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变化的电磁场

来源：华佗小知识

习题16

16-1．如图所示，金属圆环半径为

R，位于磁感应强度为

B 的均匀磁场

中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面内运动

时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端

a、b间的电势差。

i解：（ 1）由法拉第电磁感应定律				dt ，考虑到圆环内的磁通量不
变，所以，环中的感应电动势i			0 ；
（2）利用：abb	a	(v B) dl	，有： abBv 2R 2Bv R 。
【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流I5.0 A，在与其相距d0.5cm处放有一

矩形线圈，共1000匝，设线圈长l4.0cm，宽a2.0cm。

不计线圈自感，若线圈以速度v3.0cm/s 沿垂直于长导线的方向向右运动

，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

B 0I

首先用 lB dl 0 I求出电场分布，易得： 2 r，

x a 0I 0I l x a

则矩形线圈内的磁通量为：
x

2 x ，

由
i Nd

d t ，有：

i N 0Il av 1.92 104V

∴当x d时，有： 2(d a) 。

解法二：利用动生电动势公式解决。

由 l Bdl 0 I求出电场分布，易得： B

2 r ，

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，

近端部分：1 NB1lv，

远端部分：2 NB2lv，

N 0I(1 1) l v N 0I a l v 1.92 10 4V

则： 1 2 2 d d a 2 d ( d a) 。

16-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为 I的电流，长为l的金属棒 ab与长直导线共面

且垂直于导线放置，其 a端离导线为 d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒

中的感应电动势并比较 Ua、Ub的电势大小。

解法一：利用动生电动势公式解决：

d	(v	B ) dl	v	0 I	dr	，
				2 r

0v I		d l	l dr	0v I	ln	d	d	l	，
∴	2	d	r
				2
由右手定则判定：
			Ua >Ub。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。

作辅助线，形成闭合回路 abb' a ' ，如图，

d l 0 I 0 I yd

B d S d ydr ln

S 2 r 2

d 0I d l d y 0 Iv

，

d ，

d l

∴

d dt

d 。

由右手定则判定：

Ua >Ub。

16-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120

v 平行于长直

几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度

导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接	AO 、 OB ，圆弧形导线与AO 、 OB		A	O
形成闭合回路，闭合回路的电动势为		0，所以圆弧形导线电动势与

AOB直导线的电动势相等。

( v B) dl

2 R

0Iv

d x

0 I v

ln 2

，那

(v B) dl

R 2 x 2 ，
5 R
2 0 Iv
d x
O

∴

2 。

解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为

0 I 0 I 0 I

么， 2 x 2 (2 R Rcos ) 2 R(2 cos) ，再由 (v B) dl

有：

Rv sin

0 Iv

5
ln

v sin

，∴

2 R(2

cos )

2 。

16-5．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为

a和2a的两个圆，如图所

示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

BB 0sin t的规律变化。已知a			10cm ，B 0	210 2 T ，
50rad/s， R	10	，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

i	d	d B (	4a2	a2 ) 3 a2 B0 cos t		3	A	。
I	dt	dt		，
	i	3 a2 B0	cos t
∴	R	R		2 10 250 10	9.42 10
I max	5πa 2 B0ω		3π 0.12
	R

