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导数与函数的单调性练习题

来源:华佗小知识
导数练习(三)导数与函数的单调性

基础巩固题:

1.函数f(x)=

ax1在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为( ) x2111 > >-2

2222

2.已知函数f(x)=x+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( )

A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0或a≤-4 D.a>0或a<-4 9

3.函数f(x)=x+的单调区间为________.

x4 函数yxx的单调增区间为 ,单调减区间为___________________

323

5.确定下列函数的单调区间:(1)y=x-9x+24x (2)y=3x-x

23

6.函数y=ln(x-x-2)的单调递减区间为__________.

132

7.已知y=x+bx+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.

38.已知x∈R,求证:e≥x+1.

329.已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6xy70.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间.

11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;

12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围.

13.已知函数 f(x)4xax范围.

232

x122

23x(xR)在区间1,1上是增函数,求实数a的取值3

3214.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(1))处的切线方程6xy70,(1)求函数yf(x)的解析式;(2)求函数yf(x)的单调区间。

2x-b15.已知函数f(x)=2,求导函数f ′(x),并确定f(x)的单调区间.

(x-1)

强化提高题:

16.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当aA.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

17.若函数y=x-ax+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. 18.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.

.

19.函数y=xe的单调递增区间是________.

3220 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数,则a,b,c的关系式为是_______________

43

21.若函数y=-x+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________.

3

22.定义在R上的奇函数f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=[f(x)]2

在[b,a]上的单调性并证明你的结论.

32

2-x

23.设函数f(x)=x-3ax+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).

(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.

3

2

1124.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)32上为增函数,试求实数a的取值范围.

25.设函数f(x)=x+

a(a>0).(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之;(2)若函数xf(x)在[a-2,+∞]上递增,求a的取值范围.

26.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax+bx+5的单调区间.

bx32

exax是R上的偶函数,27 设a0,f(x)(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)ae上是增函数。

1

28.求证:方程x-sinx=0只有一个根x=0.

2

22

29已知f(x)=x+c,且f[f(x)]=f(x+1)

(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;

(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在

(-1,0)内是增函数.

课外延伸题:

30.方程x-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根

3

31.若函数f(x)=x-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.

32.(2010湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的最大值.

33.已知函数f(x)=(

3

xn22

-1)+(-1)的定义域为[m,n)且1≤m(2)证明:对任意x1、x2∈[m,n],不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

高考链接题:

34.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是( )

A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) 35.(2010·新课标全国文)设函数f(x)=x(e-1)-ax.

1

(1)若a=,求f(x)的单调区间;

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.

x2

x D.(2,+∞)

ex36.(2009江西)设函数f(x)

x(1) (2)

求函数f(x)的单调区间;

若k0,求不等式f(x)k(1x)f(x)0的解集.

'

;'导数与函数的单调性

基础巩固题:

1.函数f(x)=

ax1在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a的取值范围为( ) x2111 > >-2

22212a1答案:C 解析:∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>.

2x22

2.已知函数f(x)=x+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是( )

A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0或a≤-4 D.a>0或a<-4

答案:C解析:∵f′(x)=2x+2+,f(x)在(0,1)上单调, ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立,即2x+2x+a≥0或2x+2x+a≤0在(0,1)上恒成立, 所以a≥-(2x2

2

2

2

2

ax+2x)或a≤-(2x+2x)在(0,1)上恒成立.记g(x)=-(2x+2x),09

3.函数f(x)=x+的单调区间为________.

xx2-9

答案:(-3,0),(0,3) 解析:f′(x)=1-2=2,令f′(x)<0,解得-3xx9

或04 函数yxx的单调增区间为 ,单调减区间为___________________

23答案:(0,) ; (,0),(,) 解析: y3x2x0,x0,或x5.确定下列函数的单调区间:(1)y=x-9x+24x (2)y=3x-x

322

(1)解:y′=(x-9x+24x)′=3x-18x+24=3(x-2)(x-4) 令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.

32

∴y=x-9x+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令3(x-2)(x-4)<0,解得2<x<4

32

.∴y=x-9x+24x的单调减区间是(2,4)

322

(2)解:y′=(3x-x)′=3-3x=-3(x-1)=-3(x+1)(x-1) 令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1.

3

∴y=3x-x的单调增区间是(-1,1).

令-3(x+1)(x-1)<0,解得x>1或x<-1.

3

∴y=3x-x的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞)

2

6.函数y=ln(x-x-2)的单调递减区间为__________.

