高中数学 报刊专题研究精选 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

一、三点作图法

三点作图法是画函数yk|axb|c(ak0)的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V”，故称V型图）。

步骤是：①先画出V型图顶点b，c； a②在顶点两侧各找出一点；

③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数yk|axb|c(ak0)的图象。

例1. 作出下列各函数的图象。 （1）y|2x1|1；（2）y1|2x1|。

1，两点（0，0）解：（1）顶点，，（1，0）。其图象如图1所示。

12

图1

（2）顶点1，1，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。 2

图2

注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线x

二、翻转作图法

翻转作图法是画函数y|f(x)|的图象的一种简捷方法。

步骤是：①先作出yf(x)的图象；②若yf(x)的图象不位于x轴下方，则函数③若函数yf(x)的图象有位于x轴下方的，yf(x)的图象就是函数y|f(x)|的图象；

则可把x轴下方的图象绕x轴翻转180°到x轴上方，就得到了函数y|f(x)|的图象。

例2. 作出下列各函数的图象。

（1）y||x|1|；（2）y|x2x3|；（3）y|lg(x3)|。

解：（1）先作出y|x|1的图象，如图3，把图3中x轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。

2b对称。 a

图3 图4

（2）先作出yx2x3的图象，如图5。把图5中x轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。

2

图5 图6

（3）先作出ylg(x3)的图象，如图7。把图7中x轴下方的图象翻上去，得到图8。图8就是要画的函数图象。

图6 图7

三、分段函数作图法

分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。

例3. 作出下列函数的图象。

2（1）yx2|x|1；（2）y|x1||x1|；（3）y|x2x3|。

22x2x1(x0)2解：（1）yx2|x|1

2x2x1(x0)图9就是所要画的函数图象。

2x（2）y|x1||x1|22x图10就是所要画的函数图象。 （3）y|x2x3|

2(x1)(1x1) (x1)22x2x3(x2x30) 

22x2x3(x2x30)x22x3(x1或x3)  2x2x3(1x3)图11就是所要画的函数图象。

图9 图10 图11

注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一

试。

四、应用

把数化为形是“数形结合”思想。利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。

1. 求函数值域。

例4. 求函数y|x1||x1|的值域。

解：由图10知函数的值域为[2，)。

2. 求函数的单调区间。

例5. 求函数y|x2x3|的单调递增区间。

解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］[3，)。

3. 求方程解的个数。

例6. 求方程x2|x|1|lg(x3)|解的个数。

解：方程x2|x|1|lg(x3)|解的个数就是函数yx2|x|1的图象与函数y|lg(x3)|的图象在同一坐标系中交点的个数。由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程x2|x|1|lg(x3)|有5个解。

22222

图12