基础巩固题:
1.函数f(x)=
ax1在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为( ) x2111 > >-2 2222 2.已知函数f(x)=x+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( ) A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0或a≤-4 D.a>0或a<-4 9 3.函数f(x)=x+的单调区间为________. x4 函数yxx的单调增区间为 ,单调减区间为___________________ 323 5.确定下列函数的单调区间:(1)y=x-9x+24x (2)y=3x-x 23 6.函数y=ln(x-x-2)的单调递减区间为__________. 132 7.已知y=x+bx+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________. 38.已知x∈R,求证:e≥x+1. 329.已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6xy70.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围. 13.已知函数 f(x)4xax范围. 232 x122 23x(xR)在区间1,1上是增函数,求实数a的取值3 3214.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(1))处的切线方程6xy70,(1)求函数yf(x)的解析式;(2)求函数yf(x)的单调区间。 2x-b15.已知函数f(x)=2,求导函数f ′(x),并确定f(x)的单调区间. (x-1) 强化提高题: 16.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a 17.若函数y=x-ax+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. 18.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________. . 19.函数y=xe的单调递增区间是________. 3220 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数,则a,b,c的关系式为是_______________ 43 21.若函数y=-x+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________. 3 22.定义在R上的奇函数f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=[f(x)]2 在[b,a]上的单调性并证明你的结论. 32 2-x 23.设函数f(x)=x-3ax+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性. 3 2 1124.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)32上为增函数,试求实数a的取值范围. 25.设函数f(x)=x+ a(a>0).(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之;(2)若函数xf(x)在[a-2,+∞]上递增,求a的取值范围. 26.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax+bx+5的单调区间. bx32 exax是R上的偶函数,27 设a0,f(x)(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)ae上是增函数。 1 28.求证:方程x-sinx=0只有一个根x=0. 2 22 29已知f(x)=x+c,且f[f(x)]=f(x+1) (1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式; (2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在 (-1,0)内是增函数. 课外延伸题: 30.方程x-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根 3 31.若函数f(x)=x-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 32.(2010湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的最大值. 33.已知函数f(x)=( 3 xn22 -1)+(-1)的定义域为[m,n)且1≤m 高考链接题: 34.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) 35.(2010·新课标全国文)设函数f(x)=x(e-1)-ax. 1 (1)若a=,求f(x)的单调区间; 2 (2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. x2 x D.(2,+∞) ex36.(2009江西)设函数f(x) x(1) (2) 求函数f(x)的单调区间; 若k0,求不等式f(x)k(1x)f(x)0的解集. ' ;'导数与函数的单调性 基础巩固题: 1.函数f(x)= ax1在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为( ) x2111 > >-2 22212a1答案:C 解析:∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>. 2x22 2.已知函数f(x)=x+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( ) A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0或a≤-4 D.a>0或a<-4 答案:C解析:∵f′(x)=2x+2+,f(x)在(0,1)上单调, ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立,即2x+2x+a≥0或2x+2x+a≤0在(0,1)上恒成立, 所以a≥-(2x2 2 2 2 2 ax+2x)或a≤-(2x+2x)在(0,1)上恒成立.记g(x)=-(2x+2x),0 3.函数f(x)=x+的单调区间为________. xx2-9 答案:(-3,0),(0,3) 解析:f′(x)=1-2=2,令f′(x)<0,解得-3 或0 23答案:(0,) ; (,0),(,) 解析: y3x2x0,x0,或x5.确定下列函数的单调区间:(1)y=x-9x+24x (2)y=3x-x 322 (1)解:y′=(x-9x+24x)′=3x-18x+24=3(x-2)(x-4) 令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2. 32 ∴y=x-9x+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4 32 .∴y=x-9x+24x的单调减区间是(2,4) 322 (2)解:y′=(3x-x)′=3-3x=-3(x-1)=-3(x+1)(x-1) 令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1. 3 ∴y=3x-x的单调增区间是(-1,1). 令-3(x+1)(x-1)<0,解得x>1或x<-1. 3 ∴y=3x-x的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞) 2 6.