湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题及答案

武汉市2022届高中毕业生一月调研考试

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制 2022.2.22

本试题卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､ 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

∣x2},Bx∣x2x30，则AB（ ） 1.已知集合A{xA.,13, B.,23, C.,12, D.,32, 2.若为第二象限角，且sin21，则tan（ ） 3A.22 B.22 C.

22 D. 443.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点M2,22为抛物线上一点，则MF（ ） A.2 B.3 C.4 D.5

4.某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为

1，则该圆台体积为（ ） 2A.

7312 B. C. D. 84225.向量a,b满足a1，且2aba,ab3ab，则b（ ） A.2 B.5 C.6 D.7 6.已知函数fx的定义域为1,，数列an满足anfn，则“数列an为递增数列”是“函数fx

为增函数\"的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知随机变量服从正态分布NA.,，若函数fxPx2x1为偶函数，则（ ）

11 B.0 C. D.1 228.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a,b分别作为点P的x坐标和y坐标，记Pa,b.若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，则该坐标系中Mx1,y1和Nx2,y2两点间的距离为（ ）

A.B.C.D.x1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2222222x1x2y1y2cos 2x1x2y1y2cos 2x1x2y1y2cos 2x1x2y1y2cos

22x1x2y1y22二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知两个复数z1,z2满足z1z2i，且z11i，则下面说法正确的是（ ）

11izA.z2 B.1

z22C.z1z22 D.z1z2i

10.某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25C的室温下测量水温y单位:C随时间x（单位：min）的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据



xi,yii1,2,,15得到如下的散点图：

现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有（ ） A.y25c1eC.y25c2x B.y25c1xc2

1 D.yc1x25c2

c1xc222k211.在平面直角坐标系中，已知圆K:(xk)(yk)，其中k0，则（ ）

2A.圆K过定点 B.圆K的圆心在定直线上 C.圆K与定直线相切 D.圆K与定圆相切

12.三棱锥ABCD各顶点均在表面积为20的球体表面上，ABCB2,ABC120，

BCD90，则（ ）

A.若CDAB，则CD2 B.若CD2，则CDAB C.线段AD长度的最小值为10 D.三棱锥ABCD体积的最大值为3 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.公比不为1的等比数列an中，若a1,a3,a2成等差数列，则数列an的公比为__________.

x2y2y2x214.已知双曲线C1:221a10,b10与C2:221a20,b20有相同的渐近线，若C1的离

a1b1a2b2心率为2，则C2的离心率为__________.

15.某学生在研究函数fxxx时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该

3

学生继续深人研究后发现将该函数乘以一个函数gx后得到一个新函数hxgxfx，此时hx除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h00.写出一个符合条件的函数解析式gx__________.

16.已知函数fxsinx，其中0，若fx在区间2,内恰有两个极值点，且332f3f0，则实数的所有可能取值构成的集合是__________. 3四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*有Sn2ann3. （1）证明：数列an1为等比数列； （2）求数列18.（12分）

在如图所示的多面体中，点E,F在矩形ABCD的同侧，直线ED平面ABCD，平面BCF平面

an的前n项和Tn.

a1n1ABCD，且BCF为等边三角形，EDAD2,AB2.

（1）证明：ACEF；

（2）求平面ABF与平面ECF所成锐二面角的余弦值. 19.（12分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinAsin2A1cosA1cos2A. （1）求角A；

（2）若ABC的面积S20.（12分）

38b29a2，求cosB. 12迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间40,100内，并制成如下所示的频率分布直方图.

（1）估计这200名学生的平均成绩；

（2）用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间80,100内的人数为X，成绩在区间70,100内的人数为Y，记ZXY，比较EXEY与EZ的大小关系. 21.（12分）

1x2y2椭圆E:221(ab0)的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左右

2ab顶点的动点，OAB面积的最大值为3. （1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线l:xt交x轴于点P，其中ta，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线

l于点M和N，若O,A,M,N四点共圆，求t的值.

22.（12分）

已知函数fxalnxx11,gxexexalnax，其中a0. xax1f（1）当a1时，求e的值；

fe（2）讨论gx的零点个数.

武汉市2022届高中毕业生二月调研考试

数学试卷参及评分标准

选择题：

题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 ABD 10 AC 11 BC 12 ACD 填空题：

13.123 14. 23∣k15.x2（答案不唯一，其余正确答案均给分） 16.6k,kZ 2解答题：

17.（10分）解：

（1）当n1时，a12a12,a12.

当n2时，Sn2ann3,Sn12an1n4.

两式相减得：an2an2an11，即an2an11,an12an11. 又a1110,an1构成首项为1，公比为2的等比数列.

n1n1（2）由（1）an12，故an21.

an2n1111n.

an112n22111111111111Tn2n2n

2222222222221nn12

22112n21Tnn

22118.（12分）解：

（1）取BC中点M,FBFC,FMBC.

