实验报告
双臂电桥测低电压
电阻值按其大小可分为高、中和低三种阻值，100kΩ以上称为高电阻，中电阻得范围约在1Ω-100kΩ，1Ω以下的电阻称为低电阻。
不同的电阻，测量方法的不同。惠斯通电桥用来测量中值电阻时，可以忽略接触电阻及连接导线的电阻（称为附加电阻，约为10-4~10-2𝛺）带来的影响。但是，在测量1Ω以下的低电阻时就不行了，例如：测量电阻值为0.01Ω的电阻时，若接触电阻为0.01Ω左右时，其百分比误差为
0.010.01
=100%，这就无法得
出测量的结果。根据惠斯通电桥原理改进的双臂电桥（又称为开尔文电桥）利用补偿法修正系统的误差，能够较高地消除附加电路带来的影响，适合于测量10-5~10-2𝛺范围内的电阻。
关键词：电阻；惠斯通电桥；双臂电桥
一、实验目的
1．了解双臂电桥测电阻的原理和方法；
2．用双臂电桥测导体的电阻率ρ 和电阻温度系数α。
二、实验原理
如图7-5-1所示是惠斯通电桥测电阻原理的线路图，如果待测电阻RX是低电阻，RS也应该是低电阻，R1和R2可以用高电阻。虽然，连接R1和R2的四根导线的电阻和接触电阻相对于高电阻R1和R2可以忽略。但是，连接待测电阻RX和低电阻RS导线的电阻和接触电阻相对于低电阻RX和低电阻RS来说，对测量的结果的影响就不可以忽略。所以，惠斯通电桥不能测低测电阻，要测低电阻就必须改进。
为了消除上述接触电阻的影响，首先研究用伏安法测金属棒电阻R的情况，如图7-5-2(a)所示。途中电流I在A处分为I1和I2两分支电流，考虑接线的电阻和接触电阻：I1流经A点处电流表和金属棒间的接触电阻r1再流入R;I2流经A点处电压表和金属棒间的接触电阻r3再流入电压表。同理可知，当I1和I2汇合到B点时，必须流过r4和r2。因此，可以把r1和r2看作与R串联。而把r3和r4看作与电压表串联，它们的等效电路如图7-5-2（b）所示。如此说来，电压表上的指示值包括了r1、r2和R上的电压。由于R很小，r1、r2和R相比具有相同的数量级，甚
至于比R还大，所以，用电压表上的值来计算电阻R的值，其结 图7-5-1 惠斯通电桥线路 果必然包含很大的误差。
图7-5-2 伏安法测金属棒的电阻
如果把图7-5-2(a)改成图7-5-3(a)，那么，经过同样的分析可知。虽然r1、r2，r3、r4
都存在，但是所处的位置不同，构成的等效电路如图7-5-3（b）所示。
由于电压表的内阻远大于r3、r4和R，所以，电压表和电流表上的读数可以相当准确地反映电阻R上的电压和通过R上的电流。为此，可以利用欧姆定律计算处R的值。这就是利用r1和r2进行补偿的补偿法修正系统误差的补偿测量法。因此，在测量低电阻时，为了消除接触电阻的影响，常常把低电阻的两端A，B分为4个接线端A1、A2、B1和B2如图7-5-3（a）所示，这种方法称为四端钮接法。把总电流通过的接线端A1，B1称为电流端（也称为C端），而把决定所测电阻的两端电压的接线端A2，B2称为电压端（也称为P端）。
图7-5-3 四端电阻接线图
上述结果用于电桥电路，就构成双臂电桥，其原理的电路图如图7-5-4所示。RX是待测电阻，RS是标准电阻，图中A1、C1两点的接触电阻并入电源内阻，A2、C2两点的接触电阻并入R1、R2中。在图中还增加了桥臂电阻R3、R4，将图7-5-1中的B点也分为B1、B2、B3和B4四点，这就可以把B2和B4两点的接触电阻并入较高值的R3和R4中；B1和B3用短线导线相连，设其电阻为r。这样，除r外，其他附加电阻都可以忽略。
