军用设备的海中投放问题的分析

军用设备的海中投放问题的分析
摘要：本文通过对军用设备的海中投放问题，建立了球型设备在海平面以上

和海平面以下两种情况下的运动轨迹模型。对第一问，通过对球类设备在不同情

况下运用正交分解进行受力分析，利用位移、速度、加速度之间的关系建立了微

分方程模型，通过微分方程知道了设备在投放到海平面时的垂直速度和水平速

度，进而通过垂直速度知道了当时飞机的飞行高度。在求解海平面的垂直速度时

我们把设备看成是从水下65米处向海面加速度运动，这样可以使我们的初始条

件更简单。在问题的求解过程中，将某些减速运动看成加速运动来分析，方便问

对第二问，我们在不考虑洋流和海浪的影响的情况下，我们通过设备在空中

和在海水中的水平运动轨迹，知道了设备在海面上的位置（从空投设备时竖直向

第三问通过对空中和海里的两种情况的分析建立了轨迹方程，运用

MATLAB软件分别绘制出了球型设备在空中和海里的运动轨迹。

关键词：投放；运动轨迹；微分方程；位置（高度）

随着科技的发展，尤其是近几年来，我国的军事发生的翻天覆地的变化，使

得我们对一些未知、不确定的因素（定点空投、定点发射）有了更准确、更接近我们

的要求、更满足我们的需求的分析和预测。如何建立模型，才能达到我们的期望

值，使我们的目标更精确，这是我们研究的主要问题。

现有一军方需要用轰炸机定点空投一军用球型设备到某海域，飞机速度为

100米/秒，球型设备半径为0.1米，密度为0.85，当地海水密度为1.03，若此设备

在水中的摩擦力与速度相反，且成正比，比例系数=0.5公斤.米/秒,（g=9.8）.刚看到

题目，我们就在想最后球型设备停在海面上的位置，它的轨迹及飞机的飞行高度

等。这就需要建立数学模型来分析研究问题，我们要考虑的问题是：

（1）球型设备不要落入比65米还深的海水里，飞机当时应飞行的高度。

（2）分析球型设备停在海面上是的位置。

（3）描述球型设备的轨迹特征，并给出球型设备的轨迹图

二、模型的假设

1假设投放时天空中没有风及湿度的影响，忽略球型设备的大小（将其看成

质点），不考虑空气给球型设备的摩擦阻力。

2假设球型设备瞬间进入海里（不考虑水面对球类设备的冲量使其速度改变）。

3假设当时海面上没有大浪。

4不考虑洋流对球型设备的影响。

5飞机飞行时与海平面水平，不倾斜。

6球类设备一旦接触水面就认为其完全浸入水中（只要与水接触时就认为其

完全浸入水中）。

三、符号的说明

k、f摩擦力：设备在水中的摩擦系数、所受的摩擦力

1、0：海水、球型设备的密度

G、F浮力、G0：设备所受的重力、设备完全浸入水中所受的浮力、类似重力

g、g0：物体的重力加速度、类似重力加速度

V、、m：球型设备的体积、半径、质量

v0、v1：球型设备水平初速度、进入水面瞬间竖直向下的速度

St ()、Ht ()：设备空中飞行（水面以上）的水平方向、竖直方向的位移

lt ()、v2：物体有初速度的减速运动的位移、在=0时（进入水面时）的速度

st () ：设备在海平面以下水平方向的位移

ht ()、ht 3()：设备在水面以下向下运动、向上运动的位移

s0、s1、s2：设备在空中飞行的水平距离、水面以下运动的水平距离

、停在水面上的水平距离

ht 3() 、ht 3() ：设备在水面以下最深处向上运动时的加速度、速度

ht()、ht()：设备在竖直方向运动的加速度、速度

st()、st()：设备在水面以下水平方向的加速度、速度

lt()、lt()：物体运动时的加速度、速度

T、、1t2、t3、H0：设备从水面到水下最深处的时间、在空中飞行的时间、设备在

水中的运动时间、设备从落入水中到最后飘在水面上的时间、轰炸机飞行的高度

四、问题的分析与模型的建立

对于军用设备海中投放问题分析，主要分设备在空中飞行时（水面以上）及在

