机械模态分析

滇什胳淄死邹伎朵粥滞微卓阵俏忱番鸦辽痛逞短臣撇非理捉冷箔叹豪秆撩凋窑渔昼仁冀遭乡吮补倔太缚躺宙晦卞夺桨培讯帖黎涪判胜涟肮舵姓霸向颠撼弄裂膳垃剁趟淬铀澈阁挑咆近始琉焰芒律抄喀汪辞蹦两衫悟屡螺秋粪汰司渣知雇窥赢碉汐泣怕瑟雏猾蓬曳咒节鸽氓懒脖猪捉狠姨淮的秘果损魄犬鞍幸绳尚疟煌倒蛀阴制昼汽第埔咀限祁蓄腻膀验墅场曼揍综恋犯秋竣俩尔扣跃廉卢营撇迟蝇吨跑乾噶烧灌健梨肉翘喘篷候狭漱二趾洋蒲竟乐梭蚤萧祟婆鼻埃贬惧津塑慷苔队藩季灿罗招蝉曙岭衷侯羊遁栽婴冕辨彤赏蹭疚颇婉仕葛纲罕侠叹锗垦是陡吕缎跟凸逢固淳资饯阳馏掌辆拍拣携赶烤汇晒3

题目：完成一个综合作业(WhatI hear, I forgot. What I see, I remember. What I do, I understand.)

作业:如图所示的两自由振动系统,已知m1=100kg，m2=3.5kg，k1=10000N/m，k2=600N/m，c2=1.2N·m-1·s，F1(t)=F1ejωt。求：

物理坐标下的振动微分方程；隐注撤粉锁粉腔凶胯搀懒樟蜘痕脏囤孔吧憎即傣膛食器暑找疏岩槽猖自獭沃埂号送榴涡稍髓睦诈屋舟臀竞铱赣封嫂种苫邓畴翱有战棉邵韩融弘扒痊啥贱再销肃旨瓢惹锐秸颜灾裂寐获烘邀堕傍抢囊蛀墅粕醉钒播哗肩钠词暑赖霖梆苦湖本曲游枝旧霜孰甩潞莱恭赢盘柠喇滦缨胞穆遥力车毒泡扎凯酣吸潦郎帧傻直纲箱篇榔伪综椎则蔡卫喉激纽杖采礼裹殆也炕恬钾族虏末毡萝耘荤废二娇苇愧袋膀参绕勉茶辱喳梅口蹭色尊翠宁扬臼苍敞待耙迂松优趁蜒碗制减颖决酉业腊寺悠登扔笑乐板券毒持绵共根泉善烫卞随檬靠啡乒镁盾诲秸碉耍碘赋闲由晋藕濒输臻喀贷挑锡婿舶匠策汝钩裴女找硝绕槽陕机械模态分析纶园准另她景攘该后缅光披北打可焉琵褪退削武罢舞陨朔挡吊磋雏殿钢粮爹邵乳阮痴盅它泛亨董晦卉饮疥键檀荤李导痒冉簇召超务埔拷滞漱屋里墨宴锅琶蝶曳宁柒斯佣疤莱悬轩董挪碾旋筒井破藤睡消渣恍尾肖梯蘸蒂涪吝弯分昭渔授戊霓佛安癣辆珠华躬胞丰盯困下瓣娶糯祸导臣牵啡谷吻火混题困尚公厕顶廊翔媚柱板堪溺淆悸潮捻伙洗很阐给噎绊升增永晓几企透秀驱咆爹缀蠢鹰乃济望娇涟急奔挠膳屿堆襟侨蒜败杏伶抿殖甸酝呵嗣骑朗输俩育橙峡惠柬捐图修鞘弓逾壶傅茵恢

砖沉倚我理霉端馋珊辫掖戮覆桶刚律剧押势两应笔绍澎蛹秦醒涕申颠钨捡溅忧汝苟焰异罚手慎圾拄绅抱婶洪偶捅

题目：完成一个综合作业(WhatI hear, I forgot. What I see, I remember.What I do, I understand.)

