泄露天机2018高考押题卷 文科数学(二)

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学（二）

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合AxZx23x40，Bx0lnx2，则AB（ ）

A．1,2,3,4 B．3,4 C．2,3,4

D．1,0,1,2,3,4

【答案】C

【解析】AxZx23x40xZ1x41,0,1,2,3,4，

Bx0lnx2x1xe2，所以AB2,3,4．

2．设复数z12i（i是虚数单位），则zz的值为（ ）

A．32 B．2

C．1

D．22 【答案】B

【解析】zz2，zz2．

3．“pq为假”是“pq为假”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

【答案】B

【解析】由“pq为假”得出p，q中至少一个为假．当p，q为一假一真时，pq为真，故不充分；当“pq为假”时，p，q同时为假，所以pq为假，所以是必要的，所以选B．

文科数学试卷 第1页（共14页）

x24．已知实数x，y满足约束条件x2y20，则zxy的最大值为（ xy203 ）

A．143 B．2 C．

43 D．4

【答案】C

【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把zx3y改写为yx3z，当且仅当动直线yx3z过点2,2时，z取得最大值为43． 5．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏． A．2

B．3

C．26

D．27

【答案】C

【解析】设顶层有灯aa913a11盏，底层共有a9盏，由已知得，则9a9a1a926， 2126所以选C．

6．如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的值可以是（ ） A．8

B．9

C．10

D．11

【答案】C

【解析】依次运行流程图，结果如下：S13，n12；S25，n11；S36，n10；S46，n9，此时退出循环，所以a的值可以取10．故选C．

．设双曲线C:x2y27a2b21a0,b0的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，

则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）

A．2

B．2 C．22 D．4

文科数学试卷 第2页（共14页）

【答案】B

【解析】因为双曲线C:x2y2a2b21的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为yx，所以

ab．因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以

22a1，所以ab2，双曲线C的方程为x2y2221，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b2． 8．已知数据x1，x2，，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，，x10相对于原数据（ ） A．一样稳定 B．变得比较稳定 C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断

【答案】C

【解析】因为数据x1，x2，，x10，2的平均值为2，所以数据x1，x2，，x10的平均值也为2，因为数据x11，x2，，x10，2的方差为1，所以10x2221011，所以2i221i1xi2=11，i1所以数据x11021，x2，，x10的方差为10xi2=1.1，因为1.11，所以数据x1，x2，，x10相对i1于原数据变得比较不稳定．

9．设an表示正整数n的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列an的前n项和为

Sn，那么S2n1（ ）

A．2n1n2 B．2n1234n12n3 C．2n D．2nn2

【答案】B

【解析】由已知得，当n为偶数时，a1nnan，当n为奇数时，an．

22因为S2n1a1a2a3a4a2n1， 所以S2n11a1a2a3a4a2n11a1a3a5a2n11+a2a4a6a2n12

1112n1213152212a1a2a3a2n11nn232na12211a2a3a2n12S2n122n4nS2n1， 即S12n1122n4nS2n1， 文科数学试卷 第3页（共14页）

所以S124n12n12n1124n22n214121S1222112n34n123．

10．过抛物线y2mxm0的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，PQ54m，则m（ ） A．4 B．6

C．8

D．10

【答案】C

【解析】因为y2mx，所以焦点到准线的距离pm2，设P，Q的横坐标分别是x1，x2，则 x1x223，x6，因为PQ54m，所以x5m51x21x2+p4m，即624m，解得m8．

11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，12，则此三棱锥外

接球的表面积为（ ）

A．

174 B．

214 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCDA1BC11D1的四个顶点，即为三棱锥ACB1D1,且长方体ABCDA1BC11D1的长、宽、高分别为2，1，12， 122212所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCDA1BC11D1的外接球，半径R22124，2所以三棱锥外接球的表面积为S4R2421214． 4 文科数学试卷 第4页（共14页）

12．已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则下列一定成立的为（ ） A．k1 B．k0

C．k<1

D．k1

【答案】C

【解析】任意取x为一正实数，一方面ysinxlnxlnx1，另一方面容易证lnx1x成立，所以ysinxlnxx，因为ysinxlnxlnx1与lnx1x中两个等号成立条件不一样，所以ysinxlnxx恒成立，所以k<1，所以排除D；当2x时，y=sinx+lnx>0，

所以k0，所以排除A，B．所以选C．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a1,2m1，b2m,2，若向量a∥b，则实数m的值为_________．