3

2

3

2323'22 3[答案] (-∞,-1) [解析] 函数y=ln(x-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,12

-1),令f(x)=x-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<,

2

∴函数y=ln(x-x-2)的单调减区间为(-∞,-1)

132

7.已知y=x+bx+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.

3

[答案] b<-1或b>2 [解析] 若y′=x+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2.

8.已知x∈R,求证:e≥x+1.

xx证明:设f(x)=e-x-1,则f′(x)=e-1.

∴当x=0时,f′(x)=0,f(x)=0.

当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0. 当x<0时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0.

x2

2

2

2

1,试讨论出此函数的单调区间. xx21(x1)(x1)(x1)(x1)1-2

解:y′=(x+)′=1-1·x= 令>0. 222xxxx(x1)(x1)1解得x>1或x<-1.∴y=x+的单调增区间;是(-∞,-1)和(1,+∞).令

xx21<0,解得-1<x<0或0<x<1. ∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1)

x9.已知函数y=x+

10.已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6xy70.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以f(x)x3bx2cx2, f(x)3x22bxc. 由

M(-1,f(-1))

线

6xy7032, 知

6f(1)70,即f(1)1,f(1)6. 32bc6,2bc3,即1bc21.bc0, 解得bc3.故所求的解析式是 f(x)x33x23x2. (Ⅱ)f(x)3x26x3.令3x26x30,

即x22x10. 解得 x112,x212.

当x12,或x12时,f(x)0; 当12x12时,f(x)0.

故f(x)在(,12)内是增函数,在(12,12)内是减函数,在(12,)内是增函数. 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

11.已知函数f(x)=x-x+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围; 解 (1)f(x)=3x-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则f(x)≥0.即3x-x+b≥0,

2

2

3

122

∴b≥x-3x在(-∞,+∞)恒成立.设g(x)=x-3x.当x=时,g(x)max=

22

1611,∴b≥. 121212.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a的取值范围.

322

解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x+ax∴f(x)=3x-2(a+1)x+a要使函数

f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需f(x)=3x-2(a+1)x+a在(2,+∞)上满足

f(x)≥0即可.

2

∵f(x)=3x-2(a+1)x+a的对称轴是x=

2

a1,3

a1a122883∴a的取值应满足:3或解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.

33f(2)0f(a1)0313.已知函数 f(x)4xax范围.

'2223x(xR)在区间1,1上是增函数,求实数a的取值3'解:f(x)42ax2x,因为fx在区间1,1上是增函数,所以f(x)0对

x1,1恒成立,即x2ax20对x1,1恒成立,解之得:1a1

所以实数a的取值范围为1,1.

点拨:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

14.已知函数f(x)xbxaxd的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(1))处的切线方程6xy70,(1)求函数yf(x)的解析式;(2)求函数yf(x)的单调区间。

解:(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d2,所以f(x)xbxcx2,

3232''f(x)3x22bxc 由在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70

32bc6∴ f(1)1,f(1)6 即 ∴  解得bc3

1bc2132故所求的解析式是f(x)x3x3x2

22(2)f(x)3x6x3 令3x6x30,解得x112,x212

当x12或x1322时,f(x)0

2)内是增函数,在(12,12)内是减函数

当12x12时,f(x)0 故f(x)x3x2在(,1在(12,)内是增函数

点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

2x-b15.已知函数f(x)=2,求导函数f ′(x),并确定f(x)的单调区间.

(x-1)

2

2(x-1)-(2x-b)·2(x-1)

解析:f ′(x)== 4

(x-1)

-2x+2b-22[x-(b-1)]

=- 33(x-1)(x-1)

令f ′(x)=0,得x=b-1且x≠1.

当b-1<1,即b<2时,f ′(x)的变化情况如下表:

(-∞,b-1) b-1 (b-1,1) (1,+∞) f ′(x) - 0 + - 当b-1>1,即b>2时,f ′(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) f ′(x) - + 0 - 所以,当b<2时,函数f(x)在(-∞,b-1)上单调递减,在(b-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

当b>2时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,b-1)上单调递增,在(b-1,+∞)上单调递减.

2

当b-1=1,即b=2时,f(x)=,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,

x-1

+∞)上单调递减.

x 强化提高题:

16.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

答案:C解析:令y=f(x)·g(x),则y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x),由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,所以y在R上单调递减,又xf(b)g(b).

17.若函数y=x-ax+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.

[答案] [3,+∞)[解析] y′=3x-2ax,由题意知3x-2ax<0在区间(0,2)内恒成立,

3

即a>x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.

