动态法求解立体几何中的计算问题
用动态的方法处理立体几何问题,给几何题赋予了活力,题意更加新颖,同时使几何问题处理起来更加灵活,也加强了对空间想象力及逻辑思维能力的考查。
一、 巧“割”
当直接计算几何体的体积较困难时,可通过分割法将其分解为熟习的图形,易于计算,为顺利运用公式、定理解题铺平道路,扫除障碍。
例1.如图1,已知ABCD--A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别为棱AA1与CC1的中点,求VA1EBFD1
【分析】:本题若直接找高,不仅需对此图形的线、面关系作深入分析,还需要进行一系列较为复杂的转化,不胜其烦,而用分割法进行等价转化,则简单得多。
【解】连结EF,则截面A1EF把四棱锥A1-EBFD1分割成两个三棱锥A1-EFB和A1-EFD1,且它们等底同高。
所以,VA1EFBVA1EFD1VFA1ED1所以,VA1EFBD1VA1EFBVA1EFD111CDSA1ED1a3, 31212VA1EFBa3.
6二、妙“补”
补法是把不熟悉几何体延伸或补加成熟悉几何体,把不完整的图形补成完整的图形。 例2、一个四面体的所有棱长均为2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为 A、3 B、4 C、33 D、6
【解析】因为,正方体的面对角线可构成一个正四面体,所以,可将原四面体补成为一个边长为1的正方体,则正方体、正四面体的顶点在同一个球面上,所以,求的直径2R等于正方体的体对角线,又正方体的体对角线长为3,所以,2R=3,R=
23. 2所以,S=4R=3. 故选A.
三、展开铺平
教材中求柱、锥、台的侧面积给我们提供了一种重要方法,即“展开铺平”处理立体几何问题,即把空间图形元素的性质与数量关系集中在一个平面上,降低解题难度。
例3、如图1所示,在母线长为,上、下底面半径分别为5cm、10cm的圆台中,从母线AB的中点M拉一根绳子,围绕圆台侧面转到B点,(1)求绳子的最短长度;(2)求此时绳子和圆台上底圆周间的最短距离.
【解】如图2所示,将圆台的侧面展开并补为扇形,设圆心为O,扇形圆心角为,
可求得OA=,2.
(1)绳子的最短长度为MB=OM2OB250(cm). (2)作ODMB于D,交
于E,侧OD=
OMOB=24(cm).
MB所以,ED=24-(cm),即绳子和圆台上底圆周间的最短距离为4cm..