2014年徐汇区高三数学二模(文)

高三年级数学学科（文科） 2014.4

一．填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．已知集合Ax|x20，Bx|x22x30,xR，则AB____________． x52．直线x3y10的倾斜角的大小为____________． 3．函数ycos2x4．函数yx的单调递减区间是____________． 42x0的值域为____________． x5．设复数z满足iz132i，则z＝____________．

6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生. 7．函数fxsinxcosxcosx2sinxcosxsinx1的最小正周期T=____________．

8．已知函数f(x)arcsin(2x1)，则f()____________． 69．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900,AA12,ACBC1，则

AC所成角的余弦值是____________． 异面直线A1B与

xy52xy610.已知实数x、y满足不等式组，则z3x4y的最大值是____________．

x0y0111．若12nN,n1的展开式中

xn的系数为an，则lim11na2a31=____________． ana11 a12 a1312．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i12，，3；j12，，3)，从中任取三个数，a21 a22 a23

a a a323331则这三个数位于不同行不同列的概率是____________． (结果用分数表示)

13．对于集合A{a1,a2,,a10}，定义集合S{xxaiaj,1ij10}，记集合S中的元素个数为

S(A)．若a1,a2,,a10是公差大于零的等差数列，则S(A)=____________．

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14．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量，则mn的最大值为____________． APmABnAF(m,n为实数）

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．命题p：a1；命题q：关于x的实系数方程x22xa0有虚数解,则p是q的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题,其中正确的是-----------( )

①//lm ②l//m ③l//m ④lm// A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③

2b、c，且A2B，则B、C的对边分别是a、17．在ABC中，角A、A．

sinB等于----（ ） sin3Bcbab B． C． D．

bcca218．函数y1(x2)图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的．．．

数是------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A．

313 B． C． D．3 223三．解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.

正视图 侧视图

·

俯视图

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20．（本题满分14分）

如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知ABC1200，（千ADC1500，BD1米），AC3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B点出发到达C点）

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知椭圆x22y2a2(a0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线yk(x1)与椭圆C交于A、B两点，若点MC

D

A

B

11,0，求证MAMB为定值. 4

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）

定义：对于函数fx，若存在非零常数M,T，使函数fx对于定义域内的任意实数

x，都有

fxTfxM，则称函数fx是广义周期函数，其中称T为函数fx的广义周期，M称为周

距．

（1）证明函数fxx1值；

（2）试判断函数fxkxbAsinx（k、A、、为常数，k0,A0,0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由；

（3）设函数ygx是周期T2的周期函数，当函数fx2xgx在1,3上的值域为3,3时，求fx在9,9上的最大值和最小值．

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xxZ是以

2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题５分，第（3）小题9分）

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f2,1f1,1f1,2；fi,j为数表中第i行的第j个数．

（1） 求第2行和第3行的通项公式f2,j和f3,j；

（2） 证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列； （3） 求fi,1关于i（i1,2,

,n）的表达式．

f1,1f1,2f3,1f1,n1f3,n2f1,nf2,1f2,2f2,n1fn,1 4 / 4

2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科（文科）参及评分标准

2014.4

一．填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．5,1 ２．

5322, 3．k,kkZ 4．6885．13i 6．40 7． 8．10．20 11．2 12．

16 9． 461 13．17 14．5 14二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．B 16．Ｃ 17．Ｄ 18．Ｂ

三．解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）

解：根据几何体的三视图知，

原几何体是以半径为1的圆为底面且高为3的圆锥． 由于该圆锥的母线长为2，---------------（4分） 则它的侧面积S侧rl2，-----------（8分）

13体积Vr2h．------------------------（12分）

33 20．（本题满分14分）

00解：由ADC150知ADB30， 00解：由ADC150知ADB30，

由正弦定理得

1AD，所以，AD3．---------------------------------------（4分） 00sin30sin1202220在ADC中，由余弦定理得：ACADDC2ADDCcos150，

即323DC223DCcos1500，即DC23DC60，

333， -----------------------------------------------（10分） 1.372（千米）

22解得DC，--------------------------------------------------------------------（12分） BC2.372（千米）

由于2.3722.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，

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a2a2a222222则b，由cab得ca，

2222由

1b2c4 解得a28,b24, 2x2y21. --------------------------------------------（6分） 则椭圆方程为84（2）由yk(x1)x2y822得

(2k21)x24k2x2k280, ----------------------------------------------------------------（8分）

设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得：

4k22k28x1x22,x1x22,

2k12k1MAMB(x11111,y1)(x2,y2) 44111212x1x2(x1x2)k(x11)(x21)

41611121222=(k1)x1x2(k)(x1x2)k

4162k281124k21212(k)k=(k1)

4162k212k21216k281217, =216162k1所以MAMB为定值7. ------------------------------------------（14分） 16 22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 解：（1）

fxx1xxZ，

x2fx2fxx21 所以函数fxx1xx1x2（非零常数）

xZ是广义周期函数，它的周距为2；-----（4分）

（2）函数fxkxbAsinx（k、A、、为常数，k0,A0,0）

是广义周期函数， 且T2,M2k.证明如下：

2fxfx  6 / 4

2kx2bAsinx2k kxbAsinx（非零常数）. -------------------------------------------------------------------------------------（ 8分）

（3）

fx2fx2x2gx22xgx4，

所以fx是广义周期函数，且T2,M4. ------------------------------------------（10分） 设x1,x21,3满足fx13,fx23， 由fx2fx4得：

fx16fx144fx1244fx144431215，

又

fx2fx4fx知道fx在区间9,9上的最小值是x在7,9上获得的，而

x167,9，所以fx在9,9上的最小值为15．--------------------（ 13分）

由fx2fx4得fx2fx4得：

fx210fx284fx2644又

fx22023，

fx2fx4fx知道fx在区间9,9上的最大值是x在9,7上获得的，而

x2109,7，所以fx在9,9上的最大值为23．-----------（16分）

23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 解：（1）f2,jf1,jf1,j12f1,j48j4j1,2,,n1，

,n2，

f3,jf2,jf2,j12f2,j828j4816j16j1,2,---------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分） （2）由已知，第一行是等差数列，

假设第i1in3行是以di为公差的等差数列，则由

fi1,j1fi1,jfi,j1fi,j2fi,jfi,j1

fi,j2fi,j2di（常数）

知第i11in3行的数也依次成等差数列，且其公差为2di.

综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．---------------------------（9分） （3）由于d14,di2di1i2，所以di42i12i1，---------------------（11分）

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所以f(i,1)f(i1,1)f(i1,2)2f(i1,1)di1，

由di12i得fi,12f(i1,1)2i，----------------------------------------------（13分）

fi,1fi1,1fi,1fi1,11，即1，----------------------------（15分） 于是

2i2i12i2i1fi,1f1,142，所以，数列i是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，又因为

2122fi,12i1i1，所以fi,1i12i（i1,2,i2

．----------（18分） ,n）

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