用基本不等式求最值六种方法

111用基本不等式求最值六种方法

一．配项

9的最小值x299解析：y=x-2++2≥8 当x-2=时，即x=5时等号成立

x2x2例1：设x>2,求函数y=x+

例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值

解析：y=

解析：a2+

4abb四．平方升次

例5：当x>0时，求函数y=x+4x2的最大值。

五．待定系数法

例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

1

解析：y2=x2+2x4x2+4-x2=4+2x4x2≤4+［x2+(4x2)2］=8 当x=4x2，即x=2时，y取得最大值22.

d All th161616=（）abb2+≥4(a-b)b+≥2(ab)b(ab)b(ab)b16=16 当a-b=b=2时，等号成立。(ab)bgs in例4：已知a>b>0，求a2+

th三．重复使用不等式

16的最小值(ab)beir236112(3x43x)≤×2=当x=时等号成立3333 be例3:设02i二．配系数

等号成立。

法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号

成立，即a=b=3

法1：ab=a+b+3≥2ab+3当a=b时等号成立，解得ab≥3即ab≥9当a=b=3时

第 2 页 共 2 页 熊老师

解析：y=2sin2x+2sinxcosx

=2 sin2x+

22sinx(acosx) a(a>0)

(2a1a2)sin2x=a+

若为定值，则

sin2xa2cos2x ≤2 sinx+

a a2a1a2=0，a=2+1,

所以y≤2+1,sinx=2222r2,cosx=2a时成立。 六．常值代换

gni例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求e1+1bxy的最小值 解析：1+1111ri12yxxy=3(x+2y)( x+e)=1+(hy3x+y)≥1+232当且仅当

2yt=x，且 xynx+2y=3，即x=3(2-1),y=32(2-2)时，取得最小值为1+

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