函数y=ln(x-x-2)的单调递减区间为__________. 3 2 3 2323'22 3[答案] (-∞,-1) [解析] 函数y=ln(x-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,12 -1),令f(x)=x-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<, 2 ∴函数y=ln(x-x-2)的单调减区间为(-∞,-1) 132 7.已知y=x+bx+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________. 3 [答案] b<-1或b>2 [解析] 若y′=x+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2. 8.已知x∈R,求证:e≥x+1. xx证明:设f(x)=e-x-1,则f′(x)=e-1. ∴当x=0时,f′(x)=0,f(x)=0. 当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0. 当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0. x2 2 2 2 1,试讨论出此函数的单调区间. xx21(x1)(x1)(x1)(x1)1-2 解:y′=(x+)′=1-1·x= 令>0. 222xxxx(x1)(x1)1解得x>1或x<-1.∴y=x+的单调增区间;是(-∞,-1)和(1,+∞).令 xx21<0,解得-1<x<0或0<x<1. ∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x9.已知函数y=x+ 10.已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6xy70.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以f(x)x3bx2cx2, f(x)3x22bxc. 由 在 M(-1,f(-1)) 处 的 切 线 方 程 是 6xy7032, 知 6f(1)70,即f(1)1,f(1)6. 32bc6,2bc3,即1bc21.bc0, 解得bc3.故所求的解析式是 f(x)x33x23x2. (Ⅱ)f(x)3x26x3.令3x26x30, 即x22x10. 解得 x112,x212. 当x12,或x12时,f(x)0; 当12x12时,f(x)0. 故f(x)在(,12)内是增函数,在(12,12)内是减函数,在(12,)内是增函数. 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; 解 (1)f(x)=3x-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则f(x)≥0.即3x-x+b≥0, 2 2 3 122 ∴b≥x-3x在(-∞,+∞)恒成立.设g(x)=x-3x.当x=时,g(x)max= 22 1611,∴b≥. 121212.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围. 322 解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x+ax∴f(x)=3x-2(a+1)x+a要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需f(x)=3x-2(a+1)x+a在(2,+∞)上满足 f(x)≥0即可. 2 ∵f(x)=3x-2(a+1)x+a的对称轴是x= 2 a1,3 a1a122883∴a的取值应满足:3或解得:a≤.∴a的取值范围是a≤. 33f(2)0f(a1)0313.已知函数 f(x)4xax范围. '2223x(xR)在区间1,1上是增函数,求实数a的取值3'解:f(x)42ax2x,因为fx在区间1,1上是增函数,所以f(x)0对 x1,1恒成立,即x2ax20对x1,1恒成立,解之得:1a1 所以实数a的取值范围为1,1. 点拨:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 14.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(1))处的切线方程6xy70,(1)求函数yf(x)的解析式;(2)求函数yf(x)的单调区间。 解:(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d2,所以f(x)xbxcx2, 3232''f(x)3x22bxc 由在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70 32bc6∴ f(1)1,f(1)6 即 ∴ 解得bc3 1bc2132故所求的解析式是f(x)x3x3x2 22(2)f(x)3x6x3 令3x6x30,解得x112,x212 当x12或x1322时,f(x)0 2)内是增函数,在(12,12)内是减函数 当12x12时,f(x)0 故f(x)x3x2在(,1在(12,)内是增函数 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 2x-b15.已知函数f(x)=2,求导函数f ′(x),并确定f(x)的单调区间. (x-1) 2 2(x-1)-(2x-b)·2(x-1) 解析:f ′(x)== 4 (x-1) -2x+2b-22[x-(b-1)] =- 33(x-1)(x-1) 令f ′(x)=0,得x=b-1且x≠1. 当b-1<1,即b<2时,f ′(x)的变化情况如下表: (-∞,b-1) b-1 (b-1,1) (1,+∞) f ′(x) - 0 + - 当b-1>1,即b>2时,f ′(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) f ′(x) - + 0 - 所以,当b<2时,函数f(x)在(-∞,b-1)上单调递减,在(b-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 当b>2时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,b-1)上单调递增,在(b-1,+∞)上单调递减. 2 当b-1=1,即b=2时,f(x)=,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1, x-1 +∞)上单调递减. x 强化提高题: 16.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a 答案:C解析:令y=f(x)·g(x),则y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x),由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,所以y在R上单调递减,又xf(b)g(b). 17.若函数y=x-ax+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. [答案] [3,+∞)[解析] y′=3x-2ax,由题意知3x-2ax<0在区间(0,2)内恒成立, 3 即a>x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 18.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________. 1+lnx[答案] a≥1[解析] 由已知a>在区间(1,+∞)内恒成立. 2 2 3 2 x1+lnxlnx1+lnx设g(x)=,则g′(x)=-2<0 (x>1),∴g(x)=在区间(1,+∞) xxx内单调递减,∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴∴a≥1. 