导数与函数的单调性练习题

基础巩固题：

1.函数f(x)=

ax1在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ） x2111 > >-2

2222

2．已知函数f(x)＝x＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )

A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4 9

3．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．

x4 函数yxx的单调增区间为 ，单调减区间为___________________

323

5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x－9x+24x (2)y=3x－x

23

6．函数y＝ln(x－x－2)的单调递减区间为__________．

132

7．已知y＝x＋bx＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

38.已知x∈R,求证：e≥x+1．

329．已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．

11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

13．已知函数 f(x)4xax范围．

232

x122

23x(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值3

3214.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f(1)）处的切线方程6xy70，（1）求函数yf(x)的解析式；（2）求函数yf(x)的单调区间。

2x－b15．已知函数f(x)＝2，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间．

(x－1)

强化提高题：

16．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)

17．若函数y＝x－ax＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． 18．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

.

19．函数y＝xe的单调递增区间是________．

3220 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是_______________

43

21．若函数y=－x+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．

3

22.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2

在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

32

2－x

23．设函数f(x)＝x－3ax＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．

3

2

1124．若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)32上为增函数，试求实数a的取值范围．

25.设函数f(x)=x+

a(a>0).(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数xf(x)在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.

26．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax＋bx＋5的单调区间．

bx32

exax是R上的偶函数，27 设a0,f(x)（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，+）ae上是增函数。

1

28．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.

2

22

29已知f(x)=x+c,且f［f(x)］=f(x+1)

(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在

(－1，0)内是增函数.

课外延伸题：

30．方程x－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根

3

31．若函数f(x)＝x－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

32.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.

33.已知函数f(x)=(

3

xn22

-1)+(-1)的定义域为［m,n)且1≤m（2）证明：对任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

高考链接题：

34．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) 35．(2010·新课标全国文)设函数f(x)＝x(e－1)－ax.

1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

x2

x D．(2，＋∞)

ex36.（2009江西）设函数f(x)

x（1） （2）

求函数f(x)的单调区间；

若k0，求不等式f(x)k(1x)f(x)0的解集．

'

;'导数与函数的单调性

基础巩固题：

1.函数f(x)=

ax1在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ） x2111 > >-2

22212a1答案：C 解析：∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>.

2x22

2．已知函数f(x)＝x＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )

A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4

答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调， ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x＋2x＋a≥0或2x＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立， 所以a≥－(2x2

2

2

2

2

ax＋2x)或a≤－(2x＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x＋2x),09

3．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．

xx2－9

答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f′(x)＝1－2＝2，令f′(x)<0，解得－3xx9

或04 函数yxx的单调增区间为 ，单调减区间为___________________

23答案：(0,) ； (,0),(,) 解析： y3x2x0,x0,或x5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x－9x+24x (2)y=3x－x

322

(1)解：y′=(x－9x+24x)′=3x－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.

32

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4

32

.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)

322

(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.

3

∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).

令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.

3

∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2

6．函数y＝ln(x－x－2)的单调递减区间为__________．

3

2

3

2323'22 3[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y＝ln(x－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，12

－1)，令f(x)＝x－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，

2

∴函数y＝ln(x－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)

132

7．已知y＝x＋bx＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

3

[答案] b<－1或b>2 [解析] 若y′＝x＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.

8.已知x∈R,求证：e≥x+1．

xx证明:设f（x）=e－x－1,则f′（x）=e－1．

∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．

当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0． 当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．

x2

2

2

2

1，试讨论出此函数的单调区间. xx21(x1)(x1)(x1)(x1)1－2

解：y′=(x+)′=1－1·x= 令＞0. 222xxxx(x1)(x1)1解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令

xx21＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

x9．已知函数y=x+

10．已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以f(x)x3bx2cx2, f(x)3x22bxc. 由

在

M(-1,f(-1))

处

的

切

线

方

程

是

6xy7032， 知

6f(1)70,即f(1)1,f(1)6. 32bc6,2bc3,即1bc21.bc0, 解得bc3.故所求的解析式是 f(x)x33x23x2. （Ⅱ）f(x)3x26x3.令3x26x30,

即x22x10. 解得 x112,x212.

当x12,或x12时,f(x)0; 当12x12时,f(x)0.

故f(x)在(,12)内是增函数，在(12,12)内是减函数，在(12,)内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围; 解 （1）f(x)=3x-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f(x)≥0.即3x-x+b≥0,

2

2

3

122

∴b≥x-3x在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x.当x=时，g(x)max=

22

1611,∴b≥. 121212.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

322

解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x+ax∴f(x)=3x-2(a+1)x+a要使函数

f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需f(x)=3x-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足

f(x)≥0即可.

2

∵f(x)=3x-2(a+1)x+a的对称轴是x=

2

a1,3

a1a122883∴a的取值应满足：3或解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.

