(完整版)2014年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，文1，5分】已知全集U{1,2,3,4,5,6,7}，集合A{1,3,5,6}，则ðUA（ ） （A）{1,3,5,6} （B）{2,3,7} （C）{2,4,7} （D）{2,5,7} 【答案】C

【解析】∵全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，∴ðUA2,4,7，故选C．

【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

1i2（2）【2014年湖北，文2，5分】i为虚数单位，()（ ）

1i（A）1 （B）1 （C）i （D）i 【答案】B

2i1i1，故选B． 【解析】因为1i2i【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年湖北，文3，5分】命题“xR，x2x”的否定是（ ）

（A）xR，x2x （B）xR，x2x （C）xR，x2x（D）xR，x2x

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：x0R，x02x0，故选D．

【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否

定是特称命题．

xy4（4）【2014年湖北，文4，5分】若变量x，y满足约束条件xy2，则2xy的最大值是（ ）

x0,y02（A）2 （B）4 （C）7 （D）8 【答案】C

xy4,【解析】满足约束条件xy2,的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z2xy，

x0,y0,∴ZO0，ZA4，ZB7，ZC4，故2xy的最大值是7，故选C．

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，

可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

（5）【2014年湖北，文5，5分】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数

之和大于5的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ） （A）p1p2p3 （B）p2p1p3 （C）p1p3【答案】C

【解析】列表得：

（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）

1

p2 （D）p3p1p2

（5，6）

（5，5） （5，4） （5，3） （5，2） （5，1） （6，6） （6，5） （6，4） （6，3） （6，2） （6，1）

∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26

105种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之

36182613181和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，∴p1p3p2，故选C．

3618362【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结

果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

（6）【2014年湖北，文6，5分】根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 ˆbxa，则（ ） 得到的回归方程为y（A）a0，b0 （B）a0，b0 （C）a0，b0 （D）a0，b0 【答案】A

【解析】样本平均数x5.5，y0.25，∴xixyiy24.5，xixi1i166217.5，∴b24.5 1.4，

17.5∴a0.251.45.57.95，故选A．

【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． （7）【2014年湖北，文7，5分】在如图所示的空间直角

坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是

0,0,2，2,2,0，1,2,1，2,2,2，给出编号①、

②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图

分别为（ ）

（A）①和②（B）③和①（C）④和③（D）④和② 【答案】D

【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为

②，故选D．

【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题． （8）【2014年湖北，文8，5分】设a,b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过

x2y222A(a,a),B(b,b)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为（ ）

cos2sin2（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】A

sin【解析】∵a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，∴ab，ab0，过Aa,a2，

cos22basinBb,b2两点的直线为ya2x， xa，即ybaxab，即ybacos22xysin∵双曲线的一条渐近线方程为1yx，∴过Aa,a2，Bb,b2两点的直线与双 22cossincosx2y2曲线1的公共点的个数为0，故选A．

cos2sin2【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （9）【2014年湖北，文9，5分】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x23x．则函数

g(x)f(x)x+3的零点的集合为（ ） （A）{1,3} （B）{3,1,1,3} （C）{27,1,3} （D）{27,1,3} 【答案】D

【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x23x，令x0，则x0，

2x3xx0∴fxx3xfx，∴f(x)=x3x，∴fx2，∵gxfxx3，

x3xx0222

2x4x3x0∴gx2，令gx0，当x0时，x24x30，解得x1，或x3，当x0时，

x4x3x0解得x27，∴函数gxfxx3的零点的集合为{27,1,3}，故选D． x24x30，

【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．

（10）【2014年湖北，文10，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现

存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该

1术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式vL2h.它实际上是将圆锥体积

362公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式vL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）

752225157355（A） （B） （C） （D）

7850113【答案】B

212182【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L2r，r2h2rh，所以2，即

37537525的近似值为，故选B．

8【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．

二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，．．．．．．．．．．．

模棱两可均不得分．

（11）【2014年湖北，文11，5分】甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽

取一个容量为80的样本进行质量检测． 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件． 【答案】1800

801【解析】∵样本容量为80，∴抽取的比例为，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产480060品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．

【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．

uuuruuuruuuruuuruuuruuur（12）【2014年湖北，文12，5分】若向量OA(1,3)，|OA||OB|，OAOB0，则|AB| ． 【答案】25 2uuuruuuruuuruuuruuuruuurx3x2y213【解析】设OBx,y，∵向量OA1,3，|OA||OB|，OAOB0，∴，解得y1 x3y0uuuruuuruuuruuuruuurx3或．∴OB3,1，3,1．∴ABOBOA2,4或4,2．∴|AB|224225． y1【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

π（13）【2014年湖北，文13，5分】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 已知A，a=1，b3，6则B = ． 2【答案】或

3313bsinAab23，【解析】∵在ABC中，A，a1，b3，∴由正弦定理得：sinB a126sinAsinB2∵ab，∴AB，∴B或．

33【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． （14）【2014年湖北，文14，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的

3

值为_________． 【答案】1067

【解析】由程序框图知：算法的功能是求S2122L2k12Lk的值，∵输入n的值为9，∴跳出循环21291992102451067． 的k值为10，∴输出S22L212L9122【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键． （15）【2014年湖北，文15，5分】如图所示，函数yf(x)的图象由两条射线和

