建筑力学第二章完整版

本章研究平面汇交力系的合成（简化）与平衡，重点是讨论平衡问题。研究的方法有：

(1) 几何法（矢量法）；

(2) 解析法（投影法）。

平面汇交力系的平衡问题不仅是研究复杂力系平衡问题的基础，而且由于它所涉及的基本概念和分析方法具有一般性，因而在整个静力学理论中占有重要的地位。

一、三力情况

设刚体上作用有汇交于同一点O的三个力 F → 1 、 F → 2 、 F → 3 ，如图2-1a所示。显然，连续应用力的平行四边形法则，或力的三角形法则，就可以求出合力（resultant force）。

首先，根据力的可传性原理，将各力沿其作用线移至O点，变为平面共点力系（图2-1b），然后，按力的三角形法则，将这些力依次相加。为此，先选一点A，按一定比例尺，作矢量 AB → 平行且等于 F → 1 ，再从B点作矢量 BC → 平行且等于 F → 2 ，于是矢 AC → 即表示力 F → 1 与 F → 2 的合力 F → 12 （图2-1c）。仿此，再从C点作矢量 CD → 平行且等于 F → 3 ，于是矢量 AD → 即表示力 F → 12 与 F → 3 的合力，也就是 F → 1 、 F → 2 和 F → 3 的合力 F → R 。其大小可由图上量出，方向即为图示方向，而合力的作用线通过汇交点O（图2-1e）。

图2-1

其实，由图2-1c可见，作图时中间矢量 AC → 是可以省略的。只要把各矢量 F → 1 、 F → 2 、 F → 3 首尾相接，形成一条折线ABCD，最后将 F → 1 的始端A与 F → 3 的末端D相连，所得的矢量 AD → 就代表合力 F → R 的大小和方向。这个多边形ABCD叫力多边形（force polygon），而代表合力的 AD → 边叫力多边形的封闭边。这种用几何作图求合力的方法称为平面汇交力系合成的几何法。

由于矢量加法满足交换律，故画力多边形时，各力的次序可以是任意的。改变力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响最后所得合力的大小和方向（图2-1d）。但应注意，各分力矢量必须首尾相接，而合力矢量的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。

二、一般情况

上述方法可以推广到包含任意个力的汇交力系求合力的情况，合力的大小和方向仍由力多边形的封闭边来表示，其作用线仍通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和（或几何和），其表达式为

F → R = F → 1 + F → 2 + … + F → n = ∑ i=1 i=n F →

i （2-1）

从前面可知，在刚体静力学中，平面汇交力系合成的结果通常是一个不等于零的合力。显然，如果合力 F → R 等于零，则刚体必处于平衡；反之，如果刚体处于平衡，则合力 F → R 应等于零。所以刚体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是合力 F → R 等于零，用矢量式表示为

F → R =0 或 ∑ F → =0 （2-2）

在几何法中，平面汇交力系的合力 F → R ` F → R 等于零时，力多边

图2-2

形的封闭边变为一个点，即力多边形中最后一个力的终点恰好与最初一个力的起点重合，构成了一个自行封闭的力多边形，如图2-2b所示。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。

图2-3

【思考题2-1】

试指出图2-3所示各图中各个力之间的关系。

例2-1 图2-4a所示为起重机起吊一钢管而处于平衡时的情况。已知钢管重P = 4 kN，α = 60。；不计吊索和吊钩的重量。试求铅垂吊索和钢丝绳AB、AC中的拉力。

图2-4

解：

(1) 根据题意，先选整体为研究对象。画受力图如图2-4a所示，由二力平衡条件，显然FN = P = 4 kN。

(2) 再取吊钩A为研究对象。吊钩受铅垂吊索的拉力 F → N 和钢丝绳拉力 F → N1 和 F → N2 的作用，其受力图如图2-4b所示。这是一个平面汇交力系，根据平衡的几

何条件，这三个力所构成的力三角形应自行封闭。现作力三角形，求未知量 F → N1 、 F → N2 。首先选取比例尺（如图2-4c中所示），其次任选一点a，作矢量 ab → 平行且等于 F → N ，再从a和b两点分别作两条直线与 F → N1 、 F → N2 相平行，它们相交于c点，于是得到封闭的力三角形abc。按各力首尾相接的次序，标出bc和ca的指向，则矢量 bc → 代表 F → N2 ，矢量 ca → 代表 F → N1 （图2-4c）。量得FN1= 4 kN，FN2= 4 kN。由此可知，用平面汇交力系的几何法，可以求出两个未知力的大小，并确定其指向。