33f(2)0f(a1)0313．已知函数 f(x)4xax范围．

'2223x(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值3'解：f(x)42ax2x，因为fx在区间1,1上是增函数，所以f(x)0对

x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1

所以实数a的取值范围为1,1．

点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

14.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f(1)）处的切线方程6xy70，（1）求函数yf(x)的解析式；（2）求函数yf(x)的单调区间。

解：（1）由f(x)的图象经过P（0，2），知d2，所以f(x)xbxcx2，

3232''f(x)3x22bxc 由在点M（1,f(1)）处的切线方程为6xy70

32bc6∴ f(1)1,f(1)6 即 ∴  解得bc3

1bc2132故所求的解析式是f(x)x3x3x2

22（2）f(x)3x6x3 令3x6x30，解得x112,x212

当x12或x1322时，f(x)0

2)内是增函数，在(12,12)内是减函数

当12x12时，f(x)0 故f(x)x3x2在(,1在(12,)内是增函数

点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

2x－b15．已知函数f(x)＝2，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间．

(x－1)

2

2(x－1)－(2x－b)·2(x－1)

解析：f ′(x)＝＝ 4

(x－1)

－2x＋2b－22[x－(b－1)]

＝－ 33(x－1)(x－1)

令f ′(x)＝0，得x＝b－1且x≠1.

当b－1＜1，即b＜2时，f ′(x)的变化情况如下表：

(－∞，b－1) b－1 (b－1,1) (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ － 当b－1＞1，即b＞2时，f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) (1，b－1) b－1 (b－1，＋∞) f ′(x) － ＋ 0 － 所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

当b＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．

2

当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，

x－1

＋∞)上单调递减．

x 强化提高题：

16．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)

答案：C解析：令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，所以y在R上单调递减，又xf(b)g(b)．

17．若函数y＝x－ax＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案] [3，＋∞)[解析] y′＝3x－2ax，由题意知3x－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，

3

即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.

2

18．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

1＋lnx[答案] a≥1[解析] 由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．

2

2

3

2

x1＋lnxlnx1＋lnx设g(x)＝，则g′(x)＝－2＜0 (x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)

xxx内单调递减，∴g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， ∴∴a≥1.

1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，

19．函数y＝xe的单调递增区间是________．

2－x答案：(0,2)解析：y′＝(2x－x)e＞0⇔0＜x＜2，故选填(0,2)．

20 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是_______________

2－x32答案：a0,且b3ac 解析： f(x)3ax2bxc0恒成立，则

2'2a0,a0,且b23ac 24b12ac043

x+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________． 32

答案：b>0 解析： y′=－4x+b，若y′值有正、有负，则b>0． 22.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2

在［b,a］上的单调性并证明你的结论.

解析：设b≤x1-x2≥-a.

∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴022

则f(x2)32

23．设函数f(x)＝x－3ax＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． 21．若函数y=－

(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性． [解析] (1)求导得f′(x)＝3x－6ax＋3b.

由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，

1－3a＋3b＝－11即

3－6a＋3b＝－12

2

，解得a＝1，b＝－3.

2

2

(2)由a＝1，b＝－3 得f′(x)＝3x－6ax＋3b＝3(x－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．

1124．若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)32上为增函数，试求实数a的取值范围．

解：f(x)x2axa1(x1)[x(a1)]， 令f(x)0得x1或xa1，

∴当x(1,4)时，f(x)0，当x(6,)时，f(x)0， ∴4a16，∴5a7．

25.设函数f(x)=x+

a(a>0).(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数xf(x)在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.

解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a,+∞］，减区间为（0，a）.

a,当x∈［a,+∞］时， x2∴f′(x)>0,当x∈（0，a）时，f′(x)<0.

证明：∵f′(x)=1-即f(x)在［a+∞］上单调递增，在（0，a）上单调递减.（或者用定义证）

a，+∞］的子区间，所以a-2≥aa-a-2≥

0(a+1)( a-2)≥0a-2≥0a≥4.

（2）［a-2,+∞］为［

26．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax＋bx＋5的单

bx32

调区间．

解析： 可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax＋bx＋5的单调区间．

[解] ∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0. 由y＝ax＋bx＋5得y′＝3ax＋2bx. 2b2

令y′＞0，得3ax＋2bx＞0，∴－＜x＜0.

3a3

2

2

3

2

bxbx2b∴当x∈－，0时，函数为增函数． 3a

令y′＜0，即3ax＋2bx＜0， 2b∴x＜－，或x＞0.

3a2b∴在－∞，－，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 3a

2

exa是R上的偶函数，27 设a0,f(x)（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，+）aex上是增函数。

exa1xxaex 解：（1）依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，即aeae1x11x1即(a)(ex)0，所以对一切xR,(a)(ex)0恒成立

aaee112x由于ex不恒为0，所以a0，即a1，又因为a0，所以a1

aexxxxx2x（2）证明：由f(x)ee，得f(x)eee(e1)

x2x当x(0,)时，有e(e1)0，此时f(x)0 ，所以f(x)在（0，+）内

是增函数

1

28．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.