【答案】m0或m52

【解析】因为向量a∥b，所以

12m12m2，所以m0或m52．

14．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为_________． 【答案】

12 【解析】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为

51012． 15．设函数f(x)xax212对于任意x[1， 1]，都有f(x)0成立，则实数a_________． 【答案】1

【解析】一方面，由ax20对任意x[1， 1]恒成立得a1；另一方面，由f(x)xax212 文科数学试卷 第5页（共14页）

x2ax22120得a1，所以a1．

16．若对任意的xR，都有f(x)f(x)f(x)，且f0()1，f6661，

则f1003的值为_________．

【答案】2

【解析】因为f(x)f(x)f(x)①，所以f(x)f(x)f(x6663)②，

①+②得，f(x)f(x)，所以f(x362)f(x)， 所以f(x)f(x)，所以T，所以f1003f3， 在f(x)f(x)f(x)中，令x666得，f(6)f(0)f(3)， 因为f(0)1，f61，所以f(3)2． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，点

P是CD中点，Q是A1B1的中点． （1）求证：AQ∥平面PBC11；

（2）若BCCC1，求证：平面A1B1C平面PBC1．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）取AB得中点为R，连接PR，B1R． 由已知点P是CD中点，Q是A1B1的中点可以证得， 四边形AQB1R，PRBC11都为平行四边形，······2分 所以AQ∥B1R，B1R∥PC1，所以AQ∥PC1，······4分

文科数学试卷 第6页（共14页）

因为AQ平面PBC11，PC1平面PBC11， 所以AQ∥平面PBC11．·

·····6分 （2）因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，BCCC1，所以B1CBC1，······7分 因为A1B1平面BB1C1C，所以A1B1BC1，······8分 因为A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1C，·

·····10分 BC1平面PBC1，所以平面A1B1C平面PBC1．······12分

18．（12分）在△ABC中，DBC，S△ACDSsinBC．

△ABDsin（1）求证：AD平分BAC；

（2）当122时，若AD1，DC2，求BD和AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）BD2，AC1．

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理得，

sinBsinCACAB，

因为S△ACDSsinB，······2分

△ABDsinC12ACADsinCAD所以1AC，······3分

2ABADsinBADAB所以sinCADsinBAD，······4分

因为CADBAD，所以CADBAD， 即AD平分BAC．······6分 （2）因为

1S△ACDCD2S，DC2，所以BD△ABDBD22，······7分 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得，AB2AD2BD22ADBDcosADB，

AC2AD2DC22ADDCcosADC，

因为cosADBcosADC0，所以AB22AC23AD2BD22DC2，

因为AD1，所以AB22AC26，······10分 因为

sinBsinC12，所以AB2AC，······11分

文科数学试卷 第7页（共14页）

所以AC1．······12分

19．（12分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育2个孩子．在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎．在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有x1对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有x2对，其余情形有x3对，且x1:x2:x3300:100:99．现在用样本的频率来估计总体的频率． （1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出x1，x2，x3的值；

（2）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策：凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元．第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元．这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩．试用样本估计该地区任意一对已经生育了一胎的夫妇获得5000元生育补助，15000元生育补助及25000元生育补助的概率．

【答案】（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩；

x130000，x210000，x39900；（2）任意一对已经生育了一胎的夫妇获得15000元生育补助的概率为

11000，获得25000元生育补助的概率为

910，获得5000元生育补助的概率为991000．

【解析】（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩． 由x1:x2:x3300:100:99，可设x1300n，x2100n，x399nnN， 由已知得，x1x2x349900，所以300n100n99n49900， 解得n100，······2分

所以x130000，x210000，x39900．······4分 （2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种：

第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为

10010000011000，······5分

男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为5000010000012，······6分

男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为30000100000310，······7分

男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为10000100000110，······8分

文科数学试卷 第8页（共14页）

其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为

9900100000991000，······9分

根据统计学原理，可以用这100000对已经生育了一胎的夫妇获得的生育补助频率来估计该地区任意一对已经生育了一胎的夫妇获得的生育补助的概率，故可以估计如下：

任意一对已经生育了一胎的夫妇获得15000元生育补助的概率为11000，······10分

任意一对已经生育了一胎的夫妇获得25000元生育补助的概率为

12310110910，······11分 任意一对已经生育了一胎的夫妇获得5000元生育补助的概率为

991000．······12分 20．（12分）已知椭圆C的方程为x2y22a2b21ab0，P1,2在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的21倍．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过Q2,0的直线l与椭圆C交于M，N，求△F1MN的面积的取值范围．