由平面BCF平面ABCD，且交线为BC,FM平面ABCD. 又ED平面ABCD，有ED//FM,E,D,F,M四点共面.

ED平面ABCD,AC平面ABCD,ACED.

又在矩形ABCD中，

ADDC2,ACDM. DCCM又EDDMD,AC平面EDMF.

EF平面EDMF,ACEF.

（2）以D为坐标原点，DA,DC,DE的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：

A2,0,0,B2,2,0,F1,2,3,E0,0,2,C0,2,0.



设平面ABF的法向量nx1,y1,z1,AB0,2,0,BF1,0,3.

nAB2y10，取nnBFx13z103,0,1.

设平面ECF的法向量mx2,y2,z2,CF1,0,3,CE0,2,2.

nCFx23z20，取m3,2,1. nCE2y22z20∣cosm,nmnmn31466. 66. 6所以平面ABF与平面ECF所成锐二面角的余弦值为19.（12分）解：

（1）由题意，sinA2sinAcosA1cosA2sinA.

2sinA0,cosA1cosA.

有cosA1,0A,A. 23（2）由余弦定理，a2b2c22bccosA，有a2b2c2bc. 又S313322222，代入得：8b9abcsinA8b9bcbcbc， 122124222整理得：b6bc9c0,即(b3c)0,b3c.此时ab2c2bc7c.

a2c2b27197. cosB2ac142720.（12分）解：

（1）平均成绩为：10450.005550.02650.025750.03850.015950.00569.5. （2）成绩落在区间80,100内的概率为100.0150.00511，故XB2,. 5511，故YB2,. 22成绩落在区间70,100内的概率为100.030.0150.005117EXEY22.

525由题意，Z可能的取值为0,1,2,3,4，且XY.

11PZ0PX0,Y01;

2411311PZ1PX0,Y1C21; 2521021129111PZ2PX0,Y2PX1,Y1C21;

252510013111PZ3PX1,Y2C2;

52525211PZ4PX2,Y2.

5252

1329317EZ01234.

41010025255故有EXEYEZ. 21.（12分）解：

C1b213（1）由题意，设椭圆半焦距为C，则，即12，得ba.

a2a42设Bx1,y1,SOAB1ay1. 21ab. 2由y1b，故SΔOAB的最大值为将b323a3,得a2,b3. a代入，有42x2y2所以椭圆的标准方程为1.

43（2）设Cx2,y2，直线BC方程为xmyt，与椭圆方程联立得：3m4y6mty3120.有

2226mtyy.123m24 2yy3t12.123m24直线BA的方程为yy1yt2x2，令xt得点M纵坐标yM1. x12x12同理可得，点N纵坐标yNy2t2.

x22PMPN∣，即tt2yMyN.

当0,A,M,N四点共圆，则PAPOy1y2(t2)2y1y2(t2)2y1y2(t2)2yMyN2x2x2myt2myt21212my1y2mt2y1y2(t2)23m2t246m2tt23m24(t2)23mt26mt3m4t2222

3t24(t2)2

3t2(t2)2

3t2(t2)23t2t2

4t24

由t2，故tt222.（12分）解：

3t2t2，解得：t6. 41. x（1）a1时，fxlnxx11112fxlnxx,fx1,fe1e. 0x1时，2xxxe11111e2e1. x1时fxlnxx,fx12,fe122xxxeee1fe e2fe（2）令gx0，有eexxalnax1. ax则axee所以fexxxalnaxax11xxx. ，即alneeealnaxaxaxaxfax.

a1a1x20x1时，fx1220；

xxxxa1ax21x1时，fx1220；

xxxx所以，fx在0,1上递减；在1,上递增. 又因为fxf11xxxfefaxe. ，所以，当且仅当或eaxxax又ex1，故exax和ex1不可能同时成立. axxx所以gx的零点个数是两个函数sxeax和txxe1的零点个数之和，其中x0. asxexa,0a1时，sx0,sx递增，sxs01,sx无零点.

a1时，令sx0，得xlna，故sx在0,lna上递减；在lna,上递增.

当1ae时，slnaa1lna0，此时sx无零点. 当ae时，slna0，此时sx有一个零点.

12当ae时，slnaa1lna0,sea10,s2lnaa2alnaaa2lna.

a令haa2lna(ae),ha1由零点存在性定理，sx在120，故hahee20，所以s2lna0. a1,lna和lna,2lna上各有一个零点，此时sx有两个零点. a1txxex,txx1ex0,tx在0,上递增.

a1111a又t00,te10，故a0时，tx在0,上必有一个零点.

aaa综上所述，0ae时，gx有一个零点；

ae时，gx有两个零点； ae时，gx有三个零点.