基本不等式及其应用

考纲解读 1. 了解基本不等式

abab(a,bR)的证明过程. 22. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究

基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及高中数学的很多章节,且常考常新,但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58分. 知识点精讲

1. 几个重要的不等式 （1）a0(aR),2a0(a0),a0(aR).

（2）基本不等式：如果a,bR,则特例：a0,aabab (当且仅当“ab”时取“”). 21ab2;2(a,b同号). aba（3）其他变形：

(ab)222①ab(沟通两和ab与两平方和ab的不等关系式)

222a2b2②ab(沟通两积ab与两平方和a2b2的不等关系式)

2ab2③ab()(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)

2abab④重要不等式串：

112ab2a2b2(a,bR)即 2调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知x,yR.

xy2s2)(当且仅当“xy”时取“”).即“和为定值,积有最（1）如果xyS(定值),则xy(24大值”.

（2）如果xyp(定值),则xy2xy2p(当且仅当“xy”时取“”).即积为定值,和有最小值”.

题型归纳及思路提示

题型91 基本不等式及其应用 思路提示

熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是否成立进行验证.

a2b2例7.5 “ab0”是“ab”的（ ）

2

1

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ,

变式1 已知a0,b0且ab2,则（ ） A. ab

变式2 (2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．

例7.6 若a0,b0,ab2,,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 （写出所有正确命题的序号）.

① ab1；②ab

2

11 B. ab C. a2b22 D. a2b23 22112；③a2b22；④a3b33；⑤2.

ab变式1 如果正数a,b,c,d满足adcd4,那么（ ） A. abcd,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 B. abcd,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一 C. abcd,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一 D. abcd,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一

题型92 利用基本不等式求函数最值 思路提示

（1）在利用基本不等式求最值时,要把握四个方面,即“一正各项都是正数；二定等

和或积为定值；三相

等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值,可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用

基本不等式时等号要同时取得”,求最值时,这是个方面缺一不可,若忽视了某个条件的验证,可能会出现错误. （2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组,反复使用基本不等式等. 一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证 例7.7 （1）若x0,求函数f(x)

123x的最小值； x 3

变式1 （1）求函数yx231x1(x2)的值域

（2）求函数yx23x21的最小值；

（3）求函数yx25x24的最小值.

二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式 例7.8 已知x,求函数y4x214x5的最大值.

变式1 求函数y6x22x24的最大值.

变式2 设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当xy212z取得最大值时,xyz最大值为（A. 0 B. 1 C.

94 D. 3

4

）

三、“1”的变换

例7.9 已知x0,y0,且

变式1 已知a0,b0,ab2,则y

变式2 求函数y

变式3已知abc,证明：

变式4 设ab2,b0则当a 时,

5

191,求xy的最小值. xy11的最小值是 ab14(0x)的最小值 22sinxcosx21113 abbccaaca1最得最小值. 2ab四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用

例7.10若正数a,b满足abab3,则：（1）ab的取值范围是 （2）ab的取值范围是

变式1 若x,y0满足2xy6xy,则xy的最小值是

变式2 若x,y0满足xyxy2,则xy的最小值是

变式3 若x,y0满足x2y2xy8,则x2y的最小值是（ ）

A.3 B.4 C.

911 D. 226

五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式

y21,则x1y2的最大值为 例7.11 设x0,y0,x22

变式１ 已知a0,b0,ab4,求(a)2(b)2的最小值．

六、合理配组,反复应用基本不等式 例7.12 设ab0,则a21a1b11的最小值是（ ） aba(ab)A.1 B.2 C.3 D.4

变式1 若a0,b0,满足

112ab的最小值是（ ） abA.2 B.22 C.4 D.5

7

变式2 若x,y是正数,则(x121)(y)2的最小值是（ ） 2y2xA.3 B.

79 C.4 D. 22

题型93 利用基本不等式证明不等式 思路提示

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）a,b,cR,求证：(abc)(1a1)4 bca2b2c2abc （2）a,b,cR,求证：bca（3）x,y,zR,且xyz1,求证：x

变式1若a,b,cR,且abc1,求证：(1)(1)(1)8

变式2 证明：若x,y,z,a,b,cR,则

8

yz3 1a1b1cbcca2ab2yz2(xyyzxz) abc最有效训练题27（限时45分钟）

1．函数f(x)x1（x2）在xa处取得最小值,则a（ ） x2A.12 B.13 C.3 D.4

2．已知x0,y0,2x3y1，则

32的最小值是（ ） xyA.6 B.12 C.18 D.24

3．若x0,y0,

2y8xm22m恒成立,则实数m的取值范围是（ ） xy C.(2,4 ) D.(4,2 )A.(,2][4,) B.(,4][2,224．已知a,bR,且2ab1,则S2ab4ab的最大值为（ ）

A.

21 B.21 C.21 D.221 25．若x0,y0,且xy(xy)1则（ ）

22 C.xy(21) D.xy(21) A.xy222 B.xy2226．若224,则点(m,n)必在（ ）

mnA.直线xy20的左下方 B.直线xy20的右上方 C.直线x2y20的右上方 D.直线x2y20的左下方

7．在“

4+

91”中的“ ”处分别填上一个自然数,使他们的和最小,其和的最小值为

11的最大值为 xyxy8．设x,yR,a1,b1，若ab3,ab23，则27在x(a,)上恒成立,则实数a的最小值为 xa(x5)(x2)10．（1）设x1，求函数y的最小值为_______________

x14（2）设x(0,),求函数f(x)sinx的最小值.

sinx9．已知关于x的不等式2x（3）已知x0,y0,且xy1,求

34的最小值 xy（4）若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是

9

11．已知a,b为正数,求证：abab. ba

12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车辆速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,当车流速度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明,当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当20x200时,求函数v(x)的表达式；

（2）当车密度x为多大时,车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/每小时）f(x)xv(x)可以达到最大,并求出最大值（精确到1辆/小时）.

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