【答案】（1）椭圆C的方程为x22y21；（2）S32△F1MN0,4． 【解析】（1）由P1,2在椭圆上，可得12a212b21，······1分 由△PAFac1的面积是△POF2的面积的21倍，可得

c21，即a2c，······2分 又a2b2c2，可得a2，b1，c1，

所以椭圆C的方程为x22y21．······4分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2， 联立得ykx2，消去y得2y22k21x28k2x8k22x220，

设Mx,y8k28k2211，Nx2,y2，所以x1x22k21，x1x22k21，······5分

又0，8k2242k218k220，解得：222k2k0，·

·····6分 文科数学试卷 第9页（共14页）

MN1k2x21x21k2x1x24x1x2 221k218k228k221k2k2k2142k21222k21，······8分

F3k1到直线l的距离为d······9分

1k2，2S1221k2k21△F1MN22k213k1k232k22k212k212 1322k4k22k21232k212k212322212k212 3212k2123212k2112，······10分 令t1，由22k22k0，所以12k212t1， 则St2△F1MN3232t12，12t<1， 所以S32△F1MN0,4．·

·····12分 21．（12分）设函数fxx2alnx1a0． （1）证明：当a2e时，fx0； （2）若对任意的x1,e，都有fxx，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）ae2e2,． 【解析】（1）函数的定义域为0,，令fx2xa2x2axx0，则xa2，······1分所以当x0,a2时，fx0，当xa，+时，fx0，······2分 2所以fx的最小值为fa2=aa·····3分 2ln21，· 文科数学试卷 第10页（共14页）

当0a2fe时，lna21ln1e10，所以

a2=a2lna210， 所以fx0成立．······4分

（2）fx≤x，即x2xalnx10，

令gxx2xalnxa，x1,e，gx2x1a2x2xaxx，·······5分

令gx0，得2x2xa0，x118a1+120舍去，或x8a21，·

·····6分 所以，当x0,1+18a时，；当x1+18a,时，gx0； 2gx02即当x0,1+18a时，递减；当x1+18a,时，g2gx2x递增；······7分 ①当e1+18ae2e2时，即a2，gx在1,e上递减，

所以gxg1a0，故gx0恒成立，符合题意．······9分

②当e1+18ae2e2时，即0a<2，

当x1,1+18a时，递减；当x1+18a,e2gx2时，gx递增； g10e0a0e2ee2e2a0a与0a<矛盾，故舍去．······11分 gee222综上所述，e2ae2,．······12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x2cos3sin（为参数），以射线Oxy为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin30．

（1）将曲线C的参数方程化成普通方程，将直线l的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．

文科数学试卷 第11页（共14页）

【答案】（1）x2y2431，xy30；（2）867． 【解析】（1）曲线C的参数方程化成直角坐标方程为x2y2431，·····2分 因为xcos，ysin，所以l的直角坐标方程为xy30．·····4分

（2）直线l的倾斜角为

4，过点(3,0)， x3tcosx32所以直线l化成参数方程为4，即2t，

（t为参数），·····5分

ytsin4y22t代入x24y231得，7t266t60，·····6分 =(66)247(6)3840，

设方程的两根是t661，t2，则t1t7，t621t27，·····8分

所以ABt384861t2(t1t2)24t1t277．·····10分 【选修4-5：不等式选讲】

23．（10分）已知函数fxx12axa2（a为正实数），gxx22x44x12．（1）若f2a214a1，求实数a的取值范围；

（2）若存在实数x，y，使fxgy0，求实数a的取值范围． 【答案】（1）1,；（2）0,2．

【解析】（1）∵f2a214a1，∴2a22aa214a1，

∴a12aa14a1，∴2aa14且a1，·····2分

因为a0，所以2aa14且a1，a1，所以a的取值范围是1,．·····4分 （2）∵gxx124x1252x124x1251，显然可取等号，

∴gxmin1，·····6分

文科数学试卷 第12页（共14页）

所以若存在实数x，y，使fxgy0，只需使fxmin1，·····8分 又fxx12axax12axa222a1，

2a11，1a11，因为a0，所以实数a的取值范围是0,2．·····10分

文科数学试卷 第13页（共14页） 文科数学试卷第14页（共14页）