(3) 分析讨论

从力三角形可以看到，钢丝绳的拉力与角α有关，在重力 P → 不变的情况下，角α越大，钢丝绳的拉力也越大。所以，起吊重物时应将钢丝绳放长一些，使夹角2α较小些，这样钢丝绳才不易被拉断。

例2-2

简易铰车如图2-5a所示，A、B、C处为光滑铰链连接，钢丝绳绕过滑轮A将P = 20 kN的重物缓缓吊起。杆件和滑轮的重量不计。滑轮A半径很小，可视为一个点。试求杆AB和AC所受的力。

图2-5

解：

(1) 选滑轮A为研究对象。

(2) 画受力图。重物通过钢丝绳给滑轮A以向下的力大小为P；绞车D通过钢丝绳给滑轮向左下方的力为 F → N3 。因为平衡且A为光滑的铰链，所以这两个力大小相等，FN3= P = 20 kN。又AB、AC是二力杆，所以 F → N1 、 F → N2 的方向沿直线AB、AC，指向待定。作用于滑轮A的这四个力是一平面汇交力系，重物缓慢起吊时，可视为平衡力系（图2-5b）。

(3) 作力多边形，求未知量 F → N1 及 F → N2 ，选图示比例尺。任选一点a，作 ab → = P → ， bc → = F → N3 = P → ，再从a及c分别作直线平行于 F → N2 和 F → N1 ，相交于d，于是得到封闭的力多边形abcd（图2-5c）。根据力多边形法则，按各力首尾相接的顺序，标出cd和da的指向，则矢量 cd → 和 da → 分别代表 F → N1 和 F → N2 。按比例尺量得

FN1 = cd = 55 kN，FN2 = da = 75 kN

由于杆AB和AC所受的力分别与力 F → N1 和 F → N2 等值反向，所以杆AB受拉力，杆AC受压力。

若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同一点，而且共面。

图2-6

证明：

(1) 设三个力 F → 1 、 F → 2 和 F → 3 ，分别作用于刚体上的A、B、C三点，使刚体处于平衡（图2-6），且 F → 1 、 F → 2 的作用线交于O点。

(2) 根据力的可传性原理，将力 F → 1 、 F → 2 沿各自的作用线移到两作用线的交点O，并按力的平行四边形法则将它们合成为 F → R ，则（ F → R ， F → 3 ）=（ F → 1 、 F → 2 、 F → 3 ）。

(3) 此时刚体上只有两个力 F → 3 与 F → R 作用，且已知刚体处于平衡，根据二力平衡条件， F → 3 与 F → R 必定共线，即 F → 3 的作用线必通过O点且与 F → R 共线，从而与 F → 1 、 F → 2 共面。

例2-3

在简支梁AB上，作用有力F = 50 kN（图2-7a），试求支座A和B的约束力。不计梁重及摩擦力。

解：

(1) 选梁AB为研究对象，画它的受力图。梁AB受主动力 F → 作用。B处为活动铰支座，故约束力通过销钉中心B，垂直于支承面，至于其指向在现在的受力情况下，显然向上。A处为固定铰支座，约束力的方向未定。由于梁AB在三个力作用下处于平衡，而力 F → 与 F → B 交于D，所以 F → A 必沿AD连线的方向，但指向待定。受力图如图2-7b所示。

图2-7

(2) 作力三角形来求未知量 F → A 及 F → B 。选定适当的比例尺，作封闭的力三角形，如图2-7c所示，量得

两约束力的指向由力三角形各矢量首尾相接的条件确定，如图所示。

求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。为此，下面就先介绍力在坐标轴上投影的概念。

设力 F → = AB → 在Oxy平面内（图2-8）。从力矢 F → 的两端向坐标轴引垂线，得垂足a、b和 a ′ 、 b ′ ，则线段ab和 a ′ b ′ 分别称为力 F → 在轴x与轴y上的投影，记作Fx与Fy。投影的正负号规定为：从a到b（或从 a ′ 到 b ′ ）的指向与坐标轴的正向相同为正，反之为负。如已知力 F → 的大小F和力 F → 分别与轴x及轴y正向间的夹角a、β，则由图2-8可知