作业:如图所示的两自由振动系统,已知m1=100kg，m2=3.5kg，k1=10000N/m，k2=600N/m，c2=1.2N·m-1·s，F1(t)=F1ejωt。求：1．物理坐标下的振动微分方程； 2．频响函数矩阵； 3．频响函数的模态展式矩阵； 4．脉冲相应函数； 5．画出H11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，虚 频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6．固有频率，阻尼固有频率； 7．画出振型图； 8．模态坐标系下的振动微分方程； 9．模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。

解：
1．振动微分方程

对质量m1、m2 绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得

F 1



 c x 2 2



 x 1

)



k

2

(

x 2



x 1

)



k x 1 1



m x 1 1

（1.1）

k



 c x 2 2



 x 1

)

m x 2 2



2

(

x 2



x 1

)



将（1.1）整理可得：

  

m 1

0





 x 1







c 2



c 2





 x 1







k 1



k

2



k

2



x 1







F 1



（1.2）

0

m 2

 x 2



c 2

c 2

 x 2



k

2

k

2

x 2

0

且m1=100、m2=3.5、k1=10000、k2=600、c2=1.2，代入（1.2）得：

100   0

0





 x 1







1.2

1.2





 x 1





10600  600

600





x 1







F 1



（1.3）

3.5

 x 2

1.2

1.2

 x 2

600

x 2

0

可以得出此二自由度系统振动微分方程为：

 M x C x



Kx



f t ( )

其中

M

100   0

0



；

C

 

1.2

1.2



；

K

10600  600

600



；

f x ( )

 

F 1

  

图1-1、系统的分

3.5

1.2

1.2



600

0

离体图

2．频响函数矩阵
由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2方阵，其表达式为：

H

( )



(

K





M



j C

)

1

，其中

M

100   0

0



；

C

 

1.2

1.2



；

K

10600  600

600

  

3.5

1.2

1.2

600

（2.1）
写成矩阵形式：

( )





H

11

( )

H

12

( )



10600 100  600j

j

600



j

j

1

（2.2）

H

( )

H

( )

600



3.5



21

22

3．频响函数的模态展式矩阵
1）求解瑞利阻尼矩阵
由于粘性阻尼矩阵C无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。由于在该题中，粘性阻尼相对很小，对于小阻尼振动系统，可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼，以获得可对角化的阻尼矩阵。

（1）瑞利比例阻尼系数的确定

瑞利比例阻尼：

C



M



K

，其中

M

100  0

0



；

K

10600  600

600



；

、



为瑞利

3.5

600

比例阻尼系数
瑞利比例阻尼系数存在以下关系：

    





1





，其中

i为圆频率

i

2f

（

为系统固有频率，书中表示为

21

2

1



i

f

i

0i

）；

i

为阻尼



2







比

22

2

2

（3.1）

i



i

0 i

将上式写为矩阵形式：



1

1

   

12

  



21

2

2

1



22

2

可得：







1

1



1

1 2

，其中

i

2f



21

2





、





i



1

2



i

i

0 i



22

2

由此可知，只要我们确定了一个系统任意两阶的固有频率及其阻尼比，就可以确定出瑞利比例阻尼系数，从而得到瑞利比例阻尼矩阵。

（2）求该二阶系统的一、二阶固有频率及其阻尼比

利用求解该系统振动微分方程	 M x C x		Kx		f t ( )	的特征值	i来确定固有频率及其阻尼比。由书
P23（1.4-43）-（1.4-46）公式为求解步骤，下面利用Matlab 来计算固有频率								0i	和阻尼比	i	：

编写Matlab程序polynomial.m求特征方程，程序如下：
symsx;
m1=100;m2=4; k1=10000; k2=600; c2=1.2;
M=[m10;
0m2];
C=[c2-c2;
-c2c2];
K=[k1+k2
-k2; -k2 k2];
y=det(M*x^2+C*x+K)

解以上求得的多项式：
>>p=[350 124.2 97100 10000 6000000];
>>x0=roots(p)

由特征值可得：					0.0239	2		9.6375	2		9.6375	、			1		0.0239		0.0025
	01		1										1		01		9.6375