三条线段组成．若xR，f(x)>f(x1)，则正实数a的取值范围为 ． 1【答案】0,

6129【解析】由已知可得：a0，且f4aa，f4aa，若xR，

114a2a1，解得a，故正实数a的取值范围为：0,． f(x)>f(x1)，则662a4a14a2a1【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出是解答的关键．

2a4a1（16）【2014年湖北，文16，5分】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经

过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、 平均

76000v车长l（单位：米）的值有关，其公式为F2．

v18v20l （1）如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为 辆/小时；

（2）如果限定车型，l5, 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时． 【答案】（1）1900；（2）100

12176000v76000，【解析】（1）∵v当v11时取最小值，∴F760001900， 212122，F220l20lvv18v20lv18vv18v故最大车流量为：1900辆/小时． （2）F10076000v76000v76000，∵v210020，∴F2000， vv218v20lv218v100v18100v2000﹣1900=100（辆/小时），故最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．

【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足． （17）【2014年湖北，文17，5分】已知圆O:x2y21和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数满足：

对圆O上任意一点M，都有|MB||MA|，则（1）b ；（2） ．

11【答案】（1）；（2）

2222【解析】（1）设Mx,y，则∵|MB||MA|，∴xby22x22y2，由题意，取1,0、1,0分

别代入可得1b212，1b212，∴b（2）由（1）知222211，． 221． 2【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （18）【2014年湖北，文18，12分】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函

ππ数关系：f(t)103costsint，t[0,24)

1212（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差．

4

13ππ2π2π解：（1）f(8)103cos(8)sin(8)103cossin103()10．

22121233 故实验室上午8时的温度为10 ℃．

3π1ππππππ7π（2）因为f(t)102(costsint)=102sin(t)， 又0t24，所以t，

21221212331233ππππππ1sin(t)1．当t2时，sin(t)1；当t14时，sin(t)1．于是f(t)在[0,24)

123123123上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．

【点评】本题主要考查函数yAsinx的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．

（19）【2014年湖北，文19，12分】已知等差数列{an}满足：a12，且a1,a2,a3成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不

存在，说明理由．

解：（1）设数列{an}的公差为d，依题意，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0， 2,2d,24d成等比数列，

解得d0或d4，当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列{an}的通项 公式为an2或an4n2．

（2）当an2时，Sn2n，显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得S60n800成立，

n[2(4n2)]当an4n2时，Sn2n2，令2n260n800，即n230n4000，

2解得n40或n10（舍去），此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41 综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41．

【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟

练记忆．

（20）【2014年湖北，文20，13分】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，

N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证： （1）直线BC1∥平面EFPQ； （2）直线AC1⊥平面PQMN．

解：（1）连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1

的中点，所以FP∥AD1．从而BC1∥FP．而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ．

（2）如图，连接AC，BD，则ACBD．由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得

CC1BD．又ACICC1C，所以BD平面ACC1．而AC1平面ACC1，所以

BDAC1．因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MNAC1．

同理可证PNAC1． 又PNIMNN，所以直线AC1⊥平面PQMN． 【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、

线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．

（21）【2014年湖北，文21，14分】π为圆周率，e2.71828L为自然对数的底数．

lnx（1）求函数f(x)的单调区间；

x（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．

lnx1lnx解：（1）函数f(x)的定义域为(0,)，因为f(x)，所以f(x)，当f(x)0，即0xe时，函

xx2数f(x)单调递增；当f(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,e)， 单调递减区间为(e,)． （2）因为e3，所以eln33ln,lneln3，即ln3elne,lneln3，于是根据函数ylnx,yex，

yx在定义域上单调递增，可得3ee3,e3e3，故这6个数的最大数在3与3之中，最小

5

数在3e与e3之中．由e3及（1）的结论，得f()f(3)f(e)，即由

lnln3lne． 3eln3ln3lne，得ln3ln3，所以33；由，得ln3elne3，所以3ee3． 33ee综上，6个数中最大数是3，最小数是3．

【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．

2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点： （1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．

（22）【2014年湖北，文22，14分】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1．记

点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点P(2,1)． 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共

点时k的相应取值范围．

解：（1）设点M(x,y)，依题意得|MF||x|1，即(x1)2y2|x|1，化简整理得y22(|x|x)， 4x,x0故点M的轨迹C的方程为y2．

0,x0（2）在点M的轨迹C中，记C1:y24x,C2:y0(x0)，依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)，

y1k(x2)由方程组2，可得ky24y4(2k1)0 ①

y4x11）当k0时，此时y1，把y1代入轨迹C的方程，得x，

41故此时直线l:y1与轨迹C恰好有一个公共点(,1)

422）当k0时，方程①的判别式为16(2kk1) ②

ln设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x02k1 ③ k011（ⅰ）若由②③解得k1，或k，即当k(,1)(,)时，直线l与C1没有公共

22x00点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 00111（ⅱ）若或，由②③解得k{1,}，或k0，即当k{1,}时，直线l与C1

222x00x001只有一个公共点，与C2有一个公共点，当k[,0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没

211有公共点，故当k[,0)U{1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．

2201111（ⅲ）若由②③解得1k，或0k，即当k(1,)(0,)时，直线l与C1有

2222x00两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点． 1综合1）2）可知，当k(,1)(,){0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；

21111当k[,0)U{1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k(1,)U(0,)时，直线l与轨迹C

2222恰好有三个公共点．

【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确

分类，是中档题．

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