16-6．直导线中通以交流电，如图所示，

置于磁导率为

的介质中，

，

已知：I

I 0sin t，其中I0、是大于零的常量，求：与其共面的

N 匝矩形回路中的感应电动势。

0 I

解：首先用l B

d a

0I 求出电场分布，易得：l dr 0 I l ln d a 0I 0 l

2 x ，sin t ln d

则矩形线圈内的磁通量为： N d N 0 I 0 l

2 r

cos t ln d

∴

。

16-7．如图所示，半径为

a 的长直螺线管中，有

的磁场，一直导线弯成等腰梯形的

闭合回路 ABCDA，总电阻为 R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合

回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB U

C。

OAD1a3a3a2

解：（1）首先考虑 OAD， 2 2 4 ，

感1 d dBSOAD 3a2dB

∴ d t d t 4d t ，

而
感1

l E 涡d l

AD 3a2d B

∴ 4 dt ；

扇OAD1a2 感2 a2dB

再考虑 OBC，有效面积为 2 3 ，∴ 6 dt ，

BC a2 dB

同理可得： 6 dt ；

BC AD( 3)a2 dB

那么，梯形闭合回路的感应电动势为： 6 4 dt ，逆时针方向。

（2）由图可知， AB CD a，所以，梯形各边每段a上有电阻 5，

I ( 3)a2dB

回路中的电流： R 6 4 Rdt ，逆时针方向；

UB U CI 2r BC I 2R BC ( 3)a2 dB

那么， 5 10 dt。

16-8．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为 R，高为h，

电阻率为，如图所示。若匀强磁场以的规	d B	k	（ k	0， k 为恒量）
	dt

律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。

解：在圆柱体内任取一个半径为 E 涡

r，厚度为 dr，高为h的小圆柱通壁，

dl d B r 2 涡 d B r 2 k r 2

有： dt ，即： dt ，

由电阻公式
R

S ，考虑涡流通过一个 d r 环带，如图，

2 r

有电阻： h d r ，

2 ( k r 2 )2 k2 h 3

d P i R 2 r 2 r dr

而热功率： hdr ，

k 2h R 3 k 2 h R4

P r d r

∴ 2 0 8 。

16-9．一螺绕环，每厘米绕 40 匝，铁心截面积 3.0cm 2，磁导率 200 0 ，绕组中通有

电流 5.0mA ，环上绕有二匝次级线圈，求：（ 1）两绕组间的互感系数；（ 2）若初级绕组中

的电流在 0.10s 内由 5.0A 降低到0，次级绕组中的互感电动势。

解：已知 n 初0.01

（1）由题意知螺绕环内：

B nI ，则通过次级线圈的磁链：
3 10 4 m2。

次 N 次BS N 次 n I S ，

次

M N nS 2 8 10 5 4000 3 10 4 6.03 10 4 H

∴ I 初；

次 M
I 初

6.03 10 45 0 3.02 10 2 V

（2） t 0.1 。

16-10．磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为 R 的圆形空间 B，一金属杆放在如图 14-47

所示中位置，杆长为 2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场外。

d B

当 dt 时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。

d 扇形 Oab

∴ a b

d [

解：∵3 R2 B]

bc ，而：

，

；

3R2 d B

，

[ 3R

[

R2d B

Obc

R ] d B

dt ，∴

d B	0	，∴	ac	0 ，即ac从a c 。
∵dt

16-11．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：

N匝，求此螺绕环的自感。

0 N I

( R1

R2 )

S B d S

，有：

100 匝、

2 r

则
0 N I h

0 N I

h dr

ln R2

R
12 r

0 N 2 h

利用自感定义式：

I ，有：L

R
1 。

16-12．一圆形线圈 A 由 50

匝细导线绕成，其面积为

4cm2 ，放在另一个匝数等于

半径为 20cm 的圆形线圈 B 的中心，两线圈同轴。设线圈的磁场可看作匀强磁场。求：

（1）两线圈的互感；
（2）当线圈 B 中的电流以 50A/s 的变化率减小时，线圈

B中的电流在线圈 A所在处激发

A中的感生电动势的大小。

解：设 B 中通有电流I，则在 A 处产生的磁感应强度为：

B 0 N B I 2 RB 0 N B I A

4 RB2 2RB B

A N A BSA M A

0 N A N B SA

（1） A 中的磁通链为： 2RB ，

∴ M 4 10 750 100 2 0.2 。

d A 0 N A N B S A d I 6.28 10 6 50 3.14 10 V

（2）∵d t 2RB dt ,∴A 3.14 10 4 V 。

16-13．如图，半径分别为 b 和a的两圆形线圈（ b >>a），在 t 0 时共面放置，大圆形线

圈通有稳恒电流 I，小圆形线圈以角速度绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为 R ，求：

（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；

（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。

解：利用毕—萨定律，知大线圈在圆心

O处产生的磁感应强度为：

0 I
B
2 b，由于 b >>a，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场， 0I
B
磁感应强度即为 2 b ，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量：

B S 0 I a2 cos t
2 b ，

1 d 0 I a 2
i sin t
小线圈的感应电流： R dt 2 b R ，

pm i Sa

(

0 I

sin

t )

小线圈的磁矩：

2 b

，

（1）由M

B ，有：

pm B sin

02 I 2

2 a4 sin2

4b2

02 I 2

3a 4

02 I 2

2a4

当

2时：

4 b R

；

（2）A

02I 2

22 a4

2 sin2

t d t

02 I 2

2a4

2 1 cos2 t

d t

4 b R

16 Rb

。

16-14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为

R1和 R2 ，导体I 可由中心圆柱流出，

圆柱的磁导率为

1 ，筒与圆柱之间充以磁导率为

2 的磁介质。电流

由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。

解：考虑到	Wm	1 LI2 2	和	wm	B2	，可利用磁能的形式求自感。
					2

由环路定理，易知磁场分布：

1I r

B1 (r R1)

2 R12

Wm wmdV B12dV B22dV

则： 21 2 2

∴单位长度的磁能为：

Wm 1 R1 1Ir 2 1 R2 2I 2 1I2 2I 2 R2

l2 1 (

2 R1 2) 2rdr 2 2 ( 2 r ) 2 rdr 16 4 lnR1 ，

0 R1

1 R2

利用Wm LI2/2 ，有单位长度自感： L 8 22lnR1。

16-15．一电感为2.0H，电阻为10Ω 的线圈突然接到电动势在接通0.1s时，求：（ 1）磁场总储存能量的增加率

100V，内阻不计的电源上，

；

（ 2）线圈中产生焦耳热的速率；

（ 3）

电池组放出能量的速率。

解：（ 1）利用磁能公式

1 LI2

及 LC 电路通电暂态过程

I (t)