下面来推导出双臂电桥的平衡条件。假设电桥已调至平衡，Ig=0，通过R1和R2的电流相等，设为I1；通过R3和R4的电流相等，设为I2；通过RX和RS的电流相等，设为I3。因为电桥平衡时，B、D等电位，故有
𝐼1𝑅1=𝐼3𝑅𝑥+𝐼2𝑅3 (7-5-1) 𝐼1𝑅2=𝐼3𝑅𝑠+𝐼2𝑅4 (7-5-2) 𝐼2(𝑅3+𝑅4)=(𝐼3−𝐼2)𝑟 (7-5-3)
联立式(7-5-1)、式(7-5-2)和式(7-5-3)，可得
R𝑥=𝑅1𝑅𝑠+N (7-5-4)
2
𝑅
式中， N=𝑅
𝑟𝑅4
4+𝑅3
13(−)。式(7-5-4)与惠斯通电桥平衡条件相比，多出了N这一项。但+𝑟𝑅𝑅
2
4
𝑅𝑅
是，当满足条件R1/R2=R3/R4时，则N=0，此时双臂电桥平衡条件仍为
𝑅=𝑅1𝑅𝑠 (7-5-5)
2
𝑅
为了保证R1/R2=R3/R4得到满足，双臂电桥做成一种特殊结构，即把两串相同的十进制电阻得转臂装在同一轴上，使得调节转臂在任何位置时，都有R1/R2=R3/R4，于是双臂电桥和惠斯通都可以用式(7-5-5)计算，只是工作条件和测量范围不一样。
三、实验仪器
1.直流双臂电桥；
2.铝线(做成四端电阻)； 3.游标卡尺；
4.铜线(做成四段电阻)； 5.加热圆筒；
6.电炉和带鸭嘴夹导线两根和带接线夹的导线四根。
四、实验内容和步骤
1.测量导体的电阻率
对粗细均匀的圆导体，其电阻值R与其长度L成正比，与其横截面积S成反比
𝑅=ρ𝑆 (7-5-6) 式中，ρ为比例系数，它仅与导体材料有关，称为电阻率。若已知导体的直径为d,则电阻率为
ρ=R
𝜋𝑑24𝐿𝐿
(7-5-7)
测量步骤如下：
（1）将待测圆形导体（如铜、铝棒）做成四端电阻，把相应的电流，电压端接入双臂电桥的C1、C2、P1和P2的接线柱；用游标卡尺在圆柱导体的不同地方测量其直径d的值，并求d的平均值；
（2）取定圆形导体的长度L，按仪器操作步骤进行，测出其电阻R；
（3）改变长度L的值n次，分别测量其电阻R，并将测量结果计入7-5-1中；
（4）用d的平均值分别代入ρ=R̅̅̅。 （5）按误差传递计算ρ̅，̅∆ρ
表7-5-1 数据记录1
𝜋𝑑24𝐿
，算出𝜌1，𝜌2，…，𝜌𝑛；
L/cm 50 44 38 34 29 23 19 R/10−1Ω 0.29 0.25 0.21 0.18 0.16 0.13 0.11 2.测量导体的温度系数
通常电阻的阻值会随温度的改变而发生变化，对于金属棒，其变化的关系可用下式来表示
𝑅𝑡=𝑅0（1+αt+β𝑡2+⋯） （7-5-8）
式子中，𝑅0为导体在0°C时的电阻；𝑅𝑡为导体在t℃时的电阻；α，β，。。。为电阻的温度系数，且α>β>⋯。在一定的稳定范围内，金属导体的电阻与温度的关系可近似地认为是线性的，表示为
𝑅𝑡=𝑅0（1+αt） （7-5-9）
（1）测量电阻的温度系数α有多种方法，下面介绍几种常用的方法
将待测电阻浸泡在冰水中，测量其0℃时的电阻；然后，在测量其在t时的电阻𝑅𝑡，代入式（7-5-9）中算出α；
（2）先求出金属导体温度在𝑡1时的电阻𝑅1，再测出温度0在𝑡2时的电阻𝑅2，然后分别代入（7-5-9）得：
𝑅1=𝑅0（1+𝛼𝑡1)
𝑅2=𝑅0(1+𝑎𝑡2)
将这两式子消去𝑅0，解得
𝛼=𝑅
𝑅2-R1
1𝑡2-R2𝑡1
（7-5-10）
（3）图解法。对一系列温度𝑡测出电阻𝑅𝑡，然后，以温度𝑡为横坐标；以电阻𝑅𝑡为纵坐标作图。在一定温度范围内，测得的是一条近似直线（拟合），找出直线在纵坐标轴上得截距𝑅0，和直线斜率𝑚，于是电阻温度系数α=𝑚⁄𝑅0。
本实验采用图解法测导体铜得电阻温度系数α，测量步骤如下。
①将待测圆形导体（如铜导线）做成四端电阻（实验室已做好了），把相应的电流、电压端接入双臂电桥的C1、C2、P1、P2接线柱。
