第1课时 等差数列的前n项和
学 习 目 标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点). 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)． 核 心 素 养 1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数算素养. 2.借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数算素养.
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?
Sn－Sn－1（n≥2），
[提示] an＝
S1（n＝1）.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 n（a1＋an）Sn＝ 2n（n－1）Sn＝na1＋d 2思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3（a1＋a3）
[提示] S3＝＝3a2＝21.
2
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( ) A．230 B．420 C．450 D．540 20×19
B [S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.]
2
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________．
n（n＋1）
2
[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋
n（n－1）
22n＋n－nn＋n×1＝＝＝
22
22
n（n＋1）
2
.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________． 10（a1＋a10）
24 [由S10＝＝120.
2解得a1＋a10＝24.]
- 1 -
1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________．
2
4×314×3
48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
22216×5
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
22
【例1】 在等差数列{an}中， 53
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
62(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
等差数列前n项和的有关计算 [解] (1)由题意得，Sn＝
n（a1＋an）
2
＝
n－62
2
53
＝－5，解得n＝15.
53
又a15＝＋(15－1)d＝－，
6211
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
66
8（a1＋a8）8（4＋a8）
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
22∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过
程中要注意整体思想的运用．
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 5×4S5＝5a1＋d＝5，2[解] (1)
a6＝a1＋5d＝10，
- 2 -
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋
10×9
d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2
17×（a1＋a17）17×（a3＋a15）17×40
(2)S17＝＝＝＝340.
222
[探究问题] 1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？ [提示] 使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n项和Sn表示？ [提示] a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015.
3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？
[提示] 对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，
S1，n＝1，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝
Sn－Sn－1，n≥2.
an与Sn的关系的应用 当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N)来表示． 【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n－30n. (1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．
[解] (1)因为Sn＝2n－30n，所以当n＝1时，
2
2
*
a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n－30n－[2(n－1)－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他
2
2
2
- 3 -
条件不变，求an.
[解] 由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2
n＋1
nn＋1
，∴Sn＝2
nn＋1
－1，
－1－2＋1＝2.
当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．
3，n＝1，∴an＝n
2，n≥2.
2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和
2
Sn＝(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．
[解] 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， 1122
∴bn＝(bn＋1)－(bn－1＋1)
44122
＝(bn－bn－1＋2bn－2bn－1)． 4整理得：bn－bn－1－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)． ∴{bn}为等差数列．
12
又∵b1＝(b1＋1)，∴b1＝1，
4∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝
2
2
14
Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段
S1，n＝1，
表示为an＝
S－S，n≥2.nn－1
等差数列前n项和公式的实际应用 【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时
- 4 -
内能否构筑成第二道防线？
思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.1
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
3
125辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－＝500，而需要完3
成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋
9×810×9
×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．] 22
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
S1，n＝1，
3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝
Sn－Sn－1，n≥2.
*
- 5 -
1．判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．
( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式． ( ) (3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a2
n}中，Sn＝n＋2. 当n≥2时，a2
2
n＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1. 又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd. 2．已知数列{a2
n}的前n项和为Sn＝－n，则( ) A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1 C．an＝－2n－1
D．an＝2n－1
B [由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n， 当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式． ∴an＝－2n＋1.]
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________． 190 [S＝19（a1＋a19）19×2a10
192＝2
＝190.]
4．已知等差数列{a31
n}中，a1＝2，d＝－2，Sn＝－15，求n及a12.
[解] ∵S3n（n－1）1
n＝n·2＋2·(－2)＝－15，
整理得n2
－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a312＝＋(12－1)×－12
2
＝－4.
- 6 -
- 7 -
