不等式及其基本性质-教案

7.1 不等式及其基本性质-教案

池州市第十六中学 汪重

一、教学背景 （一）教材分析

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的基础。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式及其性质的学习有着重要的实际意义，同时也是进一步学习解不等式及应用不等关系解决实际问题的依据。因此本节课内容在这一章占有重要地位。

（二）学情分析

学生在学习了有理数的大小比较、等式及其基本性质的基础上，积累了一定的经验，本节课主要采用类比等式的方法进行不等式的探究教学，这样不仅有利于学生掌握不等式的基本性质，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生辩证思维的能力。本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发，让学生自主获取知识。

二、教学目标 （一）知识与技能目标

1.了解不等式的概念，探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别。 （二）过程与方法目标

通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高学生的辨别能力.

（三）情感、态度与价值观目标

1．通过学生对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流；

2．通过具体情景的创设，使学生在生活中发现数学，感受数学在生活中的重要应用，激发学生对数学学习的热情。

三、教学重点与难点

重点：不等式的概念及其基本性质。

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难点：不等式的基本性质的掌握和应用，特别是不等式基本性质3的理解与应用。

四、教学方法分析及学习方法指导

1．类推探究法。即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质。 2．采用的是“启发、引导、合作探究”的教学方法。根据学生的认知规律，创设符合学生实际的情境，引导学生自主探索，积极参与课堂活动，培养学生的探究能力。

教学方式：多媒体教学 五、教学过程

（一）创设问题情境，引入新课

（设计说明：通过创设情景，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发学生的学习兴趣。）

在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中。由此可见，不等关系处处可见。从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式。

问题1：用适当的式子表示下列关系： （1）2x与3的和不大于-6；

（2）x的5倍与1的差不小于x的3倍； （3）a与b的差是负数； （4）x的2倍与y的值不相等。

（分析：引导学生分析时将表示不等关系的词语找出来，可以让学生的思维发展从感性的认识开始强化，加深对不等关系的理解，逐步螺旋上升为理性认知。学习列不等关系式，训练学生数学语言与数学符号的转化，培养学生的符号感。问题1中让学生掌握用适当的式子表示不等关系，并让学生了解不小于与不大于的含义。）

问题2：雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？

（分析：通过列举生活中常见的一些实例，让学生体会到“数学来源于生活，并应用于生活”。现实世界中有各种各样的数量关系存在，不等关系就是其中的一种，感受到建立不等关系的数学模型的必要性及其现实意义。）

（二）探究新知

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1．探究不等式的概念

（设计说明：从具体的、熟悉的实例入手，引出不等式的概念） 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫不等式. 如：2x+3≤-6，5x-1≥3x，a-b＜0，2x≠y，4.5t＜28000 跟踪练习：

（1）判断下列式子哪些是不等式？为什么？

①3＞2 ②a2+1＞0 ③3x2+2x

④x＜2x+1 ⑤x=2x-5 ⑥x2+4x＜3x+1 ⑦a+b≠c （2）甲市某天的最低气温是-1℃，最高气温是5℃，设这天气温为t℃，则 t满足的条件是 。

（3）某段长为30km的公路AB，对行驶汽车限速为（不超过）60km/h，一辆汽车从A到B的行驶时间为t小时，求t满足的数量关系。

2．探究不等式基本性质

（设计说明：不等式与等式有类似之处，利用类比思想；从活动探究到归纳总结得出不等式基本性质）

类比联想：还记得等式具有哪些基本性质吗？

①等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍成。即：如果a=b,那么a±c=b±c。

②等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍成立。即：如果a=b,那么ac=bc或

ab。 （c≠0）

cc③如果a=b，那么b=a（等式的对称性）。 ④如果a=b,b=c那么a=c（等式的传递性）。 （不等式基本性质1的探究） （1）活动探究（利用天平验证）

π ＞ 3 π+2 __ 3+2 π+(-2) __ 3+(-2) π- 2 __ 3-2

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+ C－C

π-(-2) __ 3-(-2) （2）归纳总结

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。即：如果 a＞b 那么a±c＞b±c （不等式基本性质2的探究） 活动探究

π＞ 3 π×2 __ 3×2 π×5 __ 3×5 π× __ 3×

（2）归纳总结

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 即：如果 a＞b，c＞0 那么 ac＞bc， ＞

（不等式基本性质3的探究） （1）活动探究

（分析：可借助数轴直观分析，便于学生理解接受）

π ＞ 3 π×（-1） __ 3 ×（-1） a ＞ b -a __ -b -3a __ -3b （2）归纳总结

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 即：如果 a＞b，c ＜ 0 那么 ac ＜ bc， ＜不等式的基本性质4：如果 a＞b 那么b＜a （不等式的对称性） 不等式的基本性质5：如果 a＞b , b＞c那么a＞c （不等式的传递性） （分析：此处可借助数轴直观分析，便于学生理解接受。） 3．等式和不等式的基本性质有哪些相同点和不同点？

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（学生独立思考，小组交流讨论，师生归纳总结。）

相同点：都可以在两边加（或减）同一个整式，则等式仍成立，不等式中不等号的方向也不变.

不同点：对于等式来说，两边乘（或除以）同一个正数或负数，等式仍成立；对于不等式来说，两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向一定要改变.

（三）巩固练习

1．若m>n，判断下列不等式是否正确：

（1）m-7-5n （ ）

（4） （ ）

2. 设a＜b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质。 （1）4a____4b ；

（2）a - 10____b - 10 ；

11（3）a____b;

3355（4）a____b; 22（5）2a+3____2b+3;

（6）(m2+1) a ____ (m2+1)b (m为常数)

3.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式： ①x-2＜ 3 ②6x＜5x-1 ③-2x-3＜-7 ④3x–1≥5x

（设计说明：利用不等式基本性质转化不等式，为后面的移项法则解不等式打下基石。）

（四）课堂小结

这节课你有哪些收获？（鼓励学生大胆发言） 教师小结： 1．不等式概念； 2．不等式的基本性质；

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3．数学思想：类比、分类讨论。

（设计说明：帮助学生对本节课内容进行系统的梳理，对学生已有的数学知识体系进行进一步的完善。在提问时努力做到面向全体学生，关注学困生，并给予他们鼓励。）

（五）布置作业 习题7.1 第3、4、5题

（教学设计说明：本节课是一节新授课，从学生已有的认知结构出发，让学生经历“提出问题、分析问题、解决问题”的过程，通过师生充分互动，将学生推到学习的前沿，在观察中发现生活中的数学。在教学过程中引导学生勇敢的尝试，大胆的猜想，在讨论中归纳，总结出结果，让学生在发现中体会到数学学习的无限乐趣，充分发挥学生的学习主体性和主观能动性，达到了很好的教学效果。）

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