2

18.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.

1+lnx[答案] a≥1[解析] 由已知a>在区间(1,+∞)内恒成立.

2

2

3

2

x1+lnxlnx1+lnx设g(x)=,则g′(x)=-2<0 (x>1),∴g(x)=在区间(1,+∞)

xxx内单调递减,∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴∴a≥1.

1+lnxx<1在区间(1,+∞)内恒成立,

19.函数y=xe的单调递增区间是________.

2-x答案:(0,2)解析:y′=(2x-x)e>0⇔0<x<2,故选填(0,2).

20 若f(x)axbxcxd(a0)在R增函数,则a,b,c的关系式为是_______________

2-x32答案:a0,且b3ac 解析: f(x)3ax2bxc0恒成立,则

2'2a0,a0,且b23ac 24b12ac043

x+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________. 32

答案:b>0 解析: y′=-4x+b,若y′值有正、有负,则b>0. 22.定义在R上的奇函数f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F(x)=[f(x)]2

在[b,a]上的单调性并证明你的结论.

解析:设b≤x1-x2≥-a.

∵f(x)在[-a,-b]上是减函数,∴022

则f(x2)32

23.设函数f(x)=x-3ax+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). 21.若函数y=-

(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性. [解析] (1)求导得f′(x)=3x-6ax+3b.

由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,

1-3a+3b=-11即

3-6a+3b=-12

2

,解得a=1,b=-3.

2

2

(2)由a=1,b=-3 得f′(x)=3x-6ax+3b=3(x-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.

1124.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,)32上为增函数,试求实数a的取值范围.

解:f(x)x2axa1(x1)[x(a1)], 令f(x)0得x1或xa1,

∴当x(1,4)时,f(x)0,当x(6,)时,f(x)0, ∴4a16,∴5a7.

25.设函数f(x)=x+

a(a>0).(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之;(2)若函数xf(x)在[a-2,+∞]上递增,求a的取值范围.

解析:(1)f(x)在(0,+∞)上的增区间为[a,+∞],减区间为(0,a).

a,当x∈[a,+∞]时, x2∴f′(x)>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0.

证明:∵f′(x)=1-即f(x)在[a+∞]上单调递增,在(0,a)上单调递减.(或者用定义证)

a,+∞]的子区间,所以a-2≥aa-a-2≥

0(a+1)( a-2)≥0a-2≥0a≥4.

(2)[a-2,+∞]为[

26.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax+bx+5的单

bx32

调区间.

解析: 可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定y=ax+bx+5的单调区间.

[解] ∵函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0. 由y=ax+bx+5得y′=3ax+2bx. 2b2

令y′>0,得3ax+2bx>0,∴-<x<0.

3a3

2

2

3

2

bxbx2b∴当x∈-,0时,函数为增函数. 3a

令y′<0,即3ax+2bx<0, 2b∴x<-,或x>0.

3a2b∴在-∞,-,(0,+∞)上时,函数为减函数. 3a

2

exa是R上的偶函数,27 设a0,f(x)(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+)aex上是增函数。

exa1xxaex 解:(1)依题意,对一切xR,有f(x)f(x),即aeae1x11x1即(a)(ex)0,所以对一切xR,(a)(ex)0恒成立

aaee112x由于ex不恒为0,所以a0,即a1,又因为a0,所以a1

aexxxxx2x(2)证明:由f(x)ee,得f(x)eee(e1)

x2x当x(0,)时,有e(e1)0,此时f(x)0 ,所以f(x)在(0,+)内

是增函数

1

28.求证:方程x-sinx=0只有一个根x=0.

2

1

[证明] 设f(x)=x-sinx,x∈(-∞,+∞),

21

则f′(x)=1-cosx>0,

2

∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当x=0时,f(x)=0,

1

∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0.

229已知f(x)=x+c,且f[f(x)]=f(x+1)

2

2

(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;

(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在

(-1,0)内是增函数.

222

解:(1)由题意得f[f(x)]=f(x+c)=(x+c)+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1)

2222

∴(x+c)+c=(x+1)+c, 22

∴x+c=x+1,∴c=1

2222

∴f(x)=x+1,g(x)=f[f(x)]=f(x+1)=(x+1)+1

42

(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x+(2-λ)x+(2-λ)

3

若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x+2(2-λ)x ∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数, ∴当x<-1时,φ′(x)<0

3

即4x+2(2-λ)x<0对于x∈(-∞,-1)恒成立

2

∴2(2-λ)>-4x,

2

∵x<-1,∴-4x<-4

∴2(2-λ)≥-4,解得λ≤4

又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数 ∴当-1<x<0时,φ′(x)>0

2

即4x+2(2-λ)x>0对于x∈(-1,0)恒成立

2

∴2(2-λ)<-4x,

2

∵-1<x<0,∴-4<4x<0 ∴2(2-λ)≤-4,解得λ≥4

故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的

λ存在.

