哈工大阵列信号处理第一次作业

Harbin Institute of Technology

阵列信号处理第一次作业

课程名称： 阵列信号处理

哈尔滨工业大学

1.在球坐标系下，由Maxwell 方程推导自由空间的波动方程

由Maxwell方程可以推导出电磁波的波动方程为：

2222E(222)E2 (1) xyzt代入直角坐标与球坐标的关系

xrsincosyrsinsin zrcos可以得到：

1r2r(r2sr)1rsin(sins)1212s2r2sin22c2t2 根据球面波方程的球对称性，上式简化为：

1r2r(r2sr)12sc2t2 即：

2rs12r2rsc2t2 该方程的一个解为：

sArexp[j(tkr) 同样有如下关系：

k/c

根据平面波的定义，在球坐标系下，单频平面波的表达式为：

s(r,t)Arexp[j(tkr)] 2．推导空间采样信号的空、时付氏变换的卷积形式

Z(k,)d/d2/dY(l,)W(kl)dl

其中w(x)为窗函数。

对于有限孔径的感应器，某一感应器接收的信号可以表示为：

z(x,t)w(x)f(x,t) 其中w(x)为窗函数。

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

(1)

通过空间傅立叶变换可得：

W(k)w(x)exp(jkx)dx (2)

F(k,)f(x,t)exp[j(tkx)dxdt (3)

对接收信号z(x,t)进行傅立叶变换：

Zk,zx,texp[j(tkx)dxdtwxfx,texpjtexpjkxdxdtwxFox,expjkxdxwxFl,expjlxexpjkxdldxFl,wxexpjklxdxdlWklFl,dlwxFl,expjlxdlexpjkxdx

(4)

其中，Fox,综上所述，可得

fx,texpjtdt。

Z(k,)W(kl)F(l,)dl (5)

3．设在自由空间中有两个平面传播，一接收阵列沿x方向排列，两平面波传播速度相同为c，第一个平面波的频率为w1，与x轴的夹角为1；，第二个平面波的频率为w2，与x轴的夹角为

A.如果两个信号的空间频率相同，信号频率满足什么关系；

k1212：

cos12ccosf112ccosw12cosw221w1cos1

k222cos22ccosf222c2w2cos2

若满足：k1则有：w1cosk2

1w2coscoscos212

w信号频率满足：1w2B．如果w1w2，阵列的采样间距应满足什么条件。

为了避免出现模糊，空间采样间隔应该满足：

dc w因为w1w2，所以d应满足两个间距中较小的：

dcw1

4.两个等间距的线阵，分别由8个阵元构成，间距为d。第一个阵列的窗函数为:1，1，1/2，1/2，1/2，1/2，1，1。第二个阵列的窗函数为:1/2，1/2 ，1，1，1，1，1/2，1/2。分别计算各阵列的平滑函数(窗函数)。

平滑函数计算公式：

Wkwxexpjkxdx

设8阵元均匀线阵阵元位置如下图所示：

-7d/2 -5d/2 -3d/2 -d/2 d/2 3d/2 5d/2 7d/2 X 对窗函数计算有限长的傅立叶变换得到：

W1kM1m0wxexpjkxdxw(m)ejkx(me7/2)dejkx7d/2jkx5d/21/2(ejkx3d/2ejkxd/2ejkxd/2ejkx3d/2)ejkx5d/2ejkx7d/2jkxd/2(ejkx7d/2ejkx7d/2)(ejkx5d/2ejkx5d/2)1/2[(ejkx3d/2ejkx3d/2)(e2[cos(kx7d/2)cos(kx5d/2)][cos(kx3d/2)cos(kxd/2)]4cos(3kxd)cos(kxd/2)+2cos(kxd)cos(kxd/2)2cos(kxd/2)(2cos3kxdcoskxd)ejkxd/2)]

W2kM1m0wxexpjkxdxw(m)ejkx(mjkx7d/27/2)d1/2(eejkx5d/2)(ejkx3d/2ejkxd/2ejkxd/2ejkx3d/2)1/2(ejkx5d/2ejkx7d/2)jkxd/21/2[(ejkx7d/2ejkx7d/2)(ejkx5d/2ejkx5d/2)][(ejkx3d/2ejkx3d/2)(e[cos(kx7d/2)cos(kx5d/2)]2[cos(kx3d/2)cos(kxd/2)]2cos(3kxd)cos(kxd/2)+4cos(kxd)cos(kxd/2)2cos(kxd/2)(cos3kxd2coskxd)ejkxd/2)]