1+lnxx<1在区间(1,+∞)内恒成立, 19.函数y=xe的单调递增区间是________. 2-x答案:(0,2)解析:y′=(2x-x)e>0⇔0<x<2,故选填(0,2). 20 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数,则a,b,c的关系式为是_______________ 2-x32答案:a0,且b3ac 解析: f(x)3ax2bxc0恒成立,则 2'2a0,a0,且b23ac 24b12ac043 x+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________. 32 答案:b>0 解析: y′=-4x+b,若y′值有正、有负,则b>0. 22.定义在R上的奇函数f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=[f(x)]2 在[b,a]上的单调性并证明你的结论. 解析:设b≤x1 ∵f(x)在[-a,-b]上是减函数,∴0 则f(x2) 23.设函数f(x)=x-3ax+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). 21.若函数y=- (1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性. [解析] (1)求导得f′(x)=3x-6ax+3b. 由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12, 1-3a+3b=-11即 3-6a+3b=-12 2 ,解得a=1,b=-3. 2 2 (2)由a=1,b=-3 得f′(x)=3x-6ax+3b=3(x-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1 1124.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)32上为增函数,试求实数a的取值范围. 解:f(x)x2axa1(x1)[x(a1)], 令f(x)0得x1或xa1, ∴当x(1,4)时,f(x)0,当x(6,)时,f(x)0, ∴4a16,∴5a7. 25.设函数f(x)=x+ a(a>0).(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之;(2)若函数xf(x)在[a-2,+∞]上递增,求a的取值范围. 解析:(1)f(x)在(0,+∞)上的增区间为[a,+∞],减区间为(0,a). a,当x∈[a,+∞]时, x2∴f′(x)>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0. 证明:∵f′(x)=1-即f(x)在[a+∞]上单调递增,在(0,a)上单调递减.(或者用定义证) a,+∞]的子区间,所以a-2≥aa-a-2≥ 0(a+1)( a-2)≥0a-2≥0a≥4. (2)[a-2,+∞]为[ 26.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax+bx+5的单 bx32 调区间. 解析: 可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定y=ax+bx+5的单调区间. [解] ∵函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0. 由y=ax+bx+5得y′=3ax+2bx. 2b2 令y′>0,得3ax+2bx>0,∴-<x<0. 3a3 2 2 3 2 bxbx2b∴当x∈-,0时,函数为增函数. 3a 令y′<0,即3ax+2bx<0, 2b∴x<-,或x>0. 3a2b∴在-∞,-,(0,+∞)上时,函数为减函数. 3a 2 exa是R上的偶函数,27 设a0,f(x)(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)aex上是增函数。 exa1xxaex 解:(1)依题意,对一切xR,有f(x)f(x),即aeae1x11x1即(a)(ex)0,所以对一切xR,(a)(ex)0恒成立 aaee112x由于ex不恒为0,所以a0,即a1,又因为a0,所以a1 aexxxxx2x(2)证明:由f(x)ee,得f(x)eee(e1) x2x当x(0,)时,有e(e1)0,此时f(x)0 ,所以f(x)在(0,+)内 是增函数 1 28.求证:方程x-sinx=0只有一个根x=0. 2 1 [证明] 设f(x)=x-sinx,x∈(-∞,+∞), 21 则f′(x)=1-cosx>0, 2 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当x=0时,f(x)=0, 1 ∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0. 229已知f(x)=x+c,且f[f(x)]=f(x+1) 2 2 (1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式; (2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在 (-1,0)内是增函数. 222 解:(1)由题意得f[f(x)]=f(x+c)=(x+c)+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1) 2222 ∴(x+c)+c=(x+1)+c, 22 ∴x+c=x+1,∴c=1 2222 ∴f(x)=x+1,g(x)=f[f(x)]=f(x+1)=(x+1)+1 42 (2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x+(2-λ)x+(2-λ) 3 若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x+2(2-λ)x ∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数, ∴当x<-1时,φ′(x)<0 3 即4x+2(2-λ)x<0对于x∈(-∞,-1)恒成立 2 ∴2(2-λ)>-4x, 2 ∵x<-1,∴-4x<-4 ∴2(2-λ)≥-4,解得λ≤4 又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数 ∴当-1<x<0时,φ′(x)>0 2 即4x+2(2-λ)x>0对于x∈(-1,0)恒成立 2 ∴2(2-λ)<-4x, 2 ∵-1<x<0,∴-4<4x<0 ∴2(2-λ)≤-4,解得λ≥4 故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的 λ存在. 课外延伸题: 30.方程x-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根 322 答案:1 解析.设f(x)=x-3x+c,则f(x)=3x-3=3(x-1). 当x∈(0,1)时,f(x)<0恒成立. ∴f(x)在(0,1)上单调递减. ∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点. 3 因此方程x-3x+c=0在[0,1)上至多有一实根. 3 31.若函数f(x)=x-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 答案:-2∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减, f(-1)>0∴ f(1)<0 2 3
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