F x =Fcos⁡α F y =Fcos⁡β=Fsin⁡α } （2-3）

即力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。当α 、β为锐角时，Fx、Fy均为正值；当α 、β为钝角时，Fx或Fy为负值。故力在坐标轴上的投影是个代数量。

如将力沿正交的x 、y坐标轴方向分解（图2-8），则所得分力 F → x 、 F → y 的大小与力 F → 在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox 、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。此外还须注意，力的投影是代数量，而力的分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。

若已知力 F → 在正交坐标轴上的投影为Fx和Fy，则由几何关系可求出力 F → 的大小和方向

F= F x 2 + F y 2 cos⁡α= F x F x 2 + F y 2 ,    cos⁡β= F y F x 2 + F y 2   } （2-4）

式中，cosα和cosβ称为力 F → 的方向余弦。

例2-4

试求图2-9中各力在坐标轴上的投影。已知：F1= F2 = F4 = 10 kN，F3 = F5 = 15 kN，F6 = 20 kN，各力方向如图2-9所示。

图2-8 图2-9

解：

应用公式（2-3）得

F1x = F1 = 10 kN， F1y = 0， F2x = 0， F2y = F2 = 10 kN

F3x = F3cos30o= 15 × 0.866 kN = 12.99 kN

F3y = F3sin30o= 15 × 0.5 kN = 7.50 kN

F4x = F4sin30o= 10 × 0.5 kN = 5 kN

F4y = - F4cos30o= - 10 × 0.866 kN = - 8.66 kN

F5x = F5cos60o= 15 × 0.5 kN = 7.50 kN

F5y = - F5sin60o= - 15 × 0.866 kN = - 12.99 kN

F6x = - F6sin30o= - 20 × 0.5 kN = - 10 kN

F6y = - F6cos30o= - 20 × 0.866 kN = - 17.3 kN

【思考题2-2】

试分析在图2-10所示的非直角坐标系中，力 F → 沿轴x、y方向的分力的大小与力 F → 在轴x、y上的投影的大小是否相等？

图2-10 图2-11

设有一平面汇交力系 F → 1 、 F → 2 、 F → 3 ，它们的作用线汇交于点O（图2-11 a）。自平面内任意点A作力多边形ABCD，则矢量 AD → 即表示该力系的合力 F → R 的大小和方向。取坐标系Oxy，将所有的力投影到x轴上，则由图2-11b可知

F1x = ab，F2x = bc，F3x = cd， FRx = ad

因 ad = ab + bc + cd，故得

FRx = F1x + F2x + F3x

同理可得

FRy = F1y + F2y + F3y

将上述关系推广到有任意n个力组成的平面汇交力系中，则得

F Rx = F 1x + F 2x +⋯+ F nx = ∑ i=1 i=n F ix   F Ry = F 1y + F 2y +⋯+ F ny = ∑ i=1 i=n F iy   } （2-5）

为简便计，以下简写为： F Rx = ∑ F x  ,  F Ry = ∑ F y 即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。

当应用合力投影定理求出力系（ F → 1 、 F → 2 、…、 F → n ）的合力的投影 F Rx 和 F Ry 后（图2-12），再按式（2-4）或图2-12即可求出合力的大小和方向：

F R = F Rx 2 + F Ry 2 = (Σ F x ) 2 + (Σ F y ) 2

tan⁡α=|   F Ry F Rx   | =|   Σ F y Σ F x   | （2-6)

式中，α表示合力 F → R 与轴x间所夹的锐角。合力指向由 F Rx 、 F Ry 的正负号从图中判定。这种运用合力投影定理，用解析计算的方法求合力的大小和方向，称为解析法。

例2-5

用解析法求图2-13所示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知F1 = 1.5 kN，F2 = 0.5 kN，F3 = 0.25 kN，F4 = 1 kN。

解：

由式（2-5）计算合力 F → R 在轴x、y上的投影。

图2-12 图2-13

F Rx = ∑ F x =( 0−0.5+0.25cos⁡ 60 ∘ +1cos⁡ 45 ∘ )kN=0.332kN

F Ry = ∑ F y =( −1.5+0+0.25sin⁡ 60 ∘ −1sin⁡ 45 ∘ )kN=−1.99kN

故合力 F R 的大小为

F R = F Rx 2 + F Ry 2 = (0.332) 2 + (−1.99) 2 kN=2.02 kN

合力 F R 的方向余弦为

cos⁡α= F Rx F R = 0.332 2.02 =0.1,cos⁡β= F Ry F R = −1.99 2.02 =−0.986

故∣α∣= 80o34′ 。合力 F → R 的作用线通过力系的汇交点O，在第四象限（因为FRx为正，FRy为负），指向如图2-13中所示。

在§2-1中已指出，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即FR = 0。由式（2-6）可知，要使 F R = (Σ F x ) 2 + (Σ F y ) 2 =0 ，必须也只须

