以转化破壁，用三阶搭桥：漫谈图形面积的小初衔接

一课研究

六年级《图形的面积》

Part.1

向你介绍我是谁

大家好！我是“一课研究”第21组的学员曹英平，来自浙江省嘉兴市文贤学校，很高兴与您在一课研究的微信中相遇！

Part.2

本期内容有哪些

听一听：探寻“转化”背后的教学价值

读一读：六年级《图形的面积》

赏一赏：小故事《阿基米德与圆面积》

Part.3

轻轻松松听听书

本期听书内容选自费岭峰主编的《聚焦课堂教学》的第二章内容中的“探寻‘转化’背后的教学价值”。

Part.4

坚持阅读8分钟

以转化破壁，用三阶搭桥：

漫谈图形面积的小初衔接

——六年级《图形的面积》为例

一、教学思考

图形的面积

2022新课标提出：核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同的表现。课程建议中也提到教学目标的设定在实现知识进阶的同时，也要体现核心素养的进阶。面积学习进阶的核心就在于其纵向、横向的一致性，如何将学习内容建构成为一个循序渐进的过程，并使之不断深入。

（一）挑战所在：

小初数学的“断层”在哪里？

初中数学则要求从“算”过渡到“证”，从“直观”走向“抽象”。它要求学生具备图形分解、等量代换、逻辑推理和辅助线构造的能力。这中间的断层，正是我们需要填补的关键。

（二）核心理念：

从“知识叠加”到“思维进阶”

什么是面积？现代数学测度理论对面积的定义更为严谨：面积是对平面图形指定相应的一个数，指定的方法必须满足“正则性”、“有限可加性”、“运动不变性”三个条件。在张奠宙教授的观点中，义务教育阶段面积的学习不能将测度论的面积理论搬过来，而应在各个学段围绕面积测量的数学定义本质，深入浅出地把面积内涵的基本思想方法生动地呈现出来。

基于面积学习进阶的层级分析：一致性理念下，基本直线图形、复杂多边形和曲线图形三个阶段都围绕着面积的“有限可加性、运动不变性、正则性”开展面积的学习探究，帮助学生系统地理解和掌握面积概念。如下表：

由表可知，面积的学习过程就是围绕其内涵形成不断进阶的知识体系。在面积学习的经验进阶下，完善面积知识结构；通过转化思想的进阶，统领了面积学习的关联过程；在知识统整的不断进阶下，扩大了面积应用的范围。

复杂多边形面积学习的关键是理解图形转化。在小学数学里，求图形的面积，转化是关键。在小学高段，联系特殊多边形和圆形的已知面积公式到未知面积的推导。在转化思想的深入学习下，依据面积的三个特性，能够将简单的不规则图形面积进行转化计算，这也为后续学习任意多边形面积打下基础。

（三）破局之道：

构建“三阶思维”教学模型

第一阶：感悟“转化”的多样性（从直观到方法）。初中几何的第一步，是学会多角度观察图形。在小学阶段，我们就应埋下这颗种子。在这一阶，学生从无意识的直观，过渡到有意识的策略。他们亲身体验到，解决一个问题可以有多种路径。这种“一题多解”的开放性思维，正是初中几何探索性学习的基础。他们不再等待唯一的公式，而是主动创造方法。

第二阶：选择“转化”的合理性（从方法到策略）。掌握了多种方法后，思维需要走向深刻：如何根据图形特征，选择最合适的策略？这直接关联到初中数学的逻辑推理能力。第二阶的核心是“为什么”。学生不仅要会“转化”，更要能说清“为什么可以这样转化”。从平移的直观，到等量代换的推理，再到等积变形的抽象，完美复现了从小学算术思维到初中代数、几何思维的过渡过程。

第三阶：创造“转化”的条件（从策略到创造）。初中几何高手与普通学生的一大分水岭，在于能否自主添加辅助线，创造解决问题的条件。第三阶思维正是针对这一能力进行前置培养。“添加辅助线”是初中几何的必备技能，本质是创造性构造解题工具。在小学阶段让学生经历“从无到有”创造辅助线的过程，能极大地缓解他们升入初中后面对证明题时的畏难情绪，实现从被动解题到主动建构的跨越。

二、学情前测与分析

图形的面积

前面在教学思考中，对面积知识的结构体系有所了解。在学习本节内容前，学生已有过通过转化的思想推导多边形面积的经历。比如，将圆分割转化为长方形，从而求得的圆面积是m=πr²,由此也可推导出扇形、环形等图形的面积。现为了解学生对图形面积的计算是否有相应的经验，进行了如下前测，测试对象本班学生共45人。

1.针对第一题，写出你学过的算面积的公式，从调查结果中我们发现34位学生可以回忆起学过的基本图形的面积，会正确的用文字或字母表达出来。剩下的24.4%中，大部分的同学可以写到长方形、正方形、平行四边形、三角形的面积公式，将梯形的面积公式、圆的面积公式遗漏。

