Sn>0， ∴最大．【答案】 (1)10 (2) S9a9
S9a9
- 5 -
等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝
na1＋an
ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝的综合应用.
2
『对接训练』
4．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为，则a1＝( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：设数列{an}的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇
＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝33
S偶12
＝.又a1·(a1q)(a1q)＝S奇3
.所以a1q＝，故a1＝12.
答案：B
5．[2019·内蒙古呼和浩特一中摸底]已知数列{an}是递减的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3
＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．8－C．2
12
n－3
B．16－
12
n－4
n－3
－8 D．16－2
n－3
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝8，∴a1·a4＝8，又a1＋a4＝9且数列{an}113
是递减数列，∴a1＝8，a4＝1，∴q＝，∴q＝，
82
181－n
12
∴Sn＝＝16－n－4，故选B.
121－2
答案：B
6．[2019·江苏常州月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a3＋a10＝8，则S9＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a3＋a10＝8，
- 6 -
8
∴3a1＋12d＝8，∴a1＋4d＝a5＝，∴S9＝9a5＝24.
3答案：24
考点4 数列与新定义相交汇问题
a1＋2a2＋…＋2n－1an[例4] [2019·山西太原期末]对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优
n值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2
A．－70 B．－72 C．－ D．－68
【解析】 ∵数列{an}的“优值”Hn＝2＋…＋2
n－1
n＋1
n＋1
，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn最小值为( )
a1＋2a2＋…＋2n－1ann＋1
，∴Hn＝＝2，∴a1＋2a2
nan＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋
*
2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N)，∴an－20＝2n－18，由
an－20＝2n－18≤0，
an＋1－20＝2n－16≥0
得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72，故选B.
【答案】 B
数列新定义型创新题的一般解题思路
(1)阅读审清“新定义”．
(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识． (3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论.
『对接训练』
7．在数列{an}中，n∈N，若是对“等差比数列”的判断：
*
an＋2－an＋1
＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列
an＋1－an①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确判断的序号是________．
解析：①k＝0时，分子an＋2－an＋1＝0，数列{an}可为常数数列，则an＋1－an＝0，但分母不可为0，推出矛盾，∴k不可能为0，①正确；
同理②中d＝0，③中q＝1时分母都为0，不成立， ∴②③错误；
- 7 -
④例如数列0,1,0,1，……为等差比数列，④正确． 答案：①④
课时作业 9 等差数列与等比数列
1．[2019·河南龙泉中学模拟]已知数列{an}满足an＋1－an＝3(n∈N)，若的值为( )
A．2 B．4 C．12 D．16
解析：因为an＋1－an＝3(n∈N)，所以数列{an}是公差为3的等差数列，所以a1＝3，所以a4＝3＋3×3＝12，故选C.
答案：C
*
*
a5－a3
＝1，则a4
a2
a5－a36
＝＝1，a2a1＋3
2．[2019·山东淄博一中月考]在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则数列{an}的前和为( )
A．50 B．70 C．120 D．100
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a11－a4＝21，∴7d＝21，∴d＝3，又a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴数列{an}的前和为100，故选D.
答案：D
3．[2019·陕西西安远东中学期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋10a1，a5
＝9，则a1＝( )
11
A. B．－ 3311C. D．－ 99
解析：设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q＝9，又a5＝9，∴a1q＝9，1
∴a1＝，故选C.
9
答案：C
4．[2019·安徽合肥联考]已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，
2
4
a4＋a5＋a6＝6，则S12等于( )
A．45 B．60
- 8 -
C．35 D．50
解析：通解 ∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9
－S6，S12－S9成等比数列，∴S9－S6＝12，S12－S9＝24，又S6＝9，∴S9＝21，∴S12＝45，故选A.
优解 ∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12
31－2
－S9成等比数列，∵S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝S12，∴S12＝＝45，故选A.
1－2
答案：A
5．[2019·天津南开中学月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为( )
11A. B. 6335C. D. 56
解析：∵S5＝3(a2＋a8)，5a1＋5
＝，故选D. 6
答案：D
6．[2019·广西柳州二中月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S3＝15，则
5×4a5a1＋4d－10dd＝3(a1＋d＋a1＋7d)，a1＝－14d，∴＝＝2a3a1＋2d－12d4
a5
a3
a7＝( )
A．11 B．12 C．9 D．15
解析：通解 ∵{an}为等差数列， S3＝15，∴3a2＝15，∴a2＝5，又a1＝3，∴公差为2，∴a7＝3＋6×2＝15，故选D.