ΣFx = 0，ΣFy = 0 （2-7）

即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。

式（2-7）是两个的方程，可以求解两个未知量。在求解平衡问题时，若事先不能判明未知力的指向，可暂时假定。如计算结果为正值，则表示所设力的指向是正确的；如为负值，则说明所设力的指向与实际指向相反。

例2-6

如图2-14a所示，重量为P = 5 kN的球悬挂在绳上，且和光滑的墙壁接触，绳和墙的夹角为30o。试求绳和墙对球的约束力。

图2-15

解：

(1) 选研究对象

因已知的重力 P → 和待求的约束力都作用在球上，故应选球为研究对象。

(2) 画受力图

图中 F → R 是墙对球的约束力， F → N 为绳对球的约束力（图2-14b）。

(3) 选坐标系

选定水平方向和铅垂方向为坐标轴的方向，则 P → 与轴y重合， F → N 与轴x成60o角。

(4) 根据平衡条件列平衡方程

可先求出各力在轴x、y上的投影，如表2-1中所示，

表2-1 各力在轴x、y上的投影

于是

ΣFx = 0，FN cos 60o- FR = 0 （1）

ΣFy = 0，FN sin 60o- P = 0 （2）

由式（2）得

F N = P sin⁡ 60 ∘ = 5 0.866 kN=5.77kN

以此代入式（1）得

FR = FN cos 60o= 5.77 × 0.5 kN = 2. kN

例2-7

重P = 1 kN的球放在与水平成30o角的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳AB系住（图2-15a）。试求绳AB受到的拉力及球对斜面的压力。

图2-14

解：

(1) 选重球为研究对象

(2) 画受力图

作用于重球上的力有重力 P → 、斜面的约束力 F → C 及绳对球的拉力 F → N 。这是一个平衡的平面汇交力系（图2-15b）。

(3) 选坐标系Oxy如图2-15 b所示。

(4) 列平衡方程

∑ F x =0, F N cos⁡ 30 ∘ − F C cos⁡ 60 ∘ +0=0 （1）

∑ F y =0, F N sin⁡ 30 ∘ + F C sin⁡ 60 ∘ −P=0 （2）

联立解之，得

F = C 0.866kN, F N =0.50kN

根据作用与反作用定律知，绳子所受的拉力为0.50 kN；球对斜面的压力为0.866 kN，其指向与图中力 F → C 的指向相反。

讨论 如选取坐标系如图2-15c所示，则由

∑ F x =0, F N +0−Pcos⁡ 60 ∘ =0

得

F N = 1 2 P=0.50kN

由

∑ F y =0,0+ F C −Psin⁡ 60 ∘ =0

得

F C = 3 2 P=0.866kN

由此可知，若选取恰当的坐标系，则所得平衡方程较易求解（一个平衡方程中只出现

一个未知数）。

例2-8

平面刚架如图2-16a所示，力 F → 和尺寸a均为已知，求支座A和D处的约束力。刚架的自重不计。

解：

(1) 选刚架为研究对象

(2) 画受力图

根据约束性质，D处为活动铰支座，故其约束力 F → D 的方向是竖直的；A处为固定铰支座，其约束力 F → A 的方向一般为未知。但在此情况下，根据三力平衡汇交定理 ，可知 F → A 的方位必沿AC线，即 θ=arctan⁡ a 2a = 26.6 ∘ 。刚架的受力图如图2-16b所示。

(3) 选坐标系如图2-16b所示。

图2-16

于是

(4) 列平衡方程

∑ F x =0,F+ F A cos⁡ 26.6 ∘ =0 （1）

∑ F y =0, F D + F A sin⁡ 26.6 ∘ =0 （2）

解得

FA = -1.12 F（负号表示其实际指向与所设指向相反）

FD = - 0.448 FA =（- 0.448）（- 1.12 F）= 0.502 F

图2-17

注意：写平衡方程时，FA的指向是以图设指向为准，故将FA代入式（2）时仍保留其负号。