水面以下的运动情况分别建立两个模型。

对问题一：

在空中飞行时（水面以上）时设备由于半径比较小，与空气接触面积很小，其

受的空气阻力远小于其自身的重力，在此不予考虑其所受的空气阻力，则其受力

一个有初速度的加速模型。

有初速度的加速模型如下：

图一

在水面以下运动情况受其重力、浮力及水对设备的摩擦力的影响，则其受力

分析如图二所示，由于重力及设备所受的浮力（设备完全在水中）是恒力，其大小

及方向是恒定的，均不受其他因素的影响特别是速度，在此将两个恒力合并成一

速度的影响（与速度成正，且方向与速度相反），由于速度是时刻变化的，设备所受

的摩擦力也是个变力，将此变力按水平方向和竖直方向进行分解，x轴为水平方

向，y轴为竖直方向（如图三所示）。将摩擦力分解后，其水平方向的分量可以看成

只受水平速度的影响，其竖直方向的分量只受竖直方向速度的影响。将设备在水

中运动情况分成水平运动和竖直运动，两者是的，互不影响。在这里，将设

备的水平运动看成一个初速度为v0的减速运动，建立微分方程进行求解。设备的

竖直运动可以看成为v1的减速运动（这里只分析设备向下运动，当其从水下向上运

动时由于对问题的求解无影响在此不予分析和考虑），建立微分方程进行求解。他

们可以统称为一个有初速度的减速运动模型。

通过解微分方程可以的得到设备在竖直方向的运动曲线及水平方向的运动

曲线，这样通过竖直方向的运动曲线ht ()，可以求出设备从水面到水下最深处的

时间t, 对其进行求导可以得到竖直方向的速度曲线ht() ,将带入ht()可以求出

设备进水瞬间的竖直速度v1。同理水平方向上的运动曲线st () ，对其进行求导得

到是水平方向的速度曲线st() ,可以求得设备从初速度v0运动到停止时的距离s1。

有初速度的减速运动模型如下：

量（大小）。

图二

图三

对问题二：

对问题三：

通过问题一及问题二的求解所得曲线方程，同时由于作图需要设备从最深处

向上运动的轨迹方程，所以我们建立了从水下向水上的微分方程：

	h t ''( )		g	0			kgh t '( )
     							0 v	T 为设备从水面到水下最深处的时间
	h T ( )			65
	h T '( )						0

求出在上升时的方程为：

h t 3( )



70.8

1.376

t



1.508 t



70.65

再根据不同时间段的规矩方程，运用Matlab工具分别对水面以上、水面以下

设备运动的轨迹进行画图。

五、模型的求解

问题一的求解：

由于设备在水面以下运动是有初速度的减速运动，由于初速度未知，仅知道

位移，在此将其运动反过来看成初速度为0的加速运动。求出其曲线ht ()，然后将

其最深的位移h=65带入解出的曲线ht ()中，求出时间t,后通过对ht ()求导得

ht()计算出其在浸入水里的瞬时速度v1，再带入方程组（1）就可以求得在空中飞

行的时间，从而算出轰炸机飞行的高度1 Ht () 1 。

根据方程组（2）的模型对竖直方向的微分方程如下：

      

0

h t( )



g



kgh t( )

其中

m   V

0 V

,

(3)

0

m

;



h

(0)



0 ,

h

(0)



0



3

4

r

g



F浮力



G



1 gV



mg

3

m

m

其中：

h t( )

为设备竖直方向运动的加速度；

h t( )

为设备竖直方向运动时的速

度；

h

(0)

为设备在=0 时的位移为0；

h(0)

为设备在=0 时的速度为0；

F浮力

为设备

完全浸入水中所受的浮力；

G

为设备所受的重力；

1

、

0

分别为海水的密度、球型

设备的密度；

V

、分别为球型设备的体积、半径。

已知数据如下表：