R t (1 e L )

，

Wm (t)

1 L[ (1 e L )]

R
t
(1 e L )

有磁场总储能：

，

dW (t)

t
e L)e L

对上式求导得储能增加率：

，

将 L 2.0 H ， R

，

100V， t

dW (t )

t 0.1s

238 J s

；

0.1 s 代入，有：dt

dQ（2）由dt

I 2 R

，有线圈中产生焦耳热的速率：

dQ(t)

I 2 R [

Rt
(1 e L )]2 R

Rt (1 e L

) 2

dQ (t)

t 0.1s 152 J s

；代入数据有：

R
t
(1 e L )

（3）那么，电池组放出能量的速率：

，

代入数据有： dtt 0.1s 390J s。

16-16. 在一对巨大的圆形极板（电容 C 1.01012F ）上，加上频率为 50Hz ，峰值为

1.74 105V 的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。

解：设交变电压为： u Umcos t，利用位移电流表达式： dt ，

IDCdu CUmsin t

有：dt ，而 2 f，

∴I Dm 2 f CU m 2 50 10 125.4610 5 A 。

沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为16-17．圆形电容器极板的面积为 S，两极板的间距为 d。一根长为 d 的极细的导线在极板间

（1）细导线中的电流；

（2）通过电容器的位移电流；

（3）通过极板外接线中的电流；

（4）极板间离轴线为

r 处的磁场强度，设

r 小于极板半径。

；

i R

U0 sin t

解：（ 1）细导线中的电流：

；

CU 0

cos t

0 SU 0 cos t

C dU

d q

（2）通过电容器的位移电流：

idU0 sin t

0SU0

cos

（3）通过极板外接线中的电流：

；

2 r

U0 sin

r 2

0 SU 0 cos

（4）由

l H d l

I 有：
0 r U0 cos t

S d

，

U 0

sin

∴

2 r R

。

思考题 16

16-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为 A，

匝数为 N，电阻为 R，其法向 n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电

流计测得感应电量为q ，试求小线圈所在位置的磁感应强度。

解：	q	Idt	1	dt	1	d	dt	NBA
		R q	R		R	dt		RR ，
B
∴		NA 。

16-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。

（a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路					abcd，以	ab 表示在导体	ab 段上产生
的感生电动势，		I 表示回路中的感应电流，则
A ．ab	0I 0；B ．ab 0I0 ；D．ab		0 I 0 ；
C．ab
			0 I 0 。
（b）位于圆形区域直径上的导体棒			ab 通过导线
与阻值为 R 的电阻连接形成回路，以				ab 表示在
导体 ab 段上产生的感生电动势，			I 表示回路中的

感应电流，则：

A ．ab

0 I

0 ；

B ．

0 I

0 ；

R（忽

C．ab

0 I

0 ；

D ．

0 I

0 。

答：（ a）选 C；（ b）选 D。
16-3
．在磁感应强度为
B的均匀磁场内，有一面积为 S 的矩形线框，线框回路的电阻为
略自感），线框绕其对称轴以匀角速度
（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？
答：（ 1）由 BScos （2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？
I 1 BS sin t

而：

，

I S

1 BS2 sin

∴

；

B pm sin

1 B2S2

sin 2

（2）

，

2 1

sin

B2 S2

∴

R。

16-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板

间距的过程中两极板间有无位移电流

?若有位移电流，则它的方向怎样

q 在

d q
I D

答：（ 1）利用位移电流表达式： d t ，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以

电容器两极板拉开过程中不变化，有 I 0 ；
（2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q下降且引起下降，

使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。

16-5．图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场，

均匀分布在圆柱形区域内，试在图 b中画出：

（1）位移电流的大致分布和方向；

（2）磁场的大致分布和方向。

I d	0 R2 dE	dE，（ dt	0	IdB
答：（ 1）	dt		），位移电流在圆柱形区域内
均匀分布，分布具有轴对称性；

（2）应用安培环路定理：

B内 r dE r

0Id 00

，B内与r成正比

r R时， 2R2 2 dr ，

00dE

B外 R

r R时， 2 dr ，B外为定值不变。 Ei，在不包含磁

16-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为

场的空间区域中分别取闭合曲面 S，闭合曲线 l，则： 0；

，，

A． SEid S 0 lEidl 0 ；B． SEid S 0 lEidl 0。

，

C． SEidS 0 lEidl 0 ；D． SEid S 0, lEidl

答：选 B。

16-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式：

（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（ 2）磁力线无头无尾；（ 3）变化的电场伴有磁场；

解：（ 1） SD d S q i ；（2）SBdS 0；（ 3） S S D dS

t（4）变化的磁场伴有电场。

Edl Bd S

（4） S S t