2

1

[证明] 设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，

21

则f′(x)＝1－cosx＞0，

2

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 而当x＝0时，f(x)＝0，

1

∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.

229已知f(x)=x+c,且f［f(x)］=f(x+1)

2

2

(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在

(－1，0)内是增函数.

222

解：(1)由题意得f［f(x)］=f(x+c)=(x+c)+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)

2222

∴(x+c)+c=(x+1)+c, 22

∴x+c=x+1,∴c=1

2222

∴f(x)=x+1,g(x)=f［f(x)］=f(x+1)=(x+1)+1

42

(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x+(2－λ)x+(2－λ)

3

若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x+2(2－λ)x ∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x＜－1时，φ′(x)＜0

3

即4x+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立

2

∴2(2－λ)＞－4x,

2

∵x＜－1,∴－4x＜－4

∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4

又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0

2

即4x+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立

2

∴2(2－λ)＜－4x,

2

∵－1＜x＜0,∴－4＜4x＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4

故当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的

λ存在.

课外延伸题：

30．方程x－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根

322

答案：1 解析．设f（x）=x－3x+c，则f（x）=3x－3=3（x－1）． 当x∈（0，1）时，f（x）<0恒成立． ∴f（x）在（0，1）上单调递减．

∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．

3

因此方程x－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．

3

31．若函数f(x)＝x－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案：－2∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，

f(－1)>0∴

f(1)<0

2

3

，∴－232.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；（2）求f(x)的最大值.

解析：(1)对于条件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0. (2)设0≤x1∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.

即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.

33.已知函数f(x)=(

xn22

-1)+(-1)的定义域为［m,n)且1≤m（2）证明：对任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

x2n22x2nxn22

（1）解析：解法一：∵f(x)=(-1)+(-1)=22+2, mxmxmx∴ f

′

2x2n222n22422322

(x)=23223·(x-mn-mx+mnx)=23(x-mx+mn)(x+mn)(x-mxmxmxmxmn).

22

∵1≤m≤x0,x-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn>0.

mx令f′(x)=0,得x=mn，

①当x∈［m,mn］时，f′(x)<0; ②当x∈［mn，n］时，f′(x)>0.

∴f(x)在［m,mn］内为减函数，在［mn，n）为内增函数. 解法二：由题设可得

xn2n-1）2-+1.

mmxxn令t=.

mxf(x)=（

∵1≤mxnn≥2,>2. mxm1n令t′=2=0,得x=mn.

mx∴t=

当x∈［m,mn］,t′<0;当x∈(mn,n)时，t′>0.∴t=

2

是减函数，在［mn，n］内是增函数.∵函数y=(t-1)-

xn在［m,mn］内mx2n+1在［1，+∞］上是增函数，m∴函数f(x)在［m, mn］内是减函数，在［mn，n］内是增函数.

（2）证明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的最小值为f(mn)=2(为f(m)=(

n2

-1),最大值mn2

-1). mnn2nnn22

-1)-2(-1)=()-4·+4-1.mmmmm对任意x1、x2∈［m,n］,|f(x1)-f(x2)|≤(令u=

n42

,h(u)=u-4u+4u-1. mnm≤2,即

1∵1≤m2.∵h′

(u)=4u-8u+4=4(u-1)(u-

5151)(u+)>0, 22∴h(u)在(1,2)上是增函数.∴h(u)≤h(2)=4-8+42-1=42-5<1.

3

∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

高考链接题：

34．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( )

A．(－∞，2)

D．(2，＋∞)

[答案] D [解析] 考查导数的简单应用．

B．(0,3) C．(1,4)

xf′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

35．(2010·新课标全国文)设函数f(x)＝x(e－1)－ax.

1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围． 112x[解析] (1)a＝时，f(x)＝x(e－1)－x，

22

x2

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，

f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e－1－ax)．

令g(x)＝e－1－ax，则g′(x)＝e－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(－∞，1]．

xxxex36.（2009江西）设函数f(x)

x（3） （4）

求函数f(x)的单调区间；

若k0，求不等式f(x)k(1x)f(x)0的解集．

解： (1) f(x)'1x1xx1x'f(x)0,得 x1 eee, 由22xxx'''因为 当x0时,f(x)0； 当0x1时,f(x)0； 当x1时,f(x)0；

(0,1]. 所以f(x)的单调增区间是:[1,)； 单调减区间是: (,0)，'x1kxkx2x(x1)(kx1)xe(2) 由 f(x)k(1x)f(x)e0, 22xx得：(x1)(kx1)0.

1故：当 0k1时, 解集是：{x1x}；

k当 k1时，解集是： ；

1当 k1时, 解集是：{xx1}

k'