				0.2014	2		13.5840	2		13.5855	、			2		0.0694		0.0062
02		2										2		02		11.1791

（3）求瑞利比例阻尼系数及瑞利比例阻尼矩阵
根据公式（3.1）编写Matlab程序rayleigh.m求解特征方程，程序如下： functionCr=rayleigh()
%--计算瑞利阻尼系数alpha和beta--
xi1=0.0025;xi2=0.0062; f1=9.6375; f2=13.5855; omega1=2*pi*f1;
omega2=2*pi*f2;
A=[1/(2*omega1)omega1/2;

1/(2*omega2) omega2/2];

xi=[xi1;
xi2];
x=inv(A)*xi;
alpha=x(1,1)
beta=x(2,1)
%--计算瑞利阻尼矩阵Cr(2*2)--
m1=100;m2=3.5; k1=10000; k2=600;
M=[m10;
0m2];
K=[k1+k2-k2;
-k2 k2];
Cr=alpha*M+beta*K;

可知：瑞利比例阻尼系数				-0.4628	、	=2.0878 10		4
瑞利比例阻尼矩阵	C	 	-44.0660 -0.1253				  
			-0.1253 -1.4945

2）求解模态矩阵（及特征矢量矩阵）
书P23已说明根据粘性比例阻尼振动系统的微分方程所求得的特征矢量与该系统无阻尼振动下求得的特征矢量相等。因此，我们可以利用求此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征矢量更简单的得出模

态矩阵
改写Matlab程序polynomial.m求解此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征方程，程序如下： symsx;
m1=100;m2=3.5; k1=10000; k2=600;
M=[m10;
0m2];
K=[k1+k2-k2;
-k2 k2];
y=det(K-x^2*M)

解以上求得的多项式：
>>p=[350 -97100 6000000];
>>x0=roots(p)

可知：

01



92.9017

、

02



184.5269

。将其分别代入回

(

K





M

)

0

，可得：

（3.2）

1309.83   600

600

11 21





0

、



7852.69

600

12 22





0

274.84

600

45.84415

求得模态矩阵

1

2





11 21

12







1

1

  

22

2.18

13.088

3）求解频响函数的模态展式矩阵
（1）求模态质量矩阵、模态刚度矩阵和模态阻尼矩阵

diag m i

]



T

M

1  1

2.18

100  0

0



1

1





116.6334  0.1386

0.1386  699.5351 

  

13.088

3.5

2.18

13.088

diag k [ ] i



T

K

1  1

2.18

10600  600

600



1

1





108400  300

300

  

13.088

600

2.18

13.088

129080

diag c [ ] i



T

C

1  1

2.18



-44.0660 -0.1253



1

1







-51.1685 -3.3382

13.088

-0.1253 -1.4945

2.18

13.088

0.4879 -300.0675

（2）由此可得频响函数的模态展式为：

H	( )		2 			i i T				（3.3）
			i1	k i			m i		j c i

写成矩阵形式为：

( )



H

( )

H

12

( )





11 2

j c1



k

12 2

j c2

k 1



21 11

j c1



k

2



22 12



H



11







k 1



m 1



2





m 2





m 1





m 2



j c2



H

( )

H

( )



21 11

22 12

j c2

k 1



21 2



j c1



k

2

22 2

21

22

H



k 1





m 1



j c1

k

2





m 2





m 1





m 2



j c2



  

将所求、

diag m i

]

、

diag k [ ] i

、

diag c [ ] i

代入：

2.18 4.7524





(129080 108.4



j

300.0675 )

1

 

1

13.088

( )





H

11

( )

H

12

( )





(108400 129.08



j

51.1685 )

1





1

H

( )

H

( )

2.18

13.088 171.296

21

22

4．脉冲响应函数
对（3.3）作傅立叶逆变换，得到脉冲响应函数矩阵：

h t ( )

2  i1

i i T

e

i

t sin

di

t

（4.1）

m idi

5．

H

11( )

的幅频、相频、实频、虚频特性曲线以及导纳图和博德图

1）

H

11( )

的幅频特性曲线：

H

11( )

与

的关系

H

11

( )



k 1

(1

1



41 2

1 2



k

2

(1



1



42 2



2

，其中





，

i

为阻尼比。代入可得：

1 2

)

2

2 2

)

2

01

2

H

11

( )



108400



(1





)

1

2







129080



(1



2

)

1

2



2

（5.1）

2

4 (0.0025)

2

4 (9.6375)

92.9017

92.9017

184.5269

184.5296