我们可以知道大部分的学生是可以将学习过的面积公式回忆起来。因此在课堂的教学过程中，对基本图形的面积的计算可以少花一点时间，在导入环节让学生口答即可。

2.针对第二题，我们设计了计算两个三角形的面积，并让学生在计算完之后去思考你有什么发现？

（1）从调查的结果显示，.4%的同学可以将两个三角形的面积都算出来，80%（36人）的同学可以将三角形BAC的面积求出来；13.3%的同学两个三角的面积都无法求出。根据学生的做题情况，大部分的学生对于直接给出底和高的三角形的面积的计算游刃有余。针对没有求出第二个三角形的面积的同学，一是学生对于做三角形的高出现了问题，二是对于四年级学习过的两条平行线之间的垂线段相等这个知识点的遗忘，从而没有想到同底等高的两个三角形的面积相等。

（2）在.4%的做对的同学中，21人能发现了等底等高的两个三角形的面积相等。通过这一题的调查可知：学生对于等底等高的两个三角形的面积相等这一知识点是有遗忘的，那么我们在教学的过程中可以适当的侧重一下对于这一知识点的应用。

3.针对第三题，我们发现68.9%的学生可以做对这道题目，出现了以下几种做题方法。同学们可以想到用分割的方法去求组合图形的面积，在做对的同学中我们发现24人用割的方式，9人采用了补的做法。学生最容易想到的做法是将这个不规则图形分割成一个长方形和一个梯形去做，有竖着割，也有横着割的。还有少部分学生分割成了两个长方形和一个三角形。通过这一题的前测，我们可以发现学生对于比较简单的不规则的图形的面积的计算，是可以想到将这个不规则的图形的面积转化成学过的规则图形的面积去算的。

总之，从前测结果可以看出，学生已近掌握的知识之间的关系，对已有的数学思想方法和核心素养关注不够。

三、目标定位与教学思路

图形的面积

由教学内容思考与前测数据分析，我们来看学生通过“图形面积”一课的学习，需要在哪些方面有所收获？

目标1：

通过分析图形的特征，能够运用多种方法转化简单图形的面积。

目标2：

根据图形的特征，能从多个角度思考问题，选择合适的方法进行图形面积转化并计算。

目标3：

衔接初中学习，能够通过添加辅助线，创造面积转化的条件；感受由动到静的转化，在变化中寻找面积不变的本质。

在教学中帮助学生达成以上学习目标，需要对三个层次的问题作进一步思考。

层次一：学生已有的经验如何用？如何关注新旧知识间的联系？

层次二：图形面积转化的特点如何体验？选择怎样的材料，才能有效引导学生深度感悟图形面积转化的思想？

层次三：如何引导学生对图形面积转化的意义与价值有更深的感悟？

针对这些问题的思考，结合学生的学情，设计了“探究图形的面积，感悟多样的转化方法——计算图形的面积，选择合适的转化策略——变化图形的面积，创造有利的转化条件”这样的学习路径，以帮助学生在充分体验的基础上，学习“图形面积”的相关内容。

四、教学过程设计简析

图形的面积

（一）基本图形的面积公式

——定位基本知识

问题：你都知道哪些求面积的公式？

预设：S = ab（长方形面积）、S = a²（正方形面积）、S =ah（平行四边形面积）、S =ah（三角形面积）、S =(a +b)h（梯形面积）、S=πr²（圆的面积）等。

小结：我们可以用这些基本图形的面积公式直接来求面积。

【设计意图】通过提问“你都知道哪些求面积的公式？”，引导学生回顾和梳理已经学过的基本图形的面积公式，帮助学生构建关于图形面积的知识体系。强调基本图形的面积公式可以直接用于求面积，为进一步的学习和应用做好准备。