②做好的四端电阻侵泡在变压器油中，温度计也随四端电阻侵泡在机油中，将这一套装置，安全地放置在小电炉上，开始缓慢地加温。
③当温度达到120-140℃，拔下电源插头，断开电源；仔细观察温度计的温度，大约每隔10℃进行一次测量。
④大约测量8-10次，将所测得的数据，记录在表7-5-2中。
表7-5-2 数据记录2 温度/℃ 120.7 电阻/𝑅𝑡 3.18 3.23.153.13.0532.952.92.852.82.75020406080100120140105.3 3.15 95．8 3.11 85.7 3.07 74.5 3.02 .9 2.99 56.2 2.95 44.4 2. 35.5 2.83 30.4 2.81 电阻温度/℃
⑤用坐标纸作图或采用Excel软件作图和数据处理。
五、数据处理与分析
根据误差理论自拟数据记录表格，进行实验数据处理。 取圆柱导体的直径为 d/mm 4.003 4.007 4.008 𝑑=4.007(mm) 𝐿1=0.5m 𝑅1=0.029Ω 𝐿2=0.44m 𝑅2=0.025Ω
L30.38m R30.21Ω4.010
2ΠdΠd22ρRρ1R1-3）3.14*（4.007*104L可知4L=0.029*根据=7.31*10-7（Ω*m）
4*0.5
Πd3.14*(4.007*103)2ρ2R20.025*7.16*1074L24*0.442Πd3.14*（4.007*10-3）ρ3R30.021*6.97*10-74L34*0.3822（Ω*m）
...........
如此累加得 𝜌=
∏7𝑖=1𝜌𝑖
7
=7.14*10-7 (Ω*m)
𝑅6−𝑅7
𝛼1==1.61∗10−3
𝑡6𝑅7−𝑡7𝑅6𝑅5-R6
𝛼2==1.46*10-3
𝑡5𝑅6-t6R5𝑅4-R5
𝛼3==1.67*10-3
𝑡4𝑅5-t5𝑅4
R7=3.15 t7=105.3
..... 如此类推
ααii1881.57*10-3
因此，𝑅𝑡=0.27（1+1.57*10-3𝑡）
六、实验结论与误差分析
1. 𝑅1=𝑅3不是严格成立的，会存在误差；
2
4
𝑅𝑅
2.金属材料的电阻随温度变化而变化的规律不是完全相同的； 3.铝棒长度的测量会存在偏差。
七、思考题
1.为什么不能用惠斯通电桥低电阻？从惠斯通电桥改装为双臂电桥时，根据什么原理和采用了哪些方法？
答：因为使用惠斯通电桥测低电阻时，被测电阻和标准电阻太低，使得线路中的电流过大而烧坏电源。
2.若四端电阻得电压端，电流端其中一个（或者两个）接错，实验当中会出现什么现象？试从原理说明之。
答：如果这两端接错，等效电路图中两个电阻就要换位置了。这样做的缺点是加大了 待测电阻的附加电阻，使得测量结果不准确，增大实验误差。
3.请你设计一个图解法测导体温度系数的实验，写出所用仪器，画出实验线路和写出实验步骤，并指出其误差范围。
双臂电桥法：
在烧杯中加入适量的水，将导体浸没其中，通过恒温加热器控制水的温度，从而使导体的温度随着水的温度变化而变化，通过恒温控制器读出温度值。设双臂电桥测得室温时导体电阻为𝑅1，接入双臂电桥的𝑃1、𝑃2两接线柱间的导体长度为L,浸入液体中的导体长度为B，则温度不发生变化的导体长度为L-B，温度不发生变化的导体电阻为：
𝑅2=𝑅1(𝐿−𝐵)×𝑐𝐿。设电桥测量温度t℃时的电阻值为𝑅3，则温度发生变化的导体的电阻为𝑅𝑡=𝑅3−𝑅2.
实验中把恒温加热器从20℃开始加热，每隔10℃记录一次阻值，直到95摄氏度。 误差分析：恒温控制器加热的温度与导体实际的温度存在一定误差，导体的长度测量也会存在精确性的误差。
