绝对值不等式

绝对值不等式 典型例题一

例1 解不等式x12x32

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念aa(a0)，将不等式中

a(a0)的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令x10，∴ x1，令2x30，∴x3，如图所示． 2（1）当x1时原不等式化为(x1)(2x3)2 ∴x2与条件矛盾，无解．

3时，原不等式化为x1(2x3)2． 23∴ x0，故0x．

23（3）当x时，原不等式化为

23x12x32．∴x6，故x6．

2（2）当1x综上，原不等式的解为x0x6．

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

典型例题二

例2 求使不等式x4x3a有解的a的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为,3,[3,4],(4,)三个区间 当x3时，原不等式变为(4x)(3x)a,x7a7a3，即有解的条件为

22

a1；

当3x4时，得(4x)(x3)a，即a1；

a7a74 ∴a1．，有解的条件为

22以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a1．

当x4时，得(x4)(x3)a，即x

解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式PAPBa的意义是P到A、B的距离之和小于a．

因为AB1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即x4x31，故当a1时，x4x3a有解．

典型例题三

例3 已知xa,0yb,y(0,M)，求证xyab． 2M2a分析：根据条件凑xa,yb． 证明：xyabxyyayaab

y(xa)a(yb)yxaaybMa． 2M2a说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

典型例题四

例4 求证

a2b2aab

分析：使用分析法

证明 ∵a0，∴只需证明abaab，两边同除b，即只需证明

2222a2b2b2a2，即

bba2aaa()21()2 bbb

当

aaaaaa1时，()21()21()2；当1时，

bbbbbbab0，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

a2b2aabbab

aa22（1）如果

a1，则ab0，原不等式显然成立． bbbb，则，利用不等式的传递性知b1a，bab，∴

aaa（2）如果

原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证

ab1aba1ab1b．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)x1x11． 11x1x1x定义域为｛xxR，且x1｝，f(x)分别在区间(,1)，区间(1,)上是增函数．

又0abab， ∴f(ab)f(ab)

即

ab1abab1aba1abb1aba1ab1b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵abab，1ab0，

∴

abababab． 1ab1ab1ab1ab1a1b错误在不能保证1ab1a，1ab1b．绝对值不等式abab在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

典型例题六

22(a1)(a1)例6 关于实数x的不等式x与x23(a1)x2(3a1)0(aR)22的解集依次为A与B，求使AB的a的取值范围．

分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．

(a1)2(a1)2解：解不等式x， 22(a1)2(a1)2(a1)2x，

222∴Ax2axa21,aR．

解不等式x23(a1)x2(3a1)0，[x(3a1)](x2)0． 当a11时（即3a12时），得Bx2x3a1,a．

3311时（即3a12时），得Bx3a1x2,a．

33当a2a2,1当a时，要满足AB，必须2故1a3；

3a13a1,当a2a3a1,a1,1时，要满足AB，必须 231a1,2a1;∴a1．

所以a的取值范围是aRa1或1a3．

说明：在求满足条件AB的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．

典型例题七

例6 已知数列通项公式ansinasin2asin3asinna对于正整数m、n，当23n2222mn时，求证：aman1． 2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再

利用不等式a1a2ana1a2an，问题便可解决．

证明：∵mn ∴amansin(n1)asin(n2)asinma

2n12n22msin(n1)asin(n2)asinma

2n12n22m112n112n21m22(1n1)2mn 11211111(1)(011)． 2n2mn2n2mn11111说明：n1n2m是以n1为首项，以为公比，共有mn项的等比数列

22222的和，误认为共有mn1项是常见错误．

正余弦函数的值域，即sin1，cos1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f(x)x2x13，xa1，求证：f(x)f(a)2(a1)

分析：本题中给定函数f(x)和条件xa1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件xa1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a1xa1，替出x；(3)用绝对值的性质xaxa1xa1进行替换．

证明：∵f(x)x2x13，∴f(a)a2a13， ∵xa1，∴xaxa1． ∴xa1，

∴f(x)f(a)x2a2ax

(xa)(xa)(xa) (xa)(xa1) xaxa1

xa1xa1a1a12(a1)，

即f(x)f(a)2(a1)．

说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件xa1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．

典型例题九

x0例9 不等式组3x2x的解集是（ ）．

3x2xA．x0x2 B．x0x2.5 C．x0x6 D．x0x3

分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由

3x2x3x，知0，∴3x2x3x3x3，又x0，∴0x3，解原不等式组实为解不等式

3x2x（0x3）． 3x2x解法一：不等式两边平方得：(3x)2(2x)2(3x)2(2x)2．

∴(x2x6)2(x2x6)2，即(x2x6x2x6)(x2x6x2x6)0， ∴x(6x2)0，又0x3．

x260∴ ∴0x6．选C．

0x3解法二：∵x0，∴可分成两种情况讨论：

(1)当0x2时，不等式组化为解得0x2．

(2)当x2时，不等式组可化为解得2x6．

3x2x（0x2）． 3x2x3xx2（x2）， 3x2x综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0x6，选C．

说明：本题是在x0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．

典型例题十

例10 设二次函数f(x)ax2bxc(a0，且b0)，已知ba，f(0)1，

5f(1)1，f(1)1，当x1时，证明f(x)．

4分析：从a0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x1且f(1)1，f(1)1知，要求证的是f(x)5，所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴4上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．

证明：∵2b(abc)(abc) abcabc f(1)f(1)11 2， ∴b1．

又∵ba，∴

b1． a∴b11． 2a2b4acb2b2c又cf(0)1，f()，

2a4a4abb2b2∴f()c c2a4a4a

c1b15b111． 4a44而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x1，1x1， ∴f(x)的最大值应在x1，x1或x∵f(1)1，f(1)1，f(b处取得． 2ab5)， 2a4∴f(x)5． 4说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x1范围内的最大值．