（二）探究图形的面积

——感悟转化思想

一阶思维：

能够运用多种方法转化简单的图形面积。

1.思考，探究图形面积。

任务：你会求这面墙的面积吗？想一想有几种不同的方法？

运用变化和发展的思考，把图形面积的问题转化为基本图形来解决。

生成学习材料，学生展示探究成果。

预设第一类：通过割补的方法将这个图形转化基本图形进行计算

生1：分割一个三角形和一个正方形；

生2：分割两个梯形；

生3：填补成一个长方形，再减去两个三角形；

预设第二类：通过运动的方法将这个图形转化基本图形进行计算

生4：图形的面积就等于小长方形的面积加上大正方形的面积；

生5：图形的面积就等于长方形的面积；

预设第三类：通过等积变形的方法将这个图形转化基本图形进行计算

生6：图形的面积就等于梯形的面积。

2.讨论小结，进一步体会图形面积的转化。

原来，可以这个图形转化成学过的基本图形，再利用面积公式来计算。引导学生进行对比。

问题一：黑板上这些求面积的过程，它们有什么共同点吗？

预设：

生1：都是把图形转化成了基本（规则）图形来计算面积的。

生2：把不会的转化成会的来计算。

小结：通过割补、运动、变形等方法将图形转化成基本图形进行计算。

问题二：这么多种方法，你在计算的面积的时候更喜欢哪一种？理由是什么？

总结：方法虽然有很多种，根据实际选择最适合的方式。

【设计意图】通过让学生探究不同的方法来求墙的面积，引导学生在实践中体会转化思想的重要性和应用方法。通过对分割、填补、运动、等积变形转化方法的讨论和分析，让学生发现各种求面积方法的共同点，即都是将图形转化为基本图形来计算，强化学生对转化思想的认识。引导学生对不同的方法进行比较，强调转化思想的重要性以及在解决面积问题中的应用，帮助学生将所学的知识和方法进行系统化的整理，提升学生的数学思维水平。

（三）计算图形的面积

——运用转化思想

二阶思维：

根据图形的特征和已知条件，

寻找合适的面积转化策略。

练习一：用你喜欢的方法计算下图的面积。

预设一：会用图形转化求面积。

预设二：能根据图形的特征，看出这是一个梯形。

问题：你是怎么看出这是一个梯形的？

（有一组对边平行的四边形就是梯形。）

总结：转化的方法很好，图形的特征也很重要。

【设计意图】引导学生观察图形的特征，寻找合适的面积转化策略。这有助于培养学生的观察力、分析力和逻辑推理能力，让他们学会从不同角度思考问题。

练习二：求涂色部分的面积。

层次一：直接平移转化成基本图形，学生初步感受图形转化的直观性和简便性。

层次二：通过推理发现，进行图形的等量代换，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

推理：

①号面积+②号面积=②号面积+③号面积

⇒ ①号面积=③号面积，只要求出③号面积（一个梯形）。

层次三：换个角度观察图形，等积变形，拓宽学生的思维视野，让他们学会创新地解决问题。

涂色三角形三条边的长度未知，不能直接求面积。学生尝试割补和运动的方法都不能实现。引导学生换个角度观察图形（如下图），可以根据等积变形的转化策略，推导出涂色部分面积可转化为直角三角形ABC的面积直接计算。

课堂小结：同学说学到这让我们停下脚步，静静的回顾一下。关于图形的面积，我们已经学习了这些基本图的面积公式，在计算图形的面积时，可以通过割补、运动、等积变形等的方式将之转化成基本图形再进行计算，转化的过程需要注意观察图形的特征，选择合适的方法。

【设计意图】停下脚步进行课堂小结，够更好地理解数学知识之间的联系。一结构图的形式出现的课堂小结更接近初中的教学形式，培养他们的数学思维，促进自主学习，进行小初衔接的数学教学。

（四）变化图形的面积

——延伸转化思想

三阶思维：

能够通过添加辅助线，

创造面积转化的条件，

在变化中寻找面积不变的本质。

拓展一：大正方形的边长为2cm，你能求图中阴影部分的面积吗？

此拓展练习，预设学生有三个水平层次。

水平一：借助几何画板动态生成，转化图形面积；

水平二：借助已经添加的辅助线，转化图形的面积；

水平三：能够自己添加辅助线，进行面积转化。

根据学生实际情况，教学中考虑到不同层次学生水平，既要给水平三的学生挑战空间，也要给水平一的同学跨越的阶梯。

借助几何画板形象演示：

总结：根据我们学过的知识可以将看似复杂的问题可以转化为简单的问题。

【设计意图】通过解决具有一定挑战性的问题，激发学生的学习兴趣和探索欲望，同时进行小初衔接的学习。针对不同水平层次的学生，水平三的学生能够自己添加辅助线进行面积转化，为他们提供了挑战空间，培养了创新思维。水平二的学生可以借助已经添加的辅助线，进一步理解如何通过转化图形的面积来解决问题，对于水平一的学生，借助几何画板动态生成，帮助他们直观地理解图形的转化过程，降低理解难度，为他们提供跨越困难的阶梯。

拓展二：小正方形逐渐变大的过程中，面积发生了什么变化？

动态的面积转化为静态的面积，利用几何画板直观演示：小正方形的边长在变，阴影部分的图形在变，面积不变。

总结：用发展眼光，在运动的面积中抓住面积不变的本质。

【设计意图】

利用几何画板的动态演示可以增加教学的趣味性直观性，激发学习兴趣和参与度。动态的展示有助于学生形成直观的感知，更易于观察和分析，让他们学会从复杂的动态变化中找出不变的因素。让学生明白事物在变化中可能存在着一些不变的规律和本质。

五、教学反思

图形的面积

这节课不仅是“图形的面积”的教学，更是一次数学思维的深度建构。

以“转化”破壁：打破小学阶段的公式依赖，培养初中所需的几何直觉。

用“三阶”搭桥：系统训练学生的观察、选择与创造能力。

动态与静态结合：通过几何画板演示，帮助学生从“动中见静”，把握数学本质。

从“学会”到“会学”的思维蜕变