优解 ∵a1＝3，S3＝15，∴a2＋a3＝12，∴a1＋a4＝12，∴a4＝9，∴a1＋a7＝2a4＝18，∴a7
＝15，故选D.
答案：D
7．[2019·河北保定模拟]已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且
b7＝a7，则b5＋b9＝( )
A．4 B．5 C．8 D．15
解析：∵a3a11＝4a7，∴a7＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C. 答案：C
2
- 9 -
8．[2019·贵州贵阳期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( ) A．11 B．5 C．－11 D．－8
S5S2
S51－q5
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴q＝－8，∴q＝－2，∴＝＝
S21－q23
－11，故选C.
答案：C
9．[2019·辽宁沈阳联合体月考]已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若S4＋S6>2S5，则a6>a5，即d＝a6－a5>0；若d>0，则a6>a5，则S4＋S6＝2S4＋a5＋a6>2S4
＋2a5＝2S5.所以“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件，故选C.
答案：C
10．[2019·甘肃兰州六中期中]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S9＝18，Sn＝240，
an－4＝30(n>9)，则n＝( )
A．10 B．14 C．15 D．17
解析：∵{an}为等差数列，S9＝18，∴9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30(n>9)，∴a1＋an＝a5
＋an－4＝32，∴Sn＝
答案：C
11．[2019·甘肃天水二中月考]已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝
na1＋an
2
＝16n＝240，∴n＝15，故选C.
an＋1
，若b10b11＝2，则a21＝( ) anA．2 B．2 C．2 D．2
解析：∵b10b11＝2，∴b1·b2·…·b10·b11·…·b19·b20＝2，又bn＝
10
11
12
9
10
an＋1
，an∴··…·
∴
a2a3a1a2a20a2110
·＝2， a19a20
a211011
＝2，又a1＝2，∴a21＝2，故选C. a1
答案：C
12．[2019·河北唐山四校联考]已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不
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为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q的值为( )
A.C.
1＋5±1＋5
B. 22±1＋3－1＋3
D. 22
2
解析：因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4，得2a1q3
2
3
2
＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q＝1＋q，整理得q(q－1)＝(q－1)(q＋1)，又q≠1，所以
q2＝q＋1，又q>0，所以q＝
1＋53
；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q，因为2
a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，
－1＋5±1＋5
所以q＝.综上，q＝，故选B.
22
答案：B
12
13．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a4＝a6，则S5＝________.
3解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数算．
通解 设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a6，所以(a1q)＝a1q，所以a1q＝1，又a1＝15×1－35
1a11－q3121，所以q＝3，所以S5＝＝＝. 31－q1－33
12
优解 设等比数列{an}的公比为q，因此a4＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所
315×1－3
a11－q3121
以q＝3，所以S5＝＝＝. 1－q1－33
5
2
32
5
121
答案：
3
14．[2019·山西太原月考]已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，若a3，a4，a7成等比数列，则＝________.
解析：∵a3，a4，a7成等比数列，∴a4＝a3·a7，∴(a1＋3d)＝(a1＋2d)(a1＋6d)，化简得2a132
3d＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－a1，∴＝－.
3d2
3
答案：－
2
15．[2019·贵州同仁一模]记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 解析：通解 由题意得，当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
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2
2
a1
d＝(2an＋1)－(2an－1＋1)＝2an－2an－1，整理得，an＝2an－1(n≥2)，故{an}是以－1为首项，2为－1×1－2
公比的等比数列，因此S6＝＝－63.
1－2
优解 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1(n≥2且n∈N)，即Sn＝2Sn－1－1(n≥2且n∈N)，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2且n∈N)，
∴{Sn－1}是公比为2的等比数列．又S1＝2S1＋1，∴S1＝－1，∴S1－1＝－2，∴Sn－1＝－2，∴Sn＝－2＋1，∴S6＝－63.
答案：－63
nn*
*
*
6
a37
16．[2019·北京大兴期末]在首项为正数的等差数列{an}中，＝，则当其前n项和Sna45
取最大值时，n的值为________．
a37
解析：通解 设数列{an}的公差为d，∵＝，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，
a45
2112a13622
∴d＝－a1，∴Sn＝－a1n＋a1n＝－(n－6)＋a1，又a1>0，∴当n＝6时，Sn最大．
1111111111
a37优解一 设数列{an}的公差为d，∵＝，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴a6
a45
＋a7＝0，∵a1>0，d<0，∴a6>0，a7<0，∴S6最大，∴满足题意的n的值为6.
a37
优解二 ∵＝，∴5a3＝7a4，∴S5＝S7，∴S6最大，∴n的值为6.
a45
答案：6
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