高考中的数列

题型一| 等差、等比数列的判定与证明

(2013·江苏高考)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前

nSnn项的和．记bn＝2，n∈N*，其中c为实数．

n＋c

(1) 若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)； (2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.

【名师点评】 证明或判断数列是等差比数列的基本方法：

an＋11定义法：an＋1－an＝d常数n∈N*⇒{an}是等差数列；＝qq是非零常数⇒{an}

an

是等比数列；

2

2等差比中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*⇒{an}是等差数列；anan＋2n∈N*，＋1＝an·

an≠0⇒{an}是等比数列.

(2016·南通三模)已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．

n

(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；

2

(2)若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列； (3)若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成1

等差数列的充要条件是d＝.

2

1

题型二| 数列中的新定义问题

(2014·江苏高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整

数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；

(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．

【名师点评】 本例先给出“H数列”的定义，在此基础上，借助an与Sn的关系及

等差数列的有关知识对所给命题进行论证，重在考查学生接受新知识及应用已知知识解决问题的能力.

(2016·南通调研)若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．

(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. ①求数列{an}的通项公式；

②试判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．

(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”．

2

题型三| 数列的综合应用

已知数列{an}满足a1＝x，a2＝3x，Sn＋1＋Sn＋Sn－1＝3n2＋2(n≥2，n∈N*)，Sn

是数列{an}的前n项和．

(1)若数列{an}为等差数列． ①求数列的通项an；

②若数列{bn}满足bn＝2an，数列{cn}满足cn＝t2bn＋2－tbn＋1－bn，试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小．

(2)若对任意n∈N*，an【名师点评】 1.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是函数

与数列的联系，二是不等式与函数的联系.

2.关注两个转化

1函数条件的转化.直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x换成n即可；

2数列向函数的转化.可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量

3

取值范围的限制.对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.

2*

(2016·苏锡常镇调研)已知首项为1的正项数列{an}满足a2n＋1＋an5

3

(1)若a2＝，a3＝x，a4＝4，求x的取值范围；

2

1

(2)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，若Sn2求q的取值范围；

(3)若a1，a2，…，ak(k≥3)成等差数列，且a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak(k≥3)的公差．

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命题展望

从近几年的高考试题看，数列作为江苏高考的压轴大题，难度始终较大，其考查方式主要立足相关数列的推理与证明，且基本数列等差、等比数列与新定义数列交替命题.2017年建议强化基本数列的证明问题.

(2015·江苏高考)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数

列．

(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；

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(2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a3，a4依次构成等比数列？并说明理由； nkn(3)是否存在a1，d及正整数n，k使得a1，an2，a3

＋

＋2k

，an4

＋3k

依次构成等比数例？并说

明理由．

Sn1．设各项均为正数的数列{an}满足＝pn＋r(p，r为常数)，其中Sn为数列{an}的前n

an

项和．

(1)若p＝1，r＝0，求证：{an}是等差数列； 1

(2)若p＝，a1＝2，求数列{an}的通项公式；

3(3)若a2 015＝2 015a1，求p·r的值．

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