准线： ；离心率e=1 13

2

第九章-立体几何

一、判定两线平行的方法

1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 二．

判定线面平行的方法

a) 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行

c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法

⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

14

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⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 14 六、判定两线垂直的方法 1、 定义：成90角

2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法

1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质

1、 二面角的平面角为90

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：090 (0,90 2、直线与平面所成的角的取值范围是：090 0,90

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：090 (0,90

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0十、面积和体积 1.直棱柱侧

180 (0,180

s=ch

s斜棱柱侧=c`l(c`为直截面周长)

15

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s圆柱侧=cl=2rh

11=ch` s圆锥侧=cl=rl 22 2、s正棱锥侧432V=R. S=4R 3、球的表面积公式：.球的体积公式：球32V=rh=sh（r为半径，h为高） 4、圆柱体积：圆柱112 圆锥体积：V圆锥=rh=sh（r为半径，h为高）

331 锥体体积：V棱锥=sh（S为底面积，h为高）

3

5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方 15

第十章-概率与统计

1.必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件的定义 0两条基本性质①

pi0(i=1,2,…)； ②P1+P2+…=1。

理解这里m、ｎ的意义。

m2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=

n3.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图； （1）平均数设数据

x1,x2,x3,，xn，则

1(x1+x2++xn) ①x=n（2）方差：衡量数据波动大小

221S=x1−x++xn−x （xi−x较小）

n2()()

S2--------标准差

4.了解三种抽样的意义

（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

16

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（2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。

（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

第十一章 导 数

1. 导数的几何意义： 函数

y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x))处

y=f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，

的切线的斜率，也就是说，曲线16 切线方程为

y−y0=f'(x)(x−x0).

n'n−12.基本初等函数的导数公式与运算法则 ①C'=0； ②(x)=nx ； ③(sinx)=cosx；

'x'x'x'x(e)=e(cosx)=−sinx(a)=alna④； ⑤； ⑥；

11''⑦(logax)=；⑧(lnx)=

xlnax3. 求导数的四则运算法则：

(uv)'=u'v'

(uv)'=vu'+v'u(cv)'=c'v+cv'=cv'（c为常数）

vu'−v'uu(v0)=2vv

4.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：

①求

'y=f(x)的定义域；

f(x)

17

②求导数

③求方程

f(x)=0的根

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④列表检验

f(x)在方程f(x)=0根的左右的符号，若f(x)0，为增，若

f(x)0，为减

⑤如果左上升右下降，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左下降右上升，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；

第十二章 复数

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b0时的复数a + bi； 17 ④ 纯虚数—当a = 0且b2=−1.

0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：

a+bi=c+dia=c且b=d（其中，a，b，c，d，R）特别地a+bi=0a=b=0

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 2. 共轭复数z=a−bi（a，bR），|z|=|z| ， z=a2+b

23.常用的结论：

i2=−1,i4n+1=i,i4n+2=−1,i4n+3=−i,i4n=1

(1i)2=2i,4.⑴复数①

1+i1−i=i,=−i 1−i1+iz是实数及纯虚数的充要条件：

18

zRz=z.

②若

z0，z是纯虚数z+z=0.

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第十三章 极坐标

x=cos,1、极坐标与直角坐标互换2=x2+y2,2、圆的参数方程x=a+rcosy=b+rsin

3、椭圆参数方程x=acosy=bsin

18

y=sintan=y x(x0).19