课外延伸题:

30.方程x-3x+c=0在[0,1]上至多有_______个实数根

322

答案:1 解析.设f(x)=x-3x+c,则f(x)=3x-3=3(x-1). 当x∈(0,1)时,f(x)<0恒成立. ∴f(x)在(0,1)上单调递减.

∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点.

3

因此方程x-3x+c=0在[0,1)上至多有一实根.

3

31.若函数f(x)=x-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.

答案:-2∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,

f(-1)>0∴

f(1)<0

2

3

,∴-232.(2010湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的最大值.

解析:(1)对于条件③,令x1=x2=0得f(0)≤0,又由条件①知f(0)≥0,故f(0)=0. (2)设0≤x1∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.

即f(x2)≥f(x1),故f(x)在[0,1]上是单调递增,从而f(x)的最大值是f(1)=1.

33.已知函数f(x)=(

xn22

-1)+(-1)的定义域为[m,n)且1≤m(2)证明:对任意x1、x2∈[m,n],不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

x2n22x2nxn22

(1)解析:解法一:∵f(x)=(-1)+(-1)=22+2, mxmxmx∴ f

2x2n222n22422322

(x)=23223·(x-mn-mx+mnx)=23(x-mx+mn)(x+mn)(x-mxmxmxmxmn).

22

∵1≤m≤x0,x-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn>0.

mx令f′(x)=0,得x=mn,

①当x∈[m,mn]时,f′(x)<0; ②当x∈[mn,n]时,f′(x)>0.

∴f(x)在[m,mn]内为减函数,在[mn,n)为内增函数. 解法二:由题设可得

xn2n-1)2-+1.

mmxxn令t=.

mxf(x)=(

∵1≤mxnn≥2,>2. mxm1n令t′=2=0,得x=mn.

mx∴t=

当x∈[m,mn],t′<0;当x∈(mn,n)时,t′>0.∴t=

2

是减函数,在[mn,n]内是增函数.∵函数y=(t-1)-

xn在[m,mn]内mx2n+1在[1,+∞]上是增函数,m∴函数f(x)在[m, mn]内是减函数,在[mn,n]内是增函数.

(2)证明:由(1)可知,f(x)在[m,n]上的最小值为f(mn)=2(为f(m)=(

n2

-1),最大值mn2

-1). mnn2nnn22

-1)-2(-1)=()-4·+4-1.mmmmm对任意x1、x2∈[m,n],|f(x1)-f(x2)|≤(令u=

n42

,h(u)=u-4u+4u-1. mnm≤2,即

1∵1≤m2.∵h′

(u)=4u-8u+4=4(u-1)(u-

5151)(u+)>0, 22∴h(u)在(1,2)上是增函数.∴h(u)≤h(2)=4-8+42-1=42-5<1.

3

∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.

高考链接题:

34.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是( )

A.(-∞,2)

D.(2,+∞)

[答案] D [解析] 考查导数的简单应用.

B.(0,3) C.(1,4)

xf′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故选D.

35.(2010·新课标全国文)设函数f(x)=x(e-1)-ax.

1

(1)若a=,求f(x)的单调区间;

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. 112x[解析] (1)a=时,f(x)=x(e-1)-x,

22

x2

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,

f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(e-1-ax).

令g(x)=e-1-ax,则g′(x)=e-a.

若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.

当a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时g(x)<0,即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(-∞,1].

xxxex36.(2009江西)设函数f(x)

x(3) (4)

求函数f(x)的单调区间;

若k0,求不等式f(x)k(1x)f(x)0的解集.

解: (1) f(x)'1x1xx1x'f(x)0,得 x1 eee, 由22xxx'''因为 当x0时,f(x)0; 当0x1时,f(x)0; 当x1时,f(x)0;

(0,1]. 所以f(x)的单调增区间是:[1,); 单调减区间是: (,0),'x1kxkx2x(x1)(kx1)xe(2) 由 f(x)k(1x)f(x)e0, 22xx得:(x1)(kx1)0.

1故:当 0k1时, 解集是:{x1x};

k当 k1时,解集是: ;

1当 k1时, 解集是:{xx1}

k'

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