▲ 弗拉基米尔·伊戈列维奇·阿诺尔德(1937年6月12日—2010年6月3日)

【遇见数学】：阿诺尔德是一位杰出的数学家，主要研究动力系统和微分方程，他的工作横跨纯粹数学和应用数学。原文写于1997年，是阿诺尔德在巴黎发现宫数学教育讨论会上的演讲稿，演讲反映了他一贯的教育理念——数学教育应该建立在直观理解和对物理世界的洞察上，而不是空洞的形式主义。他的批评针对的不是数学的抽象性本身，而是过度的抽象化导致的教育脱节现象。

下面内容仅为【遇见数学】对阿诺尔德原文的节选与解读。如需深入了解其观点，建议查阅原文。

数学教育的反思：回归物理与直观

数学即物理学的一部分

数学本质上是物理学的一部分。物理学是一门实验科学，而数学可以看作是物理学中实验成本较低的那部分。雅可比恒等式（它保证三角形的三条高必定交于一点）这一事实，与“地球是圆的”（更准确地说，是与球面同胚的）一样，都是一种实验事实。但前者发现成本更低。

【遇见数学】：阿诺尔德抛出了一个颇具争议的观点，认为数学本质上是研究自然规律的一种方式，数学定理（如三高线共点）可以通过数学推导被"发现"。这不同与当代许多数学家将数学视为独立于物理世界的纯粹抽象思维的观点。

二十世纪中叶，学界试图将物理学与数学分离，结果导致灾难性后果。几代数学家在成长过程中对自己学科的一半内容一无所知，更不懂其他科学。他们首先向大学生，然后向中小学生传授脱离实际的抽象伪数学，忘记了英国数学家哈代的警告：“丑陋的数学在阳光下没有永久的位置。”

【遇见数学】：哈代原文"ugly mathematics has no permanent place under the Sun"，这里强调了美在数学中的重要性。他认为真正有价值的数学应该具有美学价值，而缺乏美感的数学理论最终会被淘汰或遗忘。

脱离物理学的抽象数学既不适合教学也不适合实际应用，结果导致了公众对数学的普遍厌恶——包括学生和数学的使用者。

【遇见数学】：阿诺尔德将这种过度抽象的数学比作"奇数的严格公理化理论"——一个可以自洽但与现实脱节的知识体系，就像只研究奇数而忽视偶数一样荒谬。

(法国)教育表现出的问题

这种教育扭曲的表现十分具体。例如，当被问到"2+3 等于多少"时，一位法国小学生回答："3+2，因为加法满足交换律。"令人震惊的是，这个学生不知道最终答案是 5，甚至不理解问题的本意！

根据我在法国的教学经验，即使是精英学校的学生对数学的理解也缺乏基本的几何直觉。他们无法识别或绘制抛物面这样基本的几何图形，不能在平面上绘制由参数方程表示的曲线，也不了解椭圆曲线的基本性质。这些学生只学习抽象理论，却对具体数学对象一无所知。

"抽象数学"的狂热推崇者将几何（数学与物理和现实世界联系的最重要桥梁）从教学中彻底抛弃。经典的数学教科书甚至被大学图书馆当作过时且有害的书籍准备丢弃。

那些上过微分几何和代数几何课程的高等师范学校学生，既不了解椭圆曲线 的黎曼曲面，也不了解基本的曲面拓扑分类（更不要提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质，即欧拉-阿贝尔加法定理）。他们只被教授了霍奇结构和雅可比簇等高度抽象的概念！

为什么会这样？阿诺尔德认为，部分原因是“弱者抱团求生存”——真正有能力的数学家能够独当一面，而那些不懂物理、数学功底不扎实的人，则靠“超抽象”或“应用标签”自成小圈子。长此以往，科学精神被形式主义取代，教育成为“自娱自乐”的封闭体系。

数学的迷人联系

雅可比曾指出，数学最迷人的特性在于，同一个函数既能控制一个整数表示为四个平方数之和的方式，又能描述钟摆的实际运动。这种在表面上毫不相关的数学对象之间发现的深刻联系，可以与物理学中发现电与磁之间的关系，或地质学中发现美洲东海岸与非洲西海岸相似性的发现相提并论。

这类发现对数学教育的情感意义难以估量。正是它们教会我们寻找和发现宇宙和谐的奇妙现象。

然而，当代数学教育的抽象化切断了这些联系。学生们不再了解数学概念的物理含义和直观图像，只记住公式和定理。这就像教美术不让学生看画一样荒谬。

数学理论的真实构建方式

数学理论的构建应该遵循与其他自然科学相同的路径：观察现象 → 发现规律 → 提出假设 → 验证假设 → 形成理论。这与学校里教的"定义-定理-证明"模式完全不同。

在现实世界中应用数学时，我们必须记住模型的局限性。参数永远无法绝对精确测量，微小变化可能导致结果完全不同（类似蝴蝶效应）。数学教育却常常忽视这一点，假装抽象模型与现实完全吻合。

【遇见数学】：阿诺尔德在这里批评的是数学教育中普遍存在的"倒置"问题。实际的数学发现常常起源于观察和猜想，然后才是证明；而教学却往往从抽象定义开始，接着是定理和证明，完全脱离了数学发现的真实过程。这就像先教语法规则再让孩子学说话一样不自然。

物理学家维格纳曾称数学在物理学中的惊人有效性为一个"不可理解的奇迹"。但数学家盖尔范德则指出了另一个现象：数学在生物学等领域的"难以置信的无效性"。

教学中应重视直观与本质

阿诺尔德举了几个教学“秘密”，以说明直观教学的重要性：

• 矩阵的行列式本质上是空间中平行六面体的体积。理解这一点，整个行列式理论就变得清晰明了，不再是抽象公式的堆砌。
• 群不应该首先定义为满足复杂公理的抽象结构，而应直观理解为变换的集合——例如旋转和对称操作等。这种方式符合群论的历史发展，更容易理解。
• 几何曲面的分类定理是数学的真正杰作，比证明费马最后定理在教育意义上更为重要，但却常被排除在教学大纲之外。

改革数学教育的方向

数学教育必须回归物理直觉和几何可视化。最优秀的数学书籍其中包括 Rademacher 和 Töplitz 的《数字与图形》、Hilbert 和 Cohn-Vossen 的《几何与想象》、Courant 和 Robbins 的《什么是数学？》、Polya 的《如何解决问题》和《数学与可信推理》、F. Klein 的《19 世纪数学发展》等经典著作，但这些经典在许多国家几乎不为学生所知。

在实际工作中，数学家不能完全依赖抽象推导。长篇推导中错误几乎不可避免，必须通过具体例子验证结果。这种通过实例检验的科学态度应从一开始就教给学生。

结语：回归真正的数学

如果数学家不改变当前教育方式，那些需要真正有用数学的人最终会拒绝那些只会空谈抽象理论、脱离实际需求的数学家。真正的数学应该与物理世界保持联系，展现概念之间的深刻关系，兼具抽象思维和直观理解。

一位没有掌握朗道和里夫希兹物理学课程中至少部分内容的数学教师，将像今天不知道开集与闭集区别的人